8.1.1 函数的零点-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦“函数的零点”核心知识点，系统梳理零点定义、与方程根及图象的关系、零点存在定理，构建从概念理解到应用（求零点、判断存在与个数）的学习支架，衔接前后知识脉络。 以气象局气温变化图创设情境培养数学眼光，通过辨析题、分类讨论例题发展数学思维（逻辑推理、运算），数形结合判断零点个数强化数学语言。课中辅助分层教学，课后分层作业助力学生查漏补缺。

8.1　二分法与求方程近似解 8.1.1　函数的零点 学习任务 核心素养 1．理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系．(重点) 2．会求函数的零点．(重点、难点) 3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点) 1．通过零点的求法，培养数学运算和逻辑推理的素养． 2．借助函数的零点与方程根的关系，培养直观想象的数学素养． 如图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被不小心擦掉了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？ 知识点1　函数的零点的定义 一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点． 1．函数的零点是点吗？ [提示]　不是，函数的零点是实数． 知识点2　方程、函数、图象之间的关系 (1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解． (2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数的零点是函数与x轴的交点吗？ [提示]　不是，函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标． 1．函数f(x)＝2x－4的零点是________． 2　[由2x－4＝0得x＝2，所以2是函数f(x)的零点．] 知识点3　函数零点存在定理 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有零点． (　　) (2)任意两个零点之间函数值保持同号． (　　) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 类型1　求函数的零点 【例1】求下列函数的零点． (1)f(x)＝x3－x； (2)f(x)＝2x－8； (3)f(x)＝1－log4x； (4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)． [解]　(1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)·(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0，1，－1，故f(x)的零点为x＝－1，0，1． (2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3， 故f(x)的零点为x＝3． (3)令f(x)＝1－log4x＝0， ∴log4x＝1，∴x＝4． 故f(x)的零点为x＝4． (4)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2， 令f(x)＝0，得x＝2． ∴f(x)的零点为2． 当a＝时，f(x)＝(x－2)＝(x－2)2， 令f(x)＝0，得x1＝x2＝2． ∴f(x)有零点为2． 当a≠0且a≠时，令f(x)＝0，得x1＝，x2＝2． ∴f(x)的零点为，2． 综上，当a＝0时，f(x)的零点为2； 当a＝时，函数的零点为2； 当a≠0且a≠时，f(x)的零点为，2． 　求函数的零点 求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点． [跟进训练] 1．(1)求函数f(x)＝的零点； (2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． [解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2． 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2． (2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a． 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝－． 所以函数g(x)的零点为0和－． 类型2　函数零点的证明 【例2】【链接教材P229例1】 证明函数f(x)＝ln (x＋1)－在(1，2)上存在零点． [证明]　因为f(1)＝ln 2－2<0， f(2)＝ln 3－1>0， 且函数f(x)在区间(1，2)上的图象是不间断的， 所以函数f(x)＝ln (x＋1)－在(1，2)上存在零点． 【教材原题·P229例1】 例1证明：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点． 证明：因为 f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3<0， f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1>0， 且函数f(x)在区间[－2，－1]上的图象是不间断的，所以函数f(x)在区间(－2，－1)上存在零点． 　若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点． [跟进训练] 2．证明f(x)＝x3＋3x－1在区间(0，1)上有零点． [证明]　因为f(0)＝03＋3×0－1＝－1<0， f(1)＝13＋3－1＝3>0， 且函数f(x)在区间(0，1)上的图象是不间断的，所以函数f(x)＝x3＋3x－1在(0，1)上有零点． 类型3　判断零点所在的区间 【例3】(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　　) A．(－3，－1)和(2，4)　 B．(－3，－1)和(－1，1) C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞) (2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) (1)A　(2)C　[(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根．故选A． (2)法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0， ∴f(x)在(0，1)内有零点． 法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0，1)． ] 　确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． [跟进训练] 3．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12 x＋3 2 3 4 5 6 ①(－1，0)；②(0，1)；③(1，2)；④(2，3)． ③　[设f(x)＝ex－(x＋3)，由题表可知，f(－1)＝0.37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2.72－4<0，f(2)＝7.40－5>0，f(3)＝20.12－6>0，∴f(1)·f(2)<0， 因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1，2)内．] 类型4　函数零点(方程不等实根)个数的判断 【例4】(1)函数f(x)＝ex－3的零点个数为________． (2)函数f(x)＝ln x－的零点个数是________． (3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数． (1)1　(2)2　[(1)令f(x)＝0，所以ex－3＝0，所以x＝ln 3，故f(x)只有1个零点． (2)在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－的零点个数为2． ] (3)[解]　法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a． 令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a． 作函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为 ＝，画出如图所示的简图． 由图象可以看出： ①当a＞时，方程没有实数根； ②当a＝时，方程有两个相等的实数根； ③当a＜时，方程有两个不相等的实数根． 法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0． Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13． ①当Δ＜0，即a＞时，方程没有实数根； ②当Δ＝0，即a＝时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＞0，即a＜时，方程有两个不相等的实数根． [母题探究] (变条件)把本例(1)函数改为“y＝2x|logax|－1(0<a<1)”，再判断其零点个数． [解]　由2x|logax|－1＝0得|logax|＝，作出y＝及y＝|logax|(0<a<1)的图象如图所示，由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点． 　判断函数零点的个数的方法 (1)可以利用零点存在定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数． (2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数． [跟进训练] 4．函数f(x)＝lg x－sin x的零点有i(i∈N*)个，记为xi，xi∈，k∈N*，求k构成的集合． [解]　由f(x)＝lg x－sin x得lg x＝sin x，在同一平面直角坐标系中作出y＝lg x和y＝sin x的图象，如图， 由图象知，函数f(x)＝lg x－sin x有三个零点x1∈，x2∈，x3∈， 因为xi∈，k∈N*，所以k＝1，4，5，所以k构成的集合为{1，4，5}． 1．(多选题)下列图象表示的函数中有零点的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D BCD　[BCD的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．] 2．(教材P230练习T2(3)改编)函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) B　[∵f(1)＝2－3＝－1<0， f(2)＝22－3＝1>0， ∴f(1)·f(2)<0，即函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)．] 3．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　) A．1　　　 B．－1 C．0　　　 D．不能确定 C　[因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0．] 4．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 11.238 由表可知函数f(x)存在零点的区间有________个． 4　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，∴共有4个区间．] 5．函数f(x)＝的零点是________． 1　[令＝0，则x＋1＝0或ln x＝0，且x－3≠0，x＞0，得x＝1，即函数f(x)＝的零点是1．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．你认为函数零点存在定理中要注意哪些问题？ [提示]　(1)函数图象是连续的．(2)定理不可逆．(3)至少存在一个零点． 2．f(a)·f(b)<0是连续函数在区间(a，b)上存在零点的什么条件？f(a)·f(b)>0时在区间上一定没有零点吗？ [提示]　充分且不必要条件．不一定，f(a)·f(b)>0时函数在区间(a，b)上可能有零点． 课时分层作业(四十一)　函数的零点 一、选择题 1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．3 C　[因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0， 所以b＝±2．] 2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　) A．(1，＋∞) B． C． D． B　[∵f(x)＝2x－， ∴f＝－2<0，f(1)＝2－1＝1>0， ∴f·f(1)<0． ∴零点所在区间为．] 3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A．，0 B．－2，0 C． D．0 D　[当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D．] 4．若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y －5 2 8 12 －5 －10 则函数y＝f(x)在x∈[1，6]上的零点至少有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　[由表得f(1)f(2)<0，f(4)f(5)<0， 因为函数的图象是连续不断的， 所以函数在(1，2)内至少有一个零点，在(4，5)内至少有一个零点， 所以函数y＝f(x)在x∈[1，6]上的零点至少有两个．] 5．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c A　[在同一平面直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a<b<c，故选A． ] 二、填空题 6．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________． 2　[令f(x)＝ln x＋x－4， 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0， ∴f(x)在(2，3)内有解，∴k＝2．] 7．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围为________． 　[由题意知方程ax＝x2＋1在上有解， 即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是． 所以实数a的取值范围是．] 8．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＝________，n＝________． (1)　　　　　　　　　　(2) 7　3　[由题图中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7．又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点．即n＝3．] 三、解答题 9．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数． [解]　法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数． 在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)． 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根， 即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点． 法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0， ∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点， 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以零点只有一个． 10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x． (1)写出函数y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围． [解]　(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， ∵y＝f(x)是奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x， ∴f(x)＝ (2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1； 当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1． ∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示， 根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1)． 11．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　) A．－1和 B．1和－ C．和 D．－和 B　[∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3， ∴即 ∴g(x)＝6x2－5x－1， ∴g(x)的零点为1和－，故选B．] 12．(多选题)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则a的取值可能是(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 ABD　[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示， 由图可知，－a≤1，解得a≥－1．] 13．已知函数f(x)＝|lg x|－a，a>0有两个零点x1，x2，则x1＋x2的取值范围是________． (2，＋∞)　[设函数f(x)＝|lg x|－a，a>0有两个零点x1，x2，且0<x1<1<x2，∴x1＋x2＝10－a＋10a>2，即x1＋x2的取值范围是(2，＋∞)．] 14．已知函数f(x)＝其中k≥0． (1)若k＝2，则f(x)的最小值为________； (2)若关于x的函数y＝f(f(x))有两个不同零点，则实数k的取值范围是________． (1)－1　(2)[0，1)　[(1)当x<0时，f(x)＝－x＋2在区间(－∞，0)上单调递减，则f(x)>2； 当x≥0时，f(x)＝x2－1在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(x)≥f(0)＝－1． 则f(x)的最小值为－1． (2)令f(x)＝t，则y＝f(t)． 当k∈[0，1)时，函数f(x)的图象如图①所示． 图① 则f(t)＝0⇒t＝1，则函数f(x)的图象与直线y＝1有两个交点，则k∈[0，1)满足题意． 当k∈[1，＋∞)时，函数f(x)的图象如图②所示． 图② 则f(t)＝0⇒t＝1，则函数f(x)的图象与直线y＝1只有一个交点，则k∈[1，＋∞)不满足题意． 综上，k∈[0，1)．] 15．已知函数f(x)＝4x－a·2x+1＋1． (1)若函数f(x)在x∈上有最大值－8，求实数a的值； (2)若函数f(x)在x∈上有且只有一个零点，求实数a的取值范围． [解]　(1)由题知f(x)＝4x－a·2x+1＋1＝(2x)2－2a·2x＋1，因为x∈， 所以令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a， 当a≤时，f(t)max＝f(4)＝17－8a＝－8， 解得a＝(舍)， 当a>时，f(t)max＝f(1)＝2－2a＝－8， 解得a＝5， 所以a＝5． (2)由(1)知f(x)＝(2x)2－2a·2x＋1，令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a． 因为函数f(x)在x∈上有且只有一个零点， 所以f＝t2－2at＋1的图象在上与x轴只有一个交点， 所以 解得a＝1， 或者f·f≤0， 即≤0，整理解得≤a≤， 当a＝时，f＝t2－2at＋1的图象与x轴有两个交点，故舍． 综上，<a≤或a＝1． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $