4.1 指数-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦指数这一核心知识点，从正整数指数幂出发，通过平方根、立方根引入n次方根概念，系统讲解根式性质，再过渡到分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以数学运算和逻辑推理素养为导向，设计思考辨析（如“\(\sqrt[n]{a^n}=a\)是否成立”）和条件求值（如已知\(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=4\)求\(a+a^{-1}\)）等环节，课中助力教师引导学生探究，课后通过分层作业帮助学生巩固基础、提升能力，有效查漏补缺。

4.1　指数 学习任务 核心素养 1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点) 2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点) 3．了解实数指数幂的意义． 1．借助根式的性质对根式进行运算，提升数学运算核心素养． 2．通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 3．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养． 我们已经知道，，…是正整数指数幂，它们的值分别为，…．那么的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识． 知识点1　基本概念 1．平方根与立方根的概念 如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个． 2．a的n次方根 (1)定义：一般地，如果xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根，式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． (2)几个规定 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝； ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式； ③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)． 1．是根式吗？根式一定是无理式吗？ [提示]　是根式，根式不一定是无理式． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)16的四次方根为2． (　　) (2)＝π－4． (　　) (3)＝－2． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 知识点2　根式的性质 (1)＝0(n∈N*，且n>1)； (2)＝a(n为大于1的奇数)； (3)＝|a|＝(n为大于1的偶数)； (4)n＝a(n∈N*，且n>1，a使得有意义)． 2．＝a对任意实数a都成立吗？ [提示]　不都成立．当n为不小于3的正奇数时，a为任意实数，等式＝a恒成立．当n为正偶数时，＝|a|． 2．若n是偶数，＝x－1，则x的取值范围为________． [1，＋∞)　[由题意知x－1≥0，所以x≥1．] 知识点3　分数指数幂的意义 一般地，我们规定： ＝(a>0，m，n均为正整数，n>1)； (a>0，m，n均为正整数，n>1)； (3)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义，0的0次幂没有意义． 3．(1)可化为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． (2)可化为________． (1)A　(2)　[(1)． (2)．] 知识点4　有理数指数幂的运算性质 (1)asat＝as＋t； (2)(as)t＝ast； (3)(ab)t＝atbt， 其中s，t∈Q，a>0，b>0． 4．化简的结果为________． 　[原式＝＝-1＝．] 类型1　根式的性质 【例1】【链接教材P82例1】 求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4)； (5)，x∈(－3，3)． [解]　(1)＝－2． (2)． (3)＝|3－π|＝π－3． (4)＝|a3|＝ (5)原式＝＝|x－1|－|x＋3|， 当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2； 当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4． 因此，原式＝ 【教材原题·P82例1】 例1求下列各式的值： (1)2；(2)3； (3)；(4)． 解：(1)2＝5． (2)3＝－2． (3)＝2． (4)＝π－3． 　化简根式的依据及注意 化简的依据是根式的性质，化简时要注意是奇次还是偶次根式，另外注意与n的区别． [跟进训练] 1．化简求值． (1)； (2)； (3)若＝0，求yx． [解]　(1)＝|3.14－π|＋|3.14＋π|＝2π． (2)原式＝|m－n|＋(m－n)＝ (3)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|， ∴∴ ∴yx＝(－3)1＝－3． 类型2　根式与分数指数幂的互化 【例2】【链接教材P84例3】 将下列根式化成分数指数幂的形式． (1)(x＞0)； ． [解]　 (1)原式＝． (2)原式＝． 【教材原题·P84例3】 例3用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)： (1)a2；(2)；(3)． 解：(1)a2． (2)． (3)． 　1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用和．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用． [跟进训练] 2．用分数指数幂表示下列各式． (1)(a>0，b>0)； (2)(a>0，b>0)． [解]　(1)＝1． (2) ＝． 类型3　分数指数幂的运算 【例3】(1)计算：＋16-0.75＋； (2)化简：(a>0)． [思路点拨]　将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算． [解]　(1)原式＝－1＋(－2)-4＋(24)-0.75＋＝0.4-1－1＋＋0.1＝． (2)原式＝÷ ＝＝a0＝1． 　指数幂与根式运算的技巧 (1)有理数指数幂的运算技巧 ①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算． ②指数的处理：负指数先化为正指数． ③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示． (2)根式运算技巧 ①各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算． ②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂． [跟进训练] 3．(1)化简：＝________． (2)计算：①＝________． ②＝________． (1)ac　(2)①36.5　②5　[(1)原式＝＝ab0c＝ac． (2)①原式＝ ＝×9＝36.5． ②原式＝－＋ ＝ ＝－1＋2×3＝5．] 类型4　指数幂运算中的条件求值 【例4】已知＋＝4，求下列各式的值： (1)a＋a-1；(2)a2＋a-2． [解]　(1)将＋＝4两边平方，得a＋a-1＋2＝16，故a＋a-1＝14． (2)将a＋a-1＝14两边平方，得a2＋a-2＋2＝196，故a2＋a-2＝194． [母题探究] 1．(变结论)在本例条件不变的条件下，求a－a-1的值． [解]　令a－a-1＝t，则两边平方得a2＋a-2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a-1＝±8． 2．(变结论)在本例条件不变的条件下，求a2－a-2的值． [解]　由上题可知，a2－a-2＝(a－a-1)(a＋a-1)＝±8×14＝±112． 　条件求值问题的常用方法 (1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值． (2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果． 1．(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A．－　　 B． C． D． CD　[对于A，－(x≥0)，而(x≤0)，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，(x≠0)成立，故C正确； 对于D，当x>0时，故D正确．故选CD．] 2．(教材P86习题4.1T8改编)已知＋x＝5，则的值为(　　) A．5　　　B．23　　　C．25　　　D．27 B　[由＝5得x＋x-1＝23，所以＝x＋x-1＝23．] 3．设5x＝4，5y＝2，则52x－y＝________． 8　[] 4．计算：(1)＝________．(x<1) (2)＝________． (1)1－x　(2)　[(1)原式＝＝|x－1|＝1－x． (2)．] 5．若x>3，则＝________． －1　[＝＝|x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．怎样将根式化成分数指数幂的形式？ [提示]　根指数作分母，字母的指数作分子． 2．怎样进行分数指数幂的运算？ [提示]　运用运算性质求解． 3．怎样判断一个数到底有没有n次方根？ [提示]　先考虑被开方数是正数还是负数．还要分清n为奇数或偶数这两种情况． 课时分层作业(十五)　指数 一、选择题 1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[①错，16的4次方根是±2；②错，＝2；③④正确，由根式的意义可知．] 2．a·(a＞0)＝(　　) A． B． C． D．－ A　[原式＝a·＝－a·＝] 3．的值为(　　) A．2 B．－6＋2 C．－6 D．－14 C　[∵＝－6， ＝＝4－， －4， ∴原式＝－6＋4－－4＝－6．] 4．＝(　　) A． B．ab C． D．ab2 A　[原式＝．] 5．＋(－1)-1÷0.75-2＋＝(　　) A． B． C．－ D．－ A　[原式＝．] 二、填空题 6．已知10α＝3，10β＝4，则＝________． 18　[] 7．计算：＝______． 　[] 8．计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)＝________． (2)＝________． (1)4a　(2)　[(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]· ＝4ab0＝4a． (2)原式＝8＝m2n-3＝．] 三、解答题 9．化简： (1)-1＋-1； (2)-1－． [解]　(1)原式＝ ＝2＋＋8－8＋2＝4． (2)原式＝－3 ＝－－3 ＝－3 ＝． 10．(源自人教B版教材)化简下列各式： ； ． [解]：(1)原式＝． (2)原式＝ ＝． 11．(多选题)化简结果正确的是(　　) A．m　　　　　　 B．m C．－m D．－m AD　[若m<0，则， 若m>0，则．] 12．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　) A． B． C． D．－1 D　[设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， 所以x＝－1．] 13．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么y用x表示为________． 　[由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋．] 14．计算：＝________；方程4x－2x－2＝0的解为________． 　1　[； 因为4x－2x－2＝0(2x)2－2x－2＝0(2x －2)(＋1)＝0，所以2x＝2或2x＝－1(舍)，所以x＝1．] 15．根据已知条件求下列值： (1)已知x＝，求的值； (2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值． [解]　(1) ＝ ＝． (2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根， ∴ ∵a>b>0，∴>． ∴， ∴． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $