3.2.1 基本不等式的证明-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“基本不等式（a，b≥0）”核心知识点，先通过算术平均数与几何平均数概念铺垫，再结合平方差推导证明基本不等式，延伸出两个重要不等式（a²+b²≥2ab等），最后以“一正、二定、三相等”为准则构建求最值的学习支架，形成从概念到应用的完整脉络。 资料以商店降价方案问题引入，培养用数学眼光观察现实世界的能力，通过证明推导和例题分析提升逻辑推理素养，求最值训练强化数学运算能力。课中例题与探究活动辅助教师授课，课后分层作业与跟进训练帮助学生查漏补缺，实现核心素养与教学实践的融合。

3.2　基本不等式(a，b≥0) 3.2.1　基本不等式的证明 学习任务 核心素养 1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点) 1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式求简单的最值问题，提升数学运算素养． 某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．甲方案是第一次打p折销售，第二次打q折销售，乙方案是第一次打q折销售，第二次打p折销售，丙方案是两次都打折销售．请问哪一种方案降价最多？ 知识点1　算术平均数、几何平均数与基本不等式 (1)算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． (2)基本不等式 如果a，b是正数，那么(当且仅当a＝b时，等号成立)，我们把不等式(a，b≥0)称为基本不等式． 1．如何证明不等式(a，b≥0)? [提示]　因为a＋b－2＝()2＋()2－2＝()2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a＋b≥2， 所以，当且仅当a＝b时，等号成立． 1．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________，此时x＝________，y＝________． 400　20　20　[由知，所以xy≤400，当xy取最大值400时，x＝y＝20．] 知识点2　两个重要的不等式 若a，b∈R，则 (1)ab≤，即a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)． 2．当a、b满足什么条件时，a2＋b2＝2ab？a2＋b2>2ab? [提示]　当a＝b时，a2＋b2＝2ab；a、b∈R且a≠b时，a2＋b2>2ab． 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________． a＝1　[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时“＝”成立．] 知识点3　应用基本不等式求最值 在运用基本不等式求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”． 一正： a，b是正数． 二定：①和a＋b一定时，由变形得ab≤，即积ab有最大值； ②积ab一定时，由变形得a＋b≥2，即和a＋b有最小值2． 三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　) (2)若a>2，则a＋≥2＝2． (　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 类型1　对基本不等式的理解 【例1】给出下面三个推导过程： ①因为a，b为正实数，所以≥2＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4； ③因为x，y∈R，xy＜0，所以＝－≤－2＝－2． 其中正确的推导为(　　) A．①②　　　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ B　[①因为a，b为正实数，所以为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， 所以＋a≥2＝4是错误的． ③由xy＜0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．] 　1．基本不等式(a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系． 2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是非负数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，的等号成立，即＝⇒a＝b． [跟进训练] 1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x＞0，则x＋≥2＝2； ②若x＜0，则x＋＝－≤ －2＝－4； ③若a，b∈R，则≥2＝2． ①②　[③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．] 类型2　利用基本不等式比较大小 【例2】已知m＝a＋(a>2)，n＝－＋5(a，b∈(0，＋∞))，试比较m，n的大小． [解]　m＝a＋＝(a－2)＋＋2， ∵a>2，∴a－2>0，>0， ∴m＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝时等号成立，此时a＝3． ∴m≥4． n＝－＋5≤－2＋5＝3，当且仅当a＝b时等号成立．∴n≤3． 综上m>n． 　1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件． 2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b． [跟进训练] 2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P B　[显然＞，又因为＜(由a＋b＞，也就是由＜1可得)，所以＞＞．故M＞P＞Q．] 类型3　利用基本不等式证明不等式 【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>9． [思路点拨]　看到>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明． [证明]　因为a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1， 所以＝ ＝3＋ ＝3＋ ≥3＋2＋2＋2 ＝3＋2＋2＋2＝9． 当且仅当a＝b＝c时取等号， 又因为a，b，c互不相等，所以>9． [母题探究] 本例条件不变，求证：>8． [证明]　因为a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1， 所以－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0， 所以 ＝ ≥＝8， 当且仅当a＝b＝c时取等号， 因为a，b，c互不相等， 所以>8． 　1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． 2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法． [跟进训练] 3．已知a，b，c为不全相等的正实数． 求证：a＋b＋c>． [证明]　∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0． ∴2(a＋b＋c)≥2()， 即a＋b＋c≥． 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c>． 类型4　利用基本不等式求最值 【例4】【链接教材P58例2】 (1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)当x>1时，求2x＋的最小值； (4)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． [解]　(1)∵x>0，∴>0，4x>0． ∴＋4x≥2＝8． 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8． (2)∵x<0，∴－x>0． 则＋(－4x)≥2＝8， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8． ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8． (3)2x＋＝2＋2， ∵x>1，∴x－1>0， ∴2x＋≥2×2＋2＝10， 当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号． ∴当x>1时，2x＋的最小值为10． (4)4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， ∴a＝36． 【教材原题·P58例2】 例2设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值． 解：因为x>－2，所以x＋2>0． 由基本不等式，得 x＋＝(x＋2)＋－2 ≥2－2 ＝6， 当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立． 因此，当x＝2时，y的最小值为6． 　利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用增减性． [跟进训练] 4．(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值； (3)已知x>0，求函数y＝的最小值． [解]　(1)∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1． (2)∵0<x<， ∴1－2x>0， ∴y＝×2x(1－2x)≤＝＝． ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝． (3)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＝，即x＝2时等号成立． ∴y＝(x>0)的最小值为9． 1．(教材P59练习T4改编)已知x>0，则＋x的最小值为(　　) A．6　　　　B．5　　　　C．4　　　　D．3 A　[∵x>0，∴＋x≥2＝6． 当且仅当x＝，即x＝3时，取得最小值6．] 2．设a，b为正数，且a＋b≤4，则(　　) A．≤1 B．≥2 C．ab≤4 D．ab≥8 C　[设a，b为正数，且a＋b≥2，所以ab≤≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号．] 3．若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为______． 3　[由a＋b＝0，a＞0， 得b＝－a，－＝＞0， 所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．] 4．已知ab＝1，a>0，b>0．则a＋b的最小值为________． 2　[因为a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2． 当且仅当a＝b＝1时等号成立，故a＋b的最小值为2．] 5．函数y＝＋x(其中x>2)取得最小值的条件是________． x＝5　[当x>2时，由基本不等式知y＝＋x＝＋(x－2)＋2≥2＋2＝8．当且仅当＝x－2时取等号，此时x＝5(x＝－1舍去)．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．应用基本不等式要注意哪些问题？ [提示]　一正二定三相等． 2．应用基本不等式证明不等式的关键是什么？ [提示]　关键在于“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构选出符合基本不等式的条件结构． 课时分层作业(十)　基本不等式的证明 一、选择题 1．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C． D．x2＋≥2 D　[若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误； 若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误； 若a＝4，b＝16，则<，故C错误； 由基本不等式可知D项正确．] 2．(多选题)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A．ab≤ B．ab≤ C． D． ABC　[由基本不等式知A、B、C正确，由≥ab得，ab≤，∴．] 3．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C．> D．≥2 D　[对于A，∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误； 对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误； 对于D，∵ab>0，∴≥2＝2， 当且仅当a＝b时，等号成立．] 4．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A． B．a2＋b2 C．2ab D．a B　[a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2＝， ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab． ∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<，∴a2＋b2最大．] 5．当x＞0时，f(x)＝的最大值为(　　) A． B．1 C．2 D．4 B　[∵x＞0，∴f(x)＝＝＝1， 当且仅当x＝，即x＝1时取等号．故选B．] 二、填空题 6．已知a>b>c，则与的大小关系是________． 　[∵a>b>c， ∴a－b>0，b－c>0， ∴＝．] 7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2， 则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． ∴1＋x＝＝1＋， ∴x≤，当且仅当a＝b时等号成立．] 8．若x＞1，则的最小值为________，取得最小值时x＝________． 7　4　[若x＞1，则＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝7， 当且仅当x－1＝，即x＝4时，等号成立， 因此当x＝4时，取得最小值7．] 三、解答题 9．已知a>b>c，求(a－c)的最小值． [解]　(a－c) ＝(a－b＋b－c) ＝1＋1＋． ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0， ∴2＋≥2＋2＝4， 当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号， ∴(a－c)的最小值为4． 10．已知a，b，c为正数，求证：≥3． [证明]　左边＝－1＋－1＋－1 ＝－3． ∵a，b，c为正数， ∴≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)， ≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)， ≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)． 从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)． ∴－3≥3， 即≥3． 11．(多选题)下列函数中，最小值是2的有(　　) A．y＝x＋ B．y＝ C．y＝x2＋＋4 D．y＝(x＞0) BD　[对于A，x<0时，y<0，无最小值，A不正确． 对于B，y＝≥2，当且仅当x＝2时取等号，正确． 对于C，y＝x2＋＋4≥2＝2，当且仅当x2＋4＝时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确． 对于D，y＝＝x＋1＋≥2，当且仅当x＝－1时取等号，正确．] 12．已知a>b>1且b＝，则a＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 A　[因为a>b>1且b＝，所以a＋＝a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时等号成立．此时最小值为3．] 13．若实数a，b满足＝，则ab的最小值为________． 2　[因为＝，所以a>0，b>0， 由＝≥2＝2， 所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)， 所以ab的最小值为2．] 14．当3<x<12时，函数y＝的最大值为________． 3　[y＝＝ ＝－＋15≤－2＋15＝3， 当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3．] 15．若0<x<，求x的最大值． [解]　由x＝ ＝ ＝＝， 当且仅当4x2＝1－4x2，即x2＝，x＝时取“＝”， 故x的最大值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $