7.3.3 函数y＝A sin (ωx＋φ)-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦函数y=A sin(ωx+φ)核心知识点，从y=sin x出发，系统梳理φ（相位变换）、A（振幅变换）、ω（周期变换）对图象的影响，涵盖五点法作图、由图象求解析式及性质应用，构建从基础变换到综合应用的学习支架。 资料突出直观想象与数学运算素养培养，通过“五点法”作图实例和先平移后伸缩、先伸缩后平移两种变换方法，帮助学生理解图象关系，结合例题与分层作业提升逻辑推理能力。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

7.3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ) 学习任务 核心素养 1．理解y＝A sin (ωx＋φ)中，A，ω，φ对图象的影响．(重点) 2．掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点) 3．由三角函数的图象求出解析式，掌握y＝A sin (ωx＋φ)的图象和性质．(重点、难点) 1．通过函数图象的变换，培养直观想象素养． 2．借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养． 3．借助y＝A sin (ωx＋φ)的图象和性质的应用，提升逻辑推理素养． 用五点法作函数y＝A sin (ωx＋φ)在一个周期上的简图如何取点？函数y＝sin x与函数y＝A sin (ωx＋φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y＝sin x与函数y＝A sin (ωx＋φ)存在着怎样的关系？φ，ω，A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象又有什么影响？ 知识点1　图象变换 (1)φ对函数y＝sin (x＋φ)的图象的影响(相位变换)： y＝sin x图象y＝sin (x＋φ)图象． (2)A对函数y＝A sin x图象的影响(振幅变换)： y＝sin x图象各点纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)得到y＝A sin x(A>0且A≠1)图象． (3)ω对函数y＝sin ωx的图象的影响(周期变换)： y＝sin x图象各点横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y＝sin ωx(ω>0且ω≠1)图象． 先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗？ [提示]　不相同．平移的单位长度不同． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象．(　　) (2)将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的，得到y＝sin x的图象．(　　) (3)将y＝sin x图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin x的图象．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 知识点2　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 奇偶性 φ＝kπ，k∈Z时是奇函数；φ＝＋kπ，k∈Z时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时既不是奇函数也不是偶函数 单调性 单调增区间可由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到，单调减区间可由 ＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到 2．已知f(x)＝A sin (A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，取得最大值2；当x＝时，取得最小值－2，则f(x)＝________． 2sin 　[由题意可知，A＝2， 又＝＝， ∴T＝π， ∴ω＝＝2， ∴f(x)＝2sin ．] 类型1　作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 【例1】作出函数y＝2sin ＋3的图象并指出它的最值及单调区间． [解]　(1)列表如下： x－ 0 π π 2π x π π π π y 3 5 3 1 3 (2)描点． (3)作图，如图所示． 最大值为5，最小值为1， 函数的减区间为，k∈Z， 增区间为，k∈Z． 　用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表． ωx＋φ 0 π 2π x － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． [跟进训练] 1．用五点法作出函数y＝2sin的图象，并指出函数的单调区间． [解]　(1)列表． 2x＋ 0 π 2π x － y 0 2 0 －2 0 (2)描点． (3)连线．用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示为该函数在一个周期内图象，然后将图象左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R内的图象．可见在一个周期内，函数在上递减，又因为函数的周期为π，所以函数的减区间为(k∈Z)． 同理，增区间为(k∈Z)． 类型2　三角函数的图象变换 【例2】如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sin (x∈R)的图象． [解]　法一(先平移变换再伸缩变换)： y＝sin x的图象y＝sin 的图象y＝sin 的图象y＝3sin 的图象． 法二(先伸缩变换再平移变换)： y＝sin x的图象y＝sin 2x的图象y＝sin ＝sin 的图象y＝3sin 的图象． [母题探究] 1．(变结论)如何由y＝sin x的图象得到函数y＝3sin 的图象？ [解]　先把y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象；再把y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 的图象；最后把y＝sin 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin 的图象． 2．(变结论)如何由y＝3sin 的图象得到y＝sin x的图象？ [解]　y＝3sin y＝sin ＝sin y＝sin 2xy＝sin x． 　变换作图法的基本途径 对函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，φ≠0，k≠0)，其图象的基本变换有： (1)(纵向伸缩变换)：是由A的变化引起的，A>1时伸长，A<1时缩短． (2)(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的，ω>1时缩短，ω<1时伸长． (3)(横向平移变换)：是由φ引起的，φ>0时左移，φ<0时右移． (4)上下平移(纵向平移变换)：是由k引起的，k>0时上移，k<0时下移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． [跟进训练] 2．由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin＋1的图象． [解]　法一：y＝sin x的图象 y＝2sin x的图象 y＝－2sin x的图象 y＝－2sin 2x的图象 y＝－2sin的图象 y＝－2sin＋1的图象． 法二：y＝sin x的图象 y＝sin 的图象 y＝sin 的图象 y＝－sin 的图象 y＝－2sin的图象 y＝－2sin＋1的图象． 类型3　由图象求函数的解析式 【例3】如图所示为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，求函数的解析式． [解]　由图象知A＝2，＝＝， ∴T＝π＝，∴ω＝2， ∵图象过，∴2＝2sin ， ∴sin ＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z， 又∵0<|φ|<，∴φ＝． ∴函数解析式f(x)＝2sin． 　确定函数y＝A sin (ωx＋φ)解析式的策略与步骤 若设所求解析式为y＝A sin (ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ． (1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|． (2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T． (3)以“五点法”中与x轴的第一个交点作为突破口，要从图象的升降情况找准与x轴的第一个交点的位置来确定φ． [跟进训练] 3．如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式． [解]　法一(逐一定参法)：由图象知A＝3，又T＝＝π， ∴ω＝＝2． 由点，得－×2＋φ＝kπ，得φ＝kπ＋，k∈Z， 又∵|φ|<，∴φ＝．∴y＝3sin ． 法二(待定系数法)：由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有 解得 ∴y＝3sin ． 类型4　y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 【例4】已知函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为，求函数的解析式并指出增区间． [解]　∵图象最高点的坐标为， ∴A＝5． ∵＝＝，∴T＝π， ∴ω＝＝2，∴y＝5sin (2x＋φ)． 代入点，得sin ＝1， ∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z． ∴φ＝－＋2kπ，k∈Z． 又∵|φ|<，∴k＝0，则φ＝－， ∴y＝5sin ． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函数的增区间为(k∈Z)． 　正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0． [跟进训练] 4．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值． [解]　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称， ∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1． 依题设0≤φ<π，∴φ＝． 由f(x)的图象关于点M对称，可知 sin ＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝，k∈Z． 又f(x)在上是单调函数， ∴T≥π，即≥π．∴ω≤2，又ω>0， ∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2． 故φ＝，ω＝2或． 1．用“五点法”作函数y＝cos 在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　) A． B． C． D． A　[令4x－＝，得x＝，∴该点坐标为．] 2．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin (x＋φ)的以下说法，正确的是(　　) A．对任意的φ，f(x)既不是奇函数也不偶函数 B．存在φ，使f(x)是偶函数 C．存在φ，使f(x)是奇函数 D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数 BC　[当φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数；当φ＝时，f(x)＝cos x，是偶函数．故选BC．] 3．(教材P213习题7.3T8改编)将y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)＝________． sin x　[将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)＝2×sin x＝sin x的图象．] 4．函数y＝sin 的图象的对称中心为________． (k∈Z)　[由2x＋＝kπ，得x＝(k∈Z)， 所以函数图象的对称中心为(k∈Z)．] 5．如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的图象的一部分，那么ω＝________，φ＝________． 　[∵点在函数图象上，∴sin φ＝． 又∵|φ|<，∴φ＝，∴y＝sin ． 又∵点(π，0)在y＝sin 上，且该点是“五点”中的第五个点，∴πω＋＝2π，∴ω＝．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．通过本节课的学习，你能经过怎样的变换由y＝sin x的图象得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象？ [提示]　法一：y＝sin x的图象 y＝sin (x＋φ)的图象 y＝sin (ωx＋φ)的图象 y＝A sin (ωx＋φ)的图象． 法二：y＝sin x的图象 y＝sin ωx的图象 y＝sin (ωx＋φ)的图象 y＝A sin (ωx＋φ)的图象． 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与哪个量有关？当其取何值时为偶函数？当其取何值时为奇函数？ [提示]　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与参数φ有关，当φ＝＋kπ，k∈Z时，其为偶函数，当φ＝kπ，k∈Z时，其为奇函数． 3．你认为怎样由y＝A sin (ωx＋φ)的图象或部分图象确定函数的解析式？ [提示]　根据图象(或部分图象)确定A，ω，然后利用待定系数法求φ． 课时分层作业(三十九)　函数y＝A sin (ωx＋φ) 一、选择题 1．下列表示函数y＝sin 在区间上的简图正确的是(　　) A　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　D A　[当x＝π时，y＝sin ＝－，排除BD． 当x＝时，y＝sin 0＝0，排除C，故选A．] 2．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 A　[由已知得＝π，故ω＝2，所以f(x)＝sin ＝sin ，所以函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可以得到函数f(x)的图象．] 3．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． D　[由题图可知T＝4×＝π，故ω＝2，又f＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ＋，又|φ|<，所以φ＝．] 4．设函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为(　　) A． B． C．π D． C　[∵f＝f，∴x＝＝为函数f(x)的图象的一条对称轴． ∵f＝－f，f(x)在区间上具有单调性，∴x＝＝为f(x)图象的一条对称轴，且与x＝相邻，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π．] 5．(多选题)点P是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)＋m的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期是2π B．f(x)的值域为[1，3] C．φ＝ D．f(x)在上单调递增 ABD　[由题意，且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，故ω＝＝1．代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin ＋2．故函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[1，3]，故AB正确，C错误．由－＋2kπ≤x＋＋2kπ知函数的增区间为，k∈Z，当k＝1时增区间为，又⊆，故D正确．故选ABD．] 二、填空题 6．将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的解析式是________． y＝sin 　[y＝sin y＝sin y＝sin ＝sin ．] 7．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝________． 　[由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f，注意到π与关于对称， 所以f＝－f＝．] 8．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；φ＝________． 2　－　[T＝＝， ∴T＝＝π，∴ω＝2． 当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 又－<φ<，∴φ＝－．] 三、解答题 9．已知函数f(x)＝sin (x∈R)． (1)求f(x)的减区间； (2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可) [解]　(1)由已知函数化为y＝－sin ． 欲求函数的减区间，只需求y＝sin 的增区间． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)， ∴原函数的减区间为(k∈Z)． (2)f(x)＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ． ∵y＝cos 2x是偶函数，图象关于y轴对称， ∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位长度即可． 10．已知函数f(x)＝3sin 的图象的一条对称轴是直线x＝． (1)求φ值； (2)求函数y＝f(x)的增区间和对称中心． [解]　(1)∵x＝是f(x)的图象的一条对称轴， ∴sin ＝±1， ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z． ∵0＜φ＜，∴φ＝． (2)由(1)知y＝3sin ． 由题意得2kπ－x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z， ∴函数f(x)的增区间为(k∈Z)． 由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－(k∈Z)， 故该函数的对称中心为(k∈Z)． 11．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． D　[由题意得＝，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin ＝sin ，f＝＝sin ＝，故选D．] 12．函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[把函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝f(x)＝cos ＝cos ＝－sin 2x的图象．作出函数f(x)＝－sin 2x和直线y＝x－的部分图象如图所示，观察图象知，共有3个交点．故选C． ] 13．若ω>0，函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________． 　[将函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝cos 的图象．因为所得函数图象与函数y＝sin ωx的图象重合，所以－＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值．] 14．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin 的图象，则f(x)＝________，增区间为________． 2sin －1　(k∈Z)　[将y＝2sin 的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin ＝2sin 的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y＝2sin －1的图象，即f(x)＝2sin －1．由－＋2kπ≤4x＋＋2kπ得≤x≤(k∈Z)．] 15．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0，1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0，2)和(x0＋2π，－2)． (1)求f(x)的解析式及x0的值； (2)求f(x)的增区间； (3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域． [解]　(1)由题意作出f(x)的简图如图． 由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π， ∴4π＝，即ω＝， ∴f(x)＝2sin ， ∴f(0)＝2sin φ＝1， 又∵|φ|<， ∴φ＝， ∴f(x)＝2sin ． ∵f(x0)＝2sin ＝2， ∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z． ∴x0＝4kπ＋，k∈Z， 又(x0，2)是y轴右侧的第一个最高点， ∴x0＝． (2)由－＋2kπ≤x＋＋2kπ，k∈Z， 得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z， ∴f(x)的增区间为(k∈Z)． (3)∵－π≤x≤π， ∴－x＋， ∴－≤sin ≤1， ∴－≤f(x)≤2， 故当x∈[－π，π]时，f(x)的值域为[－，2]． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $