2.2 充分条件、必要条件、充要条件-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦充分条件、必要条件、充要条件的意义、判断及应用，结合性质定理、判定定理与定义的关系展开。通过生活中“充分”“必要”实例导入，衔接命题真假判断，搭建从生活语言到数学逻辑的认知支架。 其亮点在于情境化设计与分层训练结合，以“同位角相等”与“两直线平行”的充要条件判断等实例，提升逻辑推理素养，通过充要条件证明、参数范围求解等例题培养数学运算素养。小结梳理定义法、集合关系法等判断方法，帮助学生构建知识体系，教师可直接利用分层作业与评估资源提升教学效率。

第2章　 常用逻辑用语 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 学习任务 核心素养 1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．理解性质定理、判定定理和定义与充分条件和必要条件之间的关系．(重点) 4．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养． 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？ (1)“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”(《中国青年报》)． (2)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”(《人民日报》)． (3)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(《人民日报》)． 必备知识·情境导学探新知 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 知识点1　充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p____q p_____q 条件关系 p是q的______条件 q是p的______条件 p不是q的______条件 q不是p的______条件 ⇒ 充分 必要 充分 必要 “p⇒q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是必要的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 思考　1．(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？ [提示]　(1)相同，都是p⇒q．(2)等价． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　) (2)q不是p的必要条件时，“pq”成立． (　　) (3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立． (　　) √ √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 知识点2　充要条件 (1)如果p⇒q，且______，那么称p是q的____________条件，简称p是q的______条件． 为了方便起见，p是q的充要条件，就记作______，称为“p与q等价”或“p等价于q”．“⇒”和“⇔”都具有传递性，即 ①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s； ②如果p⇔q, q⇔s，则p⇔s． q⇒p 充分且必要 充要 p⇔q 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 (2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分且不必要条件． (3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要且不充分条件． (4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分又不必要条件． 思考　2．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 [提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q． (2)①若p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性． ②若p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 知识点3　性质定理和判定定理与充分必要条件的关系 (1)性质定理是指某类对象具有的__________，所以性质定理具有“________”； (2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的__________，所以判定定理具有“________”； (3)数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质．即数学中的定义具有“充要性”． 具体特征 必要性 所有特征 充分性 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 体验　2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 √ C　[两直线平行，同位角相等．两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 类型1　充分条件、必要条件的判断 【例1】指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：a＞b，q：ac＞bc． 关键能力·合作探究释疑难 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 [解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， 但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0， 故p是q的充分且不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要且不充分条件． (3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b， 故p是q的既不充分又不必要条件． 反思领悟　定义法判断充分条件、必要条件 (1)确定谁是条件，谁是结论． (2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件． (3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 [跟进训练] 1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件． (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； (2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0． [解]　(1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分又不必要条件． (2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分且不必要条件． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 类型2　充要条件的探求与证明 【例2】已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1． [证明]　充分性：若a2－b2＝1成立，则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件． 必要性：若a4－b4－2b2＝1成立，则a4－(b2＋1)2＝0，即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1． 所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件． 综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件为a2－b2＝1． 反思领悟　充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是不是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 [跟进训练] 2．试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0． [证明]　①必要性：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0． ②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 类型3　充分条件与必要条件及充要条件的应用 【例3】已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足 －2≤x≤3．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． [解]　p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 所以所以－≤a<0， 所以a的取值范围是． [母题探究] 1．将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要条件，其他条件不变，求实数a的取值范围． [解]　p：a<x<3a，即集合A＝{x|a<x<3a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以所以a∈∅． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 2．将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围． [解]　p：3a<x<a，其中a<0，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}． 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B， 所以 所以－1≤a<0． 所以a的取值范围是[－1，0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 反思领悟　充分条件与必要条件的应用与技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 [跟进训练] 3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分且不必要条件，求实数m的取值范围． [解]　因为p是q的充分且不必要条件， 所以p⇒q且qp． 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 所以或 解得m≥9． 所以实数m的取值范围为[9，＋∞)． 1．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 学习效果·课堂评估夯基础 √ A　[由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分且不必要条件．] 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 2．(多选题)使x>3成立的充分条件是(　　) A．x>4 B．x>5 C．x>2 D．x>1 √ AB　[x>4⇒x>3，x>5⇒x>3，其他选项不可推出x>3．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 √ A　[因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4，x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝ －2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分且不必要条件．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是_________． (－∞，1]　[因为x>1⇒x>a，所以a≤1．] (－∞，1] 5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)． 必要　充分　[由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．] 必要 充分 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．充分条件、必要条件及充要条件的判断方法有哪些？ [提示]　(1)定义法．(2)等价法．(3)利用集合间的关系． 2．你是怎样研究充分条件、必要条件及充要条件的？ [提示]　严格按照定义判断．若已知两个命题之间的关系求参数范围时，利用数轴求解，但要注意端点值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的 (　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 课时分层作业(七)　充分条件、必要条件、充要条件 32 A　[∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分且不必要条件．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 34 3．下列条件中，是x2<4的必要且不充分条件的是(　　) A．－2≤x≤2 B．－2<x<0 C．0<x≤2 D．1<x<3 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由x2<4得－2<x<2，必要且不充分条件的x的范围包含 {x|－2<x<2}，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 35 √ 4．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 36 B　[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由“a2＝b2”“a2＋b2＝2ab”；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即“a2＋b2＝2ab”⇒“a2＝b2”．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B． 法二：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 37 √ 5．设x，y∈R，“x≠0且y≠0”的充分且不必要条件是(　　) A．|x|＋|y|≠0 B．xy＞0 C．x2＋y2＝0 D．x＋y≠0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 38 B　[对于A，取x＝1，y＝0可知|x|＋|y|≠0x≠0且y≠0，不满足条件； 对于B，xy＞0⇒x≠0且y≠0，反之，取x＝1，y＝－1可知x≠0且y≠0 xy＞0，满足条件； 对于C，x2＋y2＝0⇒x＝y＝0 x≠0且y≠0，不满足条件； 对于D，取x＝1，y＝0可知，x＋y≠0x≠0且y≠0，不满足条件，故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 39 二、填空题 6．下列说法不正确的是________．(填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件； ②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件； ③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ②　[②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．] ② 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 40 7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 充要　[因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．] 充要 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 41 8．下列式子： ①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a． 其中能使<成立的充分条件有________．(填序号) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ①②④ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 42 ①②④　[当a<0<b时，<0<； 当b<a<0时，<<0； 当b<0<a时，<0<； 当0<b<a时，0<<， 所以能使<成立的充分条件有①②④．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 43 三、解答题 9．(源自北师大版教材)在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (2)p：a＝b，q：|a|＝|b|； (3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 44 [解]　(1)因为命题“若A⊆B，则A∩B＝A”为真命题，并且“若A∩B＝A，则A⊆B”也为真命题，所以p是q的充要条件； (2)因为“a＝b”⇒“|a|＝|b|”，但是“|a|＝|b|”不能推出“a＝b”，例如，“|1|＝|－1|”，而“1≠－1”，所以p是q的充分且不必要条件； (3)因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2． 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 46 (2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆， 这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 √ 11．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 D．无法判断 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 48 A　[因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 12．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　 ) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件又不是“x∈A”的必要条件 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[由A∪B＝C且B不是A的子集知，x∈A⇒x∈C，x∈Cx∈A，所以x∈C是x∈A的必要且不充分条件．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 50 13．若A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为__________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 {a|a≤－3或a≥3}　[因为A是B的充分条件， 所以A⊆B， 又A＝{x|a<x<a＋2}，B＝{x|x<－1或x>3}． 因此a＋2≤－1或a≥3， 所以实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥3}．] {a|a≤－3或a≥3} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 51 14．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分且不必要条件，则实数m的取值范围是_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 {m|0<m<2} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 52 {m|0<m<2}　[由题意，设集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|x<－m＋1或x>m＋1}， 因为条件p是条件q的充分且不必要条件，即集合A是集合B的真子集， 所以或 解得m<2， 又m>0，所以实数m的取值范围是{m|0<m<2}．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 15．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0． ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 54 ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b． ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0． 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0， ∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根． 综上，方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 $