4.2.1 对数的概念-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本高中数学讲义聚焦对数的概念这一核心知识点，承接指数函数学习背景，通过物质剩留量问题情境引入，建立指数式与对数式的互化联系，系统讲解对数定义、常用对数与自然对数及基本性质。设置情境问题、定义表格、思考辨析、教材例题链接与跟进训练等学习支架，帮助学生逐步理解概念本质。 资料特色在于以实际问题驱动概念生成，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过指数式与对数式互化、变量求值等例题训练，提升逻辑推理与数学运算素养。母题探究与分层作业设计，课中助力教师引导学生深化理解，课后便于学生自主回顾强化，有效弥补知识盲点。

4.2　对数 4.2.1　对数的概念 学习任务 核心素养 1．理解对数的概念．(重点) 2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点) 3．掌握常用对数与自然对数的定义． 通过学习本节内容，培养逻辑推理和数学运算的核心素养． 若某物质最初的质量为1，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，则经过x年，该物质的剩留量y＝0.84x．由此，知道了经过的时间x，就能求出该物质的剩留量y；反过来，知道了该物质的剩留量y，怎样求出所经过的时间x呢？ 知识点1对数 名称 定义 记法 对数 一般地，如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，a叫作对数的底数，N叫作真数 logaN＝b 常用对数 通常将以10为底的对数称为常用对数 lg N 自然对数 以e为底的对数称为自然对数，其中e＝2.718 28…是一个无理数 ln N 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN中a的取值范围为(0，＋∞)． (　　) (2)(－2)4＝16可化为log(－2)16＝4． (　　) (3)对数运算的实质是求幂指数． (　　) (4)在b＝log3(x－2)中，实数x的取值范围是(2，＋∞)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 知识点2　对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0且a≠1)． (4)loga＝－1(a>0且a≠1)． (5)对数恒等式：alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)． 为什么负数和零没有对数？ [提示]　由对数的定义ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况． 2．(1)log33＋log31＝________； (2)已知log2＝0，则x＝________． (1)1　(2)2　[(1)log33＋log31＝1＋0＝1． (2)由题意知＝1，所以x＝2．] 类型1　指数式与对数式的互化 【例1】【链接教材P87例1、P88例2】 将下列指数式与对数式互化． (1)2-7＝； (2)log5a＝20； (3)ln x＝5； (4)＝． [解]　(1)由2-7＝，可得log2＝－7． (2)由log5a＝20，可得520＝a． (3)由ln x＝5，可得e5＝x． (4)由＝－． 【教材原题·P87例1】 例1将下列指数式改写成对数式： (1)24＝16；(2)3-3＝； (3)5a＝20；(4)＝0.45． 解：(1)log216＝4． (2)log3＝－3． (3)log520＝a． .45＝b． 【教材原题·P88例2】 例2将下列对数式改写成指数式： (1)log5125＝3；＝－2； (3)log10a＝－1.699． 解：(1)53＝125． (2)＝3． (3)10-1.699＝a． 　指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式． (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． [跟进训练] 1．将下列指数式与对数式互化： (1)53＝125；3-2＝；＝16； ＝－3；lg 0.000 1＝－4． [解]　(1)因为53＝125，所以log5125＝3． 因为3-2＝，所以log3＝－2． 因为＝16，所以＝－2． (2)因为＝－3，所以＝8； 因为lg 0.000 1＝－4，所以10-4＝0.000 1． 类型2　利用指数与对数的互化求变量的值 【例2】求下列各式中x的值． (1)lg 0.01＝x； (2)log7(x＋2)＝2； ＝x； (4)x＝． [解]　(1)因为lg 0.01＝x，所以10x＝0.01＝10-2，所以x＝－2． (2)因为log7(x＋2)＝2，所以x＋2＝72，解得x＝47． (3)因为＝，所以＝－2，所以x＝－2． (4)由x＝可得＝32，即2－x＝25，解得x＝－5． 　利用指数与对数的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂． (2)已知指数与幂，用指数式求底数． (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数． [跟进训练] 2．求下列各式中x的值： (1)log64x＝－； (2)logx8＝6； (3)lg 100＝x； (4)log27x＝－． [解]　(1)x＝＝＝4-2＝． (2)因为x6＝8，所以x＝＝＝＝＝． (3)10x＝100＝102，于是x＝2． (4)因为log27x＝－，所以x＝＝＝3-2＝． 类型3　利用对数性质及对数恒等式求值 【例3】求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)x＝． [解]　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝51＝5． (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000． (3)x＝＝7÷＝7÷5＝． [母题探究] 1．将本例(1)改为“log2(ln x)＝1”如何求x? [解]　由log2(ln x)＝1知ln x＝2，所以x＝e2． 2．将本例(2)改为“log3(log2(lg x))＝0”如何求x? [解]　由log3(log2(lg x))＝0知log2(lg x)＝1，所以lg x＝21，x＝102＝100． 3．将本例(3)改为“3log3(log4(log5x))＝0”如何求x? [解]　由3log3(log4(log5x))＝0知log4(log5x)＝1， 所以log5x＝4，x＝54＝625． 　1．利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2．性质＝N与logaab＝b的作用 (1)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． [跟进训练] 3．求下列各式中x的值． (1)＝36； (2)log(x＋1)(2x－3)＝1． [解]　(1)由＝36得，5x＋1＝36， 解得x＝7． (2)由log(x＋1)(2x－3)＝1可得 解得x＝4． 1．(多选题)下列说法中正确的是(　　) A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫作常用对数 D．以e为底的对数叫作自然对数 ACD　[ACD正确，只有a>0，且a≠1时ax＝N才能化为对数式．] 2．(教材P89练习T3改编)将＝9写成对数式，正确的是(　　) A．log9＝－2　　　　　 B．＝－2 C．＝9 D．log9(－2)＝ B　[根据对数的定义，得＝－2，故选B．] 3．若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，3)∪(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) B　[要使对数式log(t－2)3有意义， 需 解得t>2且t≠3， 所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞)．] 4．若2a＝4，则loga的值为________． －1　[∵2a＝4，∴a＝2，则loga＝log2＝－1．] 5．已知logx16＝2，则x＝________，log2x＝________． 4　2　[logx16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4． 又因为x>0且x≠1，所以x＝4，log2x＝log24＝2．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．怎样进行指数式与对数式的互化？ [提示]　 2．在涉及对数式求值问题时，你是怎样求值的？ [提示]　转化为指数幂的运算求值． 3．在求解对数方程时要注意哪些问题？ [提示]　(1)底数大于0且不等于1； (2)真数大于零． 课时分层作业(十六)　对数的概念 一、选择题 1．(多选题)下面四个结论中正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0　　　 B．ln (ln e)＝0 C．若10＝lg x，则x＝10 D．若e＝ln x，则x＝e2 AB　[lg (lg 10)＝lg 1＝0，故A正确． ln (ln e)＝ln 1＝0，故B正确． 若10＝lg x，则x＝1010，故C错误． 若e＝ln x，则x＝ee，故D错误．] 2．若logx＝z，则x，y，z之间满足(　　) A．y7＝xz B．y＝x7z C．y＝7xz D．y＝z7x B　[因为logx＝z，所以＝xz，所以y＝(xz)7＝x7z．] 3．若log2(logx9)＝1，则x＝(　　) A．－3　　 　B．3　　 　 C．±3　　 　D．9 B　[由题意知logx9＝21＝2，∴x2＝9，∴x＝±3．又x>0，∴x＝3．] 4．设log45＝2m，则4m＝(　　) A． B．25 C． D． D　[∵log45＝2m，∴m＝log4， ∴4m＝．] 5．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.3)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 D　[由L＝5＋lg V，L＝4.8，得lg V＝－0.2， 所以V＝10-0.2＝＝≈≈0.6， 所以其视力的小数记录法的数据约为0.6．] 二、填空题 6．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值为________． 45　[由loga3＝m，得am＝3．由loga5＝n得an＝5， 所以a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45．] 7．已知a＝，b＝，则a，b的大小关系是________． a>b　[a＝＝23×＝8×3＝24，b＝＝32×＝9×2＝18，所以a>b．] 8．把对数式log84＝x化成指数式是________；可求出x＝________． 8x＝4　　[∵log84＝x， ∴8x＝4，∴23x＝22，∴x＝．] 三、解答题 9．求下列各式中的x． (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)logx(3＋2)＝－2； (4)log5(log2x)＝0； (5)x＝log27 ． [解]　(1)由logx27＝，得＝27， ∴x＝＝32＝9． (2)由log2x＝－，得＝x， ∴x＝＝． (3)由logx(3＋2)＝－2， 得3＋2＝x-2， 即x＝(3＋2－1． (4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1． ∴x＝21＝2． (5)由x＝log27 ，得27x＝， 即33x＝3-2，∴x＝－． 10．计算下列各式： ； ． [解]　 (1)10lg 3－log41＋＝3－0＋6＝9． (2)＝22×＝4×3＋＝12＋1＝13． 11．(多选题)使log(3a－1)(4－a)有意义的a的可能取值为(　　) A． B．1 C．2 D．5 BC　[由题意知解得<a<4，且a≠．] 12．方程lg (x2－1)＝lg (2x＋2)的根为(　　) A．－3 B．3 C．－1或3 D．1或－3 B　[由lg (x2－1)＝lg (2x＋2)， 得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0， 解得x＝－1或x＝3． 经检验x＝－1是增根， 所以原方程的根为x＝3．] 13．已知loga b＝lg 100，若b＝10，则a＝________；若b＝a＋2，则a＝________． 　2　[因为lg 100＝2，所以由logab＝lg 100可得logab＝2，所以b＝a2，因为a＞0且a≠1， 若b＝10，则a＝；若b＝a＋2，则a2－a－2＝0，即a＝2．] 14．求值：－＋103lg 3＋＝________． －　[原式＝31×－24×＋(10lg 3)3＋ ＝3×6－16×3＋33＋()－2 ＝18－48＋27＋＝－．] 15．分贝是计量声音强度相对大小的单位，物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小，把声压P0＝2×10-5帕作为参考声压．把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值成为声压级，声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)，分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区． (1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式； (2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？ (3)某精彩的文艺节目，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时会场内的声压是多少？ [解]　(1)根据题意可知，y＝20lg ． (2)声压P＝0.002时， y＝20lg ＝40，故属于无害区． (3)将90dB代入可得， 90＝20lg ， 解得P＝帕． 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $