7.2.3 第1课时 三角函数的诱导公式(一～四)-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式（一～四），通过单位圆情境问题导入，引导学生从终边相同角、对称角的表示及三角函数值关系出发，衔接三角函数定义，构建从概念到公式推导的学习支架，系统呈现公式推导与应用。 其亮点在于以情境导学激发数学眼光，通过合作探究培养数学思维，如给角求值、化简等例题训练推理与运算能力。课堂小结用表格归纳公式作用，分层作业满足不同需求，助力学生提升逻辑推理和运算素养，也为教师提供系统教学资源与高效教学支持。

第7章　 三角函数 7.2　三角函数概念 7.2.3　三角函数的诱导公式 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 学习任务 核心素养 1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点) 2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点) 1．通过公式运算，培养数学运算素养． 2．借助公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养． 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 结合单位圆，思考：与角α终边相同的角的表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？与角α的终边关于x轴对称的角表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？ 必备知识·情境导学探新知 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 知识点1　诱导公式(一) 终边相同的角的诱导公式(公式一)： sin (α＋2kπ)＝________(k∈Z)； cos (α＋2kπ)＝________(k∈Z)； tan (α＋2kπ)＝________(k∈Z)． 思考　1．终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？ sin α [提示]　相等． cos α tan α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 体验　1．sin ＝________． 　 　[＝sin ＝sin ．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 知识点2　诱导公式(二) 终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)： sin (－α)＝__________； cos (－α)＝________； tan (－α)＝__________． 思考　2．角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？ －sin α cos α －tan α [提示]　关于x轴对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 体验　2．tan ＝________． 1 1　[＝－tan ＝－tan ＝＝tan ＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 知识点3　诱导公式(三) 终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)： sin (π－α)＝________； cos (π－α)＝__________； tan (π－α)＝__________． 思考　3．π－α与α的终边什么关系？ sin α [提示]　关于y轴对称． －cos α －tan α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 体验　3．cos ＝________． －　 －　[＝cos ＝－cos ．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 知识点4　诱导公式(四) 终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)： sin (π＋α)＝__________； cos (π＋α)＝__________； tan (π＋α)＝________． 思考　4．π＋α与α的终边有什么关系？ [提示]　终边在同一条直线上，且关于原点对称． －sin α －cos α tan α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 体验　4．cos ＝________． －　[＝cos ＝－cos ．] －　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 类型1　给角求值 【例1】【链接教材P189例9】 求下列各三角函数式的值： (1)sin (－660°)；(2)cos ；(3)2cos 660°＋sin 630°； (4)tan ·sin ． 关键能力·合作探究释疑难 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) [解]　(1)因为－660°＝－2×360°＋60°， 所以sin (－660°)＝sin 60°＝． (2)因为＝6π＋， 所以cos ＝cos ＝cos ＝－cos ． (3)原式＝2cos (720°－60°)＋sin (720°－90°) ＝2cos 60°－sin 90°＝2×－1＝0． (4)tan ·sin ＝tan ·sin ＝tan ·sin ． 【教材原题·P189例9】 例9 求值： (1)sin ；(2)cos ；(3)tan (－1 560°)． 解：(1)sin ＝sin ＝－sin ． (2)cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ． (3)tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°) ＝－tan 120°＝－tan (180°－60°)＝tan 60°＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 反思领悟　利用诱导公式求任意角的三角函数值 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) [跟进训练] 1．求下列各三角函数式的值． (1)sin 1 320°；(2)cos ；(3)tan (－945°)． [解]　(1)sin 1 320°＝sin (4×360°－120°)＝sin (－120°) ＝－sin (180°－60°)＝－sin 60°＝－． (2)cos ＝cos ＝cos ＝－cos ． (3)tan (－945°)＝－tan 945°＝－tan (225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 类型2　化简求值 【例2】化简下列各式． (1)； (2)． [解]　(1)原式＝＝1． (2)原式＝ ＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 反思领悟　三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) [跟进训练] 2．化简：(1)； (2)． [解]　(1)＝1． (2)原式＝＝＝－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 类型3　给值求值问题 【例3】求值． (1)已知sin ＝－，求sin 的值； (2)已知cos ＝，求cos 的值． [解]　(1)∵＝2π， ∴sin ＝sin ＝sin ＝－. (2)∵＝π， ∴cos ＝cos ＝－cos ＝－. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) [母题探究] 1．(变条件)本例(1)条件变为“已知sin ＝”，求sin 的值． [解]　∵＝6π， ∴sin ＝sin ＝sin ＝. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求cos 的值． [解]　∵＝－π， ∴cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 反思领悟　解决给值求值问题的技巧 (1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． (2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) [跟进训练] 3．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)· cos (180°－α)等于(　　) A．　　　　　　 B． C． D．－ √ A　[∵sin (α－360°)－cos (180°－α)＝sin α＋cos α＝m， ∴sin (180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝＝.故选A.] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 4．已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． [解]　∵cos (α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角， ∴sin (α－75°)＝－＝－＝－， ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 1．sin 的值为(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． 学习效果·课堂评估夯基础 √ A　[sin ＝－sin ＝－.] 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 2．已知sin (θ＋π)<0，cos (θ－π)>0，则角θ的终边落在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ B　[由sin (θ＋π)＝－sin θ<0⇒sin θ>0，cos (θ－π)＝－cos θ>0⇒ cos θ<0，由可知θ是第二象限角．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 3．sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°＝______． 4　[原式＝sin (2×360°＋90°)＋tan (2×360°＋45°)＋tan (3×360°＋45°)＋cos (0°＋360°)＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0°＝4.] 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 4．已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值为________． 　[∵sin (π＋α)＝，∴sin α＝－， 又α是第四象限角， ∴cos α＝＝＝， ∴cos(α－2π)＝cos α＝.] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 5．若sin (π＋α)＝－，则sin (4π－α)的值是______． －　[由题知，sin α＝，所以sin (4π－α)＝sin [2π＋(2π－α)] ＝sin (2π－α)＝－sin α＝－.] －　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．诱导公式中角α只能是锐角吗？ [提示]　诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠π＋，∈Z. 2．诱导公式一～四改变函数的名称吗？作用分别是什么？ [提示]　诱导公式一～四不改变函数名称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 各诱导公式的作用分别为： 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将负角转化为正角求值 公式三 将角转化为0～之间的角求值 公式四 将角转化为0～之间的角求值 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．sin 600°＋tan 240°的值是(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． 课时分层作业(三十三)　三角函数的诱导公式(一～四) 34 D　[sin 600°＋tan 240°＝sin (360°＋180°＋60°)＋tan (180°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝－＝.] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan (π＋α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 36 A　[因为α为第二象限角， 所以cos α＝－＝－， 所以tan (π＋α)＝tan α＝＝－.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 37 3．已知sin ＝，则sin ＝(　　) A． B．－ C． D．－ √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[sin ＝sin ＝sin ＝.] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 38 √ 4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[由题意得tan 600°＝－，又因为tan 600°＝tan (360°＋240°)＝tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝， 所以－＝，所以a＝－.] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 39 √ 5．(多选题)现有下列三角函数式，其中值与sin 的值相同的是(　　) A．sin (n∈Z) B．sin (n∈Z) C．sin (n∈Z) D．sin (n∈Z) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 40 BD　[对于A，sin ＝ 对于B，sin ＝sin ＝(n∈Z)， 对于C，sin ＝sin ＝(n∈Z)， 对于D，sin ＝sin ＝(n∈Z)． 又sin ＝，故BD中式子的值与sin 的值相同．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 41 二、填空题 6．＝____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 sin 2－cos 2　[ ＝＝|sin 2－cos 2|， ∵<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0， ∴原式＝sin 2－cos 2．] sin 2－cos 2　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 42 7．已知cos (508°－α)＝，则cos (212°＋α)＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[由于cos (508°－α)＝cos (360°＋148°－α)＝cos (148°－α)＝， 所以cos (212°＋α)＝cos (360°＋α－148°)＝cos (α－148°)＝cos (148°－α)＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 43 8．已知sin (α＋π)＝，且sin αcos α<0，则tan α＝________，＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　－　[因为sin (α＋π)＝－sin α＝且sin αcos α<0， 所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－， 所以．] －　 －　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 44 三、解答题 9．若cos (α－π)＝－， 求的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 45 [解]　原式＝ ＝－tan α． ∵cos (α－π)＝cos (π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝，∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时， cos α＝，sin α＝， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 ∴tan α＝，∴原式＝－． 当α为第四象限角时， cos α＝，sin α＝－， ∴tan α＝，∴原式＝． 综上，原式＝±． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 10．已知，求[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos (π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　由， 得tan θ＝2＋2， 所以tan θ＝， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 48 故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos (π－θ)＋2sin2(θ－π)]· ＝(cos2θ＋sinθcos θ＋2sin2θ)·＝1＋tan θ＋2tan2θ ＝1＋． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 √ 11．(多选题)在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是 (　　) A．sin(A＋B)＋sin C B．cos (A＋B)＋cos C C．sin (2A＋2B)＋sin 2C D．cos (2A＋2B)＋cos 2C 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 50 BC　[A中，sin (A＋B)＋sin C＝2sin C， B中，cos (A＋B)＋cos C＝cos (π－C)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0， C中，sin (2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C＝sin [2(π－C)]＋sin 2C＝sin (2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0， D中，cos (2A＋2B)＋cos 2C＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C＝cos [2(π－C)]＋cos 2C＝cos (2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 12．已知函数f (x)＝为奇函数，则a等于(　　) A．－1 B． C．－ D．1 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 52 D　[函数的定义域为{x|x≠－1且x≠a}． 因为f (x)＝为奇函数，所以定义域关于原点对称，则a＝1， 所以f (x)＝， 因为f (－x)＝＝－f (x)，满足f (x)为奇函数，所以a＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 13．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －1　[∵cos (π－θ)＝－cos θ，∴cos θ＋cos (π－θ)＝0， 即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0． ∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1．] －1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 54 14．已知α∈(0，π)，若cos (－α)－sin (－α)＝－，则sin αcos α＝________，tan α＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　－　[∵cos (－α)－sin (－α)＝cos α＋sin α＝，① ∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－<0，∴sin αcos α＝－． －　 － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 55 又∵sin α>0， ∴cos α<0， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， ∴sin α－cos α＝，② 由①②得sin α＝，cos α＝－， ∴tan α＝－．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 15．已知f (α)＝． (1)化简f (α)； (2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f (α)的值； (3)若α＝－，求f (α)的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 57 [解]　(1)f (α)＝＝－cos α． (2)∵sin (α－π)＝－sin α＝， ∴sin α＝－． 又α是第三象限角， ∴cos α＝－，∴f (α)＝． (3)∵－＝－6×2π＋， ∴f ＝－cos ＝－cos ＝－cos ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 $