3.3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦一元二次不等式及其解法核心知识点，从跳台滑雪情境引入概念，通过表格系统梳理“三个二次”（二次函数、方程、不等式）关系，分层呈现不含参数与含参数解法例题，辅以概念辨析和跟进训练搭建学习支架。 资料以情境问题培养数学眼光，用表格对比与分类讨论发展数学思维，通过规范解题步骤提升数学语言能力。课中例题分层助教师高效授课，课后分层作业与变式训练方便学生巩固知识，查漏补缺。

3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 第1课时　一元二次不等式及其解法 学习任务 核心素养 1．掌握一元二次不等式的解法．(重点) 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点) 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养． 跳台滑雪是一个具有观赏性的项目，一位跳台滑雪运动员在90 m级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68 m．他若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110 km/h．那么他能实现自己的目标吗？ 知识点1　一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式． 1．不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ [提示]　此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 知识点2　三个“二次”的关系 设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0． 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋ bx＋c＝0 的根 有两个相异的实数根 x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象 ax2＋bx＋c＞0 的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ R ax2＋bx＋c＜0 的解集 (x1，x2) ∅ ∅ 2．若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ [提示]　结合二次函数图象(图略)可知，若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R， 则解得a>，所以a∈使不等式ax2＋x＋1>0的解集为R． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式． (　　) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解． (　　) (3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解． (　　) (4)x2－>0为一元二次不等式． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 类型1　一元二次不等式的解法 【例1】【链接教材P66例1】 解下列不等式． (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6； (4)－2x2＋3x－2<0． [解]　(1)由x2－5x>6得x2－5x－6>0，方程x2－5x－6＝0的解为x1＝－1，x2＝6．根据y＝x2－5x－6的图象(图略)，可得原不等式的解集为{x|x>6或x<－1}． (2)方程4x2－4x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝． 根据y＝4x2－4x＋1的图象(图略)可得原不等式的解集为． (3)不等式两边同乘以－1，得x2－7x＋6<0． 方程x2－7x＋6＝0的解为x1＝6，x2＝1． 根据y＝x2－7x＋6的图象(图略)，可得原不等式的解集为{x|1<x<6}． (4)不等式两边同乘以－1，得2x2－3x＋2>0，因为Δ<0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实数解． 根据y＝2x2－3x＋2的图象(图略)，可得原不等式的解集为R． 【教材原题·P66例1】 例1解下列不等式： (1)x2－7x＋12>0； (2)－x2－2x＋3≥0； (3)x2－2x＋1<0； (4)x2－2x＋2>0． 解：(1)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4． 根据y＝x2－7x＋12的图象(图3-3-1(1))，可得原不等式的解集为 {x|x<3或x>4}． (2)不等式两边同乘以－1，得 x2＋2x－3≤0． 方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1． 根据y＝x2＋2x－3的图象(图3-3-1(2))，可得原不等式的解集为 {x|－3≤x≤1}． (3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1． 根据y＝x2－2x＋1的图象(图3-3-1(3))，可得原不等式的解集为∅． (4)因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解． 根据y＝x2－2x＋2的图象(图3-3-1(4))，可得原不等式的解集为R． 　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集． [跟进训练] 1．解下列不等式． (1)x2－4x＋4>0； (2)－x2＋2x－3<0； (3)2x2＋7x＋3>0． [解]　(1)方程x2－4x＋4＝0有两个相同的解x1＝x2＝2， 根据y＝x2－4x＋4的图象(图略)，可得原不等式的解集为{x|x≠2}． (2)不等式两边同乘以－1，得x2－2x＋3>0， 方程x2－2x＋3＝0中Δ<0，所以方程x2－2x＋3＝0无解． 根据y＝x2－2x＋3的图象(图略)，可得原不等式的解集为R． (3)方程2x2＋7x＋3＝0的解x1＝－3，x2＝－，根据y＝2x2＋7x＋3的图象(图略)，可得原不等式的解集为． 类型2　含参数的一元二次不等式的解法 【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0． [解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1． 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0． 当a<0时，不等式可化为(x－1)>0， 因为<1，所以x<或x>1． 当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0． 若<1，即a>1，则<x<1； 若＝1，即a＝1，则x∈∅； 若>1，即0<a<1，则1<x<． 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a>1时，原不等式的解集为． 　解含参数的一元二次不等式的一般步骤 提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并． [跟进训练] 2．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a>0)． [解]　不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0可化为(ax－1)(x－2)<0． 由于a>0，故不等式可化为(x－2)<0． (1)若0<a<，则>2，此时不等式的解集为 ． (2)若a＝，则不等式为(x－2)2<0，此时不等式的解集为∅． (3)若a>，则<2，此时不等式的解集为 ．综上可知， 当0<a<时，不等式的解集为； 当a＝时，不等式的解集为∅； 当a>时，不等式的解集为． 类型3　三个“二次”的关系 【例3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． [解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知， a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6． 由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为． 法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集为． [母题探究] 1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． [解]　由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0． 所以c<0，＝－， 故不等式cx2－bx＋a>0， 即x2－x＋<0， 即x2＋x＋<0． 所以所求不等式的解集为． 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． [解]　法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0． 又×2＝＜0，则c＞0． 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝，∴＝－． 又＝－，∴b＝－a，c＝－a， ∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a＜0， 即2ax2＋5ax－3a＞0． 又∵a＜0， ∴2x2＋5x－3＜0， ∴所求不等式的解集为． 法二：由已知得a＜0 且＋2＝－×2＝知c＞0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 其中＝＝－， －＝＝＝－， ∴x1＝－3，x2＝． ∴所求不等式的解集为． 　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解． [跟进训练] 3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}．求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集． [解]　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}， 所以a<0，且－3，4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系得 所以 所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0可化为－ax2＋2ax＋15a<0，由－a>0得x2－2x－15<0． 令x2－2x－15＝0得x1＝－3，x2＝5． 由函数y＝x2－2x－15的图象知原不等式的解集为{x|－3<x<5}． 1．不等式x2≤1的解集为(　　) A．{x|x≥1或x≤－1}　 　 B．∅ C．{x|－1≤x≤1} D．R C　[方程x2－1＝0的解为x1＝－1，x2＝1．根据y＝x2－1的图象(图略)知不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．] 2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　) A． B． C． D．R C　[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－．] 3．若0<t<1，则不等式(x－t)<0的解集为(　　) A． B． C． D． D　[∵当0<t<1时，t<，∴原不等式的解集为．] 4．(教材P69习题3.3T6改编)不等式(x－1)2<x＋5的解集为________． {x|－1<x<4}　[不等式(x－1)2<x＋5可化为x2－3x－4<0即(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，所以不等式的解集为{x|－1<x<4}．] 5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________． 　[由题意知－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0， 故解得a＝c，b＝a． 所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0， 解得<x<2，即不等式ax2－bx＋c>0的解集为．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．你是怎样解一元二次不等式的？ [提示]　(1)图象法．步骤：①化标准形式；②解方程；③结合图象求解． (2)代数法．借助因式分解或配方法求解．当m<n时，(x－m)(x－n)>0可得{x|x>n或x<m}．若(x－m)(x－n)<0可得{x|m<x<n}．口诀：大于取两边，小于取中间． 2．解含参不等式要注意哪些问题？具体步骤是什么？ [提示]　正确分类不重不漏． 步骤：(1)讨论二次项系数a>0，a<0，a＝0； (2)讨论对应方程的根； (3)讨论根的大小． 课时分层作业(十三)　一元二次不等式及其解法 一、选择题 1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　) A．　　　　 B． C．∅ D． D　[∵(3x＋1)2≤0， ∴3x＋1＝0，∴x＝－．] 2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于(　　) A．{1，2，3} B．{1，2} C．{4，5} D．{1，2，3，4，5} B　[∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－<x<3， 又x∈N*且x≤5，则x＝1，2．故A∩B＝{1，2}．] 3．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　) A． B． C． D． D　[因为a<－1，所以a(x－a)<0⇔(x－a)>0．又a<－1，所以>a，所以x>或x<a．] 4．不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，则b＋c－1的值为(　　) A．2　　　 B．－1 C．0　　　 D．1 C　[由不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}， 得－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的解， 由根与系数的关系知 解得b＝－1，c＝2， 所以b＋c－1＝－1＋2－1＝0．] 5．(多选题)在R上定义运算“⊙”，a⊙b＝ab＋2a＋b，满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值可能是(　　) A．－1　　　 B．0 C．1　　　 D．2 AB　[根据定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)．又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故－2<x<1．] 二、填空题 6．不等式x2－2x－3<0的解集为________． (－1，3)　[由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，得－1<x<3．] 7．关于x的不等式ax2－(2＋a)x＋2＜0，当a＝0时的解集是________，当a＜0时的解集是________． (1，＋∞)　∪(1，＋∞)　[由条件知(ax－2)·(x－1)＜0，当a＝0时，不等式为－2(x－1)＜0，解得x＞1；当a＜0时，由ax2－(2＋a)x＋2＜0，得x2－x＋＞0，即(x－1)＞0，解得x＞1或x＜，所以不等式的解集为∪(1，＋∞)．] 8．如果关于x的不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，则m的取值范围是________． (－∞，0)　[m＝0时，不等式化为21<0，此时不等式的解集为空集，所以m≠0； m≠0时，要使不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，则 ①当m>0时，有Δ＝64m2－84m>0，解得m>； ②当m<0时，mx2＋8mx＋21<0恒成立． 综上，m的取值范围是(－∞，0)．] 三、解答题 9．(源自人教B版教材)求下列不等式的解集： (1)x2＋4x＋1≥0； (2)x2－6x－1≤0． [解]　(1)因为x2＋4x＋1＝x2＋4x＋4－4＋1＝(x＋2)2－3， 所以原不等式可化为(x＋2)2－3≥0，即 (x＋2)2≥3，两边开平方得|x＋2|≥，从而可知 x＋2≤－或x＋2≥， 因此x≤－2－或x≥－2＋，所以原不等式的解集为(－∞，－2－]∪[－2＋，＋∞)． (2)因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10， 所以原不等式可化为(x－3)2－10≤0， 即(x－3)2≤10， 两边开平方得|x－3|≤， 从而可知－≤x－3≤， 因此3－≤x≤3＋， 所以原不等式的解集为[3－，3＋]． 10．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0(a∈R)． [解]　当a＝0时，原不等式化为x－2<0，解集为{x|x<2}． 当a<0时，原不等式化为(x－2)<0， 这时两根的大小关系为2>， 则原不等式的解集为． 当a>0时，原不等式化为(x－2)>0． ①当0<a<1时，两根的大小关系为2<， 则原不等式的解集为． ②当a＝1时，2＝， 则原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}． ③当a>1时，两根的大小关系为2>， 则原不等式的解集为． 综上所述，对于原不等式， 当a＝0时，解集为{x|x<2}； 当a<0时，解集为； 当0<a<1时，解集为； 当a＝1时，解集为{x|x∈R且x≠2}； 当a>1时，解集为． 11．(多选题)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则能使不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax成立的x的集合为(　　) A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0} C．{x|x＞3} D．{x|－2＜x＜1} BC　[因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a＜0，所以－＝－1＋2＝1，＝－2， 所以b＝－a，c＝－2a，由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax，得a(x2＋1)－a(x－1)－2a＜2ax， 得ax2－3ax＜0． 因为a＜0，所以x2－3x＞0，所以x＜0或x＞3， 所以不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax的解集为{x|x＜0或x＞3}．] 12．(多选题)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则下列结论中正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3 C．x2－x1>4 D．－1<x1<x2<3 ABC　[由关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)， ∴a<0，x1，x2是一元二次方程ax2－2ax＋1－3a＝0的两个根． ∴x1＋x2＝2，x1x2＝＝－3<－3． ∴x2－x1＝＝＝2>4． 由x2－x1>4，可得－1<x1<x2<3是错误的．] 13．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1<x<m}，则m＝________． 2　[因为ax2－6x＋a2<0的解集为{x|1<x<m}， 所以a>0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根． 则，即1＋m＝， 所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2．] 14．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为∅，则a的取值范围为________．若不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A且A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为________． (－1，2)　　[若不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2． 若A⊆{x|1≤x≤3}，则设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}， 所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0． 若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)＜0， 即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2． 若A≠∅， 则 即所以2≤a≤． 综上，a的取值范围为－1＜a≤．] 15．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集． [解]　原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0， 由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0， 所以a<－1或a>． 若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5， 所以3－2a>， 此时不等式的解集是； 若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－， 所以3－2a<， 此时不等式的解集是． 综上，当a<－1时，原不等式的解集为，当a>时，原不等式的解集为． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $