3.3.1 从函数观点看一元二次方程-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦“从函数观点看一元二次方程”核心知识点，系统梳理从一次函数与方程关系过渡到二次函数零点概念的脉络，通过表格对比Δ不同取值下二次函数图象、方程根与零点的联系，结合思考问题、例题解析及跟进训练构建完整学习支架。 资料以问题驱动（如“二次函数一定有零点吗？”）培养数学抽象，通过含参数函数零点分类讨论提升数学运算，结合零点区间分布实例（如判断在(－3，－2)是否存在零点）发展逻辑推理。课中助力教师引导学生构建知识联系，课后分层作业与十字相乘法拓展帮助学生巩固查漏。

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程 学习任务 核心素养 1．理解函数零点的概念．(重点) 2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点) 通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养． 函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？ a>0 a<0 一次函数 y＝ax＋b的图象 一元一次方程 ax＋b＝0的根 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 知识点1　二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 二次函数一定有零点吗？ [提示]　当二次函数的图象与x轴不相交时，二次函数无零点． 函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程相异的实数根． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y＝x2的零点为(0，0)． (　　) (2)当Δ＝0时，二次函数有两个相同的零点． (　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有两个零点． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 知识点2　函数零点的探究 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式 Δ＝b2－ 4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1，2＝－ 没有实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点 2．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．－1 D．－2 C　[令y＝0，得x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1．] 类型1　求函数的零点 【例1】求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)； (3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示． [思路点拨]　(1)直接解出相应方程的根． (2)对于二次项的系数a分a＝0，a≠0两类进行讨论，当a≠0时，还要比较两根的大小． (3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标． [解]　(1)由3x2－2x－1＝0，解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－． (2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． (ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1． 又－(－1)＝， ①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1． ②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和． 综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1； 当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和． (3)函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3． 　1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点． 2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． 3．运用“分类讨论”思想求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点的步骤 (1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； (2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实根． 若可以因式分解，则一定存在零点． (3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等． [跟进训练] 1．求下列函数的零点． (1)y＝2x2－3x－2； (2)y＝ax2－x－1； (3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示． [解]　(1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－． (2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． (ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a， 当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点； 当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2． 当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0得x1，2＝， 函数有两个零点和． 综上：当a＝0时，函数的零点为－1； 当a＝－时，函数的零点为－2； 当a>－且a≠0时，函数有两个零点和； 当a<－时，相应方程无实数根，函数无零点． (3) 由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1． 类型2　函数的零点个数的论证与探究 【例2】【链接教材P64例1】 若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． [思路点拨]　要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等实数根． [证明]　考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， 因为a>2，Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)， 所以Δ>0， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． [母题探究] 求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件． [解]　(必要性)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点， 当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解，函数无零点； 当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0， 即 或 解得a≥2或a≤－2， 又a≠2，所以a>2或a≤－2， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，则a>2或a≤－2． (充分性)当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点． 综上，函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2． 【教材原题·P64例1】 例1求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点． 分析：要证明二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点，只需证明一元二次方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根即可． 证明：考察一元二次方程2x2＋3x－7＝0． 因为Δ＝32－4×2×(－7)＝65>0， 所以方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根． 因此，二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点． 　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的论证 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac． (1)Δ>0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点． (2)Δ＝0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点． (3)Δ<0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点． [跟进训练] 2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点． [证明]　当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0； 当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点． 综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点． 类型3　二次函数的零点分布探究 【例3】【链接教材P64例2】 (1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上是否存在零点； (2)二次函数y＝x2－3x＋k至少有一个零点为正数，求实数k的取值范围． [思路点拨]　(1)直接求出函数的零点，再加以判定． (2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究． [解]　(1) 由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2， 所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上存在零点． (2)因为二次函数y＝x2－3x＋k至少有一个零点为正数，所以关于x的方程x2－3x＋k＝0至少有一个正实根，有以下三种情况： ①有一正一负两个实根， 由一元二次方程的根与系数关系得 所以k＜0； ②有两个正实根， 由一元二次方程的根与系数关系得 所以0＜k≤； ③有一个实根为零，易知此时k＝0，方程x2－3x＋k＝0的两个实根为0和3，符合题意． 综上知，实数k的取值范围是． 【教材原题·P64例2】 例2判断二次函数y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点． 解：根据求根公式可得一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根分别为x1＝1＋，x2＝1－． 因为1<<2， 所以2<1＋<3． 因此，二次函数y＝x2－2x－1在区间(2，3)上存在零点． 　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究 结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理． (1) ⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点． (2) ⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点． (3) x1x2<0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点． 提醒：二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便． [跟进训练] 3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)． (1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围； (2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围． [解]　法一：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a． (1)因为该函数有两个正的零点， 所以 解得0<a<或<a<1， 所以a的取值范围是0<a<或<a<1． (2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以 或 解得a>1或a<0． 所以a的取值范围是a>1或a<0． 法二：(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2－x－a2＋a＝0， 所以 解得0<a<或<a<1， 所以a的取值范围是0<a<或<a<1． (2) 方程x2－x－a2＋a＝0中，Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2≥0，设其两实数根分别为x1，x2， 则 因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，所以(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0． 所以a的取值范围是a>1或a<0． 1．(教材P64练习T3(2)改编)函数y＝x2＋4x－5的零点为(　　) A．－5和1　　　　　　 B．(－5，0)和(1，0) C．－5 D．1 A　[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．] 2．(多选题)已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值可能是(　　) A．－4　　　 B．2 C．3　　　 D．－1 ABC　[当a＝0时，y＝3无零点．当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得x＝，所以－1<<1．当a>0时，－2a<a－3<2a，解得a>1，当a<0时，－2a>a－3>2a，解得a<－3． 所以a的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．结合选项知，ABC符合要求．] 3．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________． 2　[由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2．] 4．二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1，3)内的零点为________． 2　[方程x2＋2x－8＝0的两个根为x1＝2，x2＝－4，因此二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1，3)内的零点为2．] 5．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n的取值集合为________． {－3，0}　[由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0，1)，所以n的取值集合为{－3，0}．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．求函数零点的方法是什么？ [提示]　(1)观察图象，看图象与x轴交点的横坐标． (2)解相应的方程，方程的解即为函数的零点． (3)含参函数的零点求解需分类讨论． 2．怎样判定二次函数零点的个数？ [提示]　论证相应一元二次方程的根的判别式与0的大小关系． 3．怎样研究二次函数零点的分布？ [提示]　研究相应的一元二次方程，利用根与系数求解． 十字相乘法 把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解．提取公因式分解、应用乘法公式分解、分组分解是我们常用的方法． 对于二次三项式ax2＋bx＋c的因式分解，“十字相乘法”也是一种值得尝试的方法． 例　分解因式：6x2－7x＋2． 上式假如可以分解因式，必然是分成两个一次因式的乘积． 如6x2－7x＋2＝(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd． 如果能够找到整数a，c，b，d满足ac＝6，bd＝2，且ad＋bc＝－7，就把6x2－7x＋2分解成两个整系数一次因式的乘积了． 对于上例，因式分解的过程大致为：先分别把二次项系数6和常数项2分解因数，分别得到6＝3×2和2＝(－2)×(－1)．当然，还有其他的分解，分解之后还需检验交叉相乘后能否得到一次项系数．我们用下面的算式予以体现： 因此可得a＝3，b＝－2，c＝2，d＝－1，则6x2－7x＋2＝(3x－2)(2x－1)． 一般地，对于二次三项式ax2＋bx＋c，如果能够找到a1，a2，c1，c2满足a＝a1a2，c＝c1c2，且b＝a1c2＋a2c1，则有因式分解ax2＋bx＋c＝a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)． 为了便于理解，我们将a＝a1a2与c＝c1c2的因子排成如下方式： 十字相乘法适用于二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根的情况． 课时分层作业(十二)　从函数观点看一元二次方程 一、选择题 1．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 C　[由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时，函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2．] 2．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为－2和3，那么函数y＝cx2－bx＋a的零点为(　　) A．－和 B．和－ C．－3和2 D．无法确定 A　[由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，所以b＝－a，c＝－6a，由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝．故选A．] 3．关于x的函数y＝x2－2ax－8a2(a>0)的两个零点为x1, x2，且x2－x1＝15，则a＝(　　) A． B． C． D． A　[由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2． 由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝．故选A．] 4．(多选题)已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，实数m的可能取值为(　　) A．－5 B．－ C．－ D．－3 BC　[x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象得：方程的判别式Δ>0．当x＝2时函数值y>0，函数对称轴x＝3>2，即解得－4<m<－3．] 5．(多选题)已知关于x的函数y＝x2＋kx＋k＋4＝0有两个零点，且一个大于2，一个小于2，则实数k的可能取值为(　　) A．－2 B．－3 C．－4 D．－5 BCD　[由题意知函数的两个零点分别在2的左右两侧．由图象知当x＝2时对应的函数值y<0，即4＋2k＋k＋4<0，所以k<－．] 二、填空题 6．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＝________． 1　[因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得 所以＝＝1．] 7．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为________． 　[当a＝0时，由y＝0得x＝－2符合题意，当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－＝－2，即a＝，所以实数a的取值集合为．] 8．函数y＝x2＋3x＋m有唯一一个零点，则m的取值为________，若函数有两个负的零点，则m的取值范围为________． 　[因为y＝x2＋3x＋m有唯一零点，所以方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实根．所以Δ＝9－4m＝0，所以m＝． 若y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数， 所以解得0<m<．] 三、解答题 9．求下列函数的零点． (1) y＝x－2－3； (2) y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)． [解]　(1)由x－2－3＝0，得(＋1)(－3)＝0， 又≥0，所以＝3，即x＝9， 所以函数y＝x－2－3的零点为9． (2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2)＝0，得 [x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0． ①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4； ②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1)． 10．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点． [证明]　法一：对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0， 所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点． 法二：因为函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)的图象为开口向上的抛物线， 无论a为任何实数，x＝－1时，y＝(－1)2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M(－1，－1)， 所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点． 11．(多选题)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是(　　) A．函数一定有两个零点 B．a>0时，函数一定有两个零点 C．a<0时，函数一定有两个零点 D．函数的零点个数是1或2 BCD　[当a＝0时，由y＝0得x＝0，函数有一个零点；当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，所以A选项错误．故选BCD．] 12．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b．其中正确的结论是(　　) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ B　[因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B．] 13．已知函数y＝x2＋mx－1，若函数的一个零点为1，则m的值为________． 0　[若函数的一个零点为1，则0＝1＋m－1，则m＝0．] 14．已知实数a<b，函数y＝(x－a)(x－b)－1的两个零点为m，n(m<n)，则a，b，m，n的大小关系是________．(用“<”表示) m<a<b<n　[由题意知：x＝a或x＝b时，y＝－1，二次函数的图象的开口方向向上，画出简图(图略)得m<a<b<n．] 15．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>，求实数a的取值范围． [解]　函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n， 又x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1， 所以解得－<a<0， 即实数a的取值范围是． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $