2.3 全称量词命题与存在量词命题-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦全称量词与存在量词命题的意义、真假判定及否定这一核心知识点，从生活实例引入概念，经定义学习、技能训练到应用，构建“概念理解-技能掌握-问题解决”的完整学习支架。 资料通过《人民日报》“否定”案例情境化引入，融合逻辑推理（命题否定步骤训练）与数学运算（参数范围求解）素养，分层设计例题、训练及作业，课中助力教师系统授课，课后帮助学生回顾强化，有效查漏补缺。

2.3　全称量词命题与存在量词命题 学习任务 核心素养 1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义． 2．掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点) 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点) 1．通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养． 2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养． “否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：‘前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．’” 结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思． 知识点1　全称量词与全称量词命题 (1) “所有”“任意” “每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”． (2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)． 其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 知识点2　存在量词与存在量词命题 (1) “存在”“有的” “有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”． (2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M,_p(x)． 其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句． “一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式． [提示]　是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题． (　　) (2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题． (　　) (3)三角形内角和是180°是存在量词命题． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 知识点3　全称量词命题与存在量词命题的否定 语句¬p(x)是对语句p(x)的否定． 一般地，全称量词命题与存在量词命题的否定，有下面的结论： “∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，¬p(x)”； “∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，¬p(x)”． 2．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是________． [答案]　∃x∈R，sin x>1 知识点4　全称量词命题与存在量词命题的真假的判定 (1)判定全称量词命题为真，需要严格证明，判定全称量词命题为假，列举反例即可． (2)判定存在量词命题为真，只要列举特例，判定存在量词命题为假，需要严格证明． (3)对一个命题进行否定，就得到一个新命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”． 3．下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，x＋2 025<1 D．∃x∈R，2x＞2 B　[当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．] 类型1　全称量词命题和存在量词命题的判断 【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)对任意实数a，|a|＞0； (4)有一个角α，使sin α＝． [解]　(1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题． 　判断全称量词命题与存在量词命题的方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． [跟进训练] 1． 判断下列命题的真假． (1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0． [解]　(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题． (2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0， 所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 类型2　全称量词命题和存在量词命题的否定 【例2】【链接教材P38例2】 (1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　) A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n (2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2 (1)C　(2)D　[(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C． (2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．] 【教材原题·P38例2】 例2写出下列命题的否定： (1)所有的无理数都是实数； (2)∀x∈R，x2＋x＋1>0； (3)菱形不是矩形； (4)∃x∈R，x2－x＋1＝0． 解：(1)“所有的无理数都是实数”的否定是 “有的无理数不是实数”． (2)“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是 “∃x∈R，x2＋x＋1≤0”． (3)“菱形不是矩形”是指“任意一个菱形都不是矩形”，它的否定是“存在一个菱形，它是矩形”， 或“存在是矩形的菱形”． (4)“∃x∈R，x2－x＋1＝0”的否定是 “∀x∈R，x2－x＋1≠0”． 　含有一个量词的命题的否定的方法 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． [跟进训练] 2．写出下列命题的否定并判断其真假： (1)p：∀x∈R，≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0； (4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0． [解]　(1) ¬p：∃x∈R，＜0，假命题． 因为∀x∈R，≥0恒成立，所以¬p是假命题． (2) ¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) ¬r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题． 因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以¬r是真命题． (4) ¬s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题． 因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以¬s是假命题． 类型3　全称量词命题与存在量词命题的应用 【例3】对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围． [解]　因为y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5， 因为∀x∈R，x2＋4x－1>m恒成立， 所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． 　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1) 对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或a＜ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或a＜ymax)． [跟进训练] 3．已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，求实数a的取值范围． [解]　∵命题“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题， ∴a≥－x2－2x＝－(x＋1)2＋1成立，x∈[1，2]，即a≥[－(x＋1)2＋1]min＝－(2＋1)2＋1＝－8，即实数a的取值范围为{a|a≥－8}． 1．设非空集合P，Q满足P⊆Q，则表述正确的是(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∈P，有x∈Q C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q B　[因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中，所以选B．] 2．下列存在量词命题中，是假命题的是(　　 ) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．有的三角形没有外接圆 D．某些四边形不存在外接圆 C　[A中，x＝－1或x＝3满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D中，只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C．] 3．(教材P40习题2.3T5改编)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　 ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 B　[量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．] 4．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________． (答案不唯一)　[存在两个不相等的正数a，b，如a＝，b＝，使得a－b＝ab是真命题．] 5．若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________． {a|a>4}　[∵命题∃x∈R，x2－4x＋a＝0为假命题，∴方程x2－4x＋a＝0无实数根，则Δ＝(－4)2－4a<0，解得a>4．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是什么？ [提示]　看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称命题． 2．你是怎样判断命题的真假的？ [提示]　对集合M中的每一个元素x验证p(x)都成立即为真命题．对于假命题只要举出一个反例即可． 3．如何否定全称量词命题与存在量词命题？ [提示]　第一步　否定量词(全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词)． 第二步　否定命题的结论． 课时分层作业(八)　全称量词命题与存在量词命题 一、选择题 1．(多选题)下列命题中是真命题的是(　　) A．∃x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，x＋1>2 C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，x2＋1>0 ABD　[当x＝0时x2＝0，故C项为假命题．] 2．下列命题中是存在量词命题的是(　　 ) A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈R，x2≤0 C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 B　[A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有，为全称量词命题；D省略了全称量词所有，为全称量词命题，故选B．] 3．已知命题p：∀x∈R，x3－x－1＞0，则¬p是(　　) A．∀x∈R，x3－x－1＜0 B．∃x∈R，x3－x－1≤0 C．∃x∈R，x3－x－1＜0 D．∀x∈R，x3－x－1≤0 B　[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x3－x－1＞0，则¬p：∃x∈R，x3－x－1≤0．故选B．] 4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 B　[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．] 5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(0，＋∞) D．[0，＋∞) B　[∵p为假命题，∴¬p是真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0， 即x≠1－a，∴1－a≤0，即a≥1，∴B正确．] 二、填空题 6．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是______(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________． 存在量词命题　∃x，y∈R，x＋y＞1　[命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是存在量词命题，用符号表示为“∃x，y∈R，x＋y＞1”．] 7．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是______． 存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0　[原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0．] 8．若“∀x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为________． {m|m≤－4}　[由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4．] 三、解答题 9．(源自人教B版教材)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)p：∀x∈R，x2≥－1； (2)q：∀x∈{1，2，3，4，5}，<x； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． [解]　(1)¬p：∃x∈R，x2<－1，由p是真命题可知¬p是假命题． (2)¬q：∃x∈{1，2，3，4，5}，≥x．将集合中的元素逐个验证，当x＝1时不等式成立，因此¬q是真命题． (3)¬s：所有直角三角形都是等腰三角形．因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以¬s是假命题． 10．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根； (2)q：有些梯形的对角线相等． [解]　(1)¬p：∃m∈R，方程x2＋x－m＝0无实数根． 由于当m＝－1时，方程x2＋x－m＝0的根的判别式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0无实数根，故其是真命题． (2)¬q：∀x∈{梯形}，x的对角线不相等，如等腰梯形对角线相等，故其是假命题． 11．下列命题中正确的个数是(　　) ①∃x∈R，x≤0； ②∃x∈N，≤x； ③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 D　[①∃x∈R，x≤0，正确；②∃x＝4∈N，且＝2＜4，正确；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π．综上可得①②③都正确．故选D．] 12．(多选题)下列命题的否定是假命题的是(　　) A．p1：每一个合数都是偶数 B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．p3：有些实数的绝对值是正数 D．p4：某些平行四边形是菱形 BCD　[若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因为p1为全称量词命题，且是假命题，则¬p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即¬p2，¬p3，¬p4均为假命题．] 13．命题“∀x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是________． ∃x＞0，使得x2－x＋3＞0　[命题“∀x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x＞0，使得x2－x＋3＞0．] 14．若“∃x∈R，x2－2x<m”是假命题，则实数m的最大值为________． －1　[因为 “∃x∈R，x2－2x<m”是假命题，所以该命题的否定“∀x∈R，x2－2x≥m”是真命题，即x∈R，m≤x2－2x＝(x－1)2－1恒成立，所以m≤[(x－1)2－1]min＝－1，解得m≤－1，所以m的最大值为－1．] 15．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点； (2)某些平行四边形是正方形； (3)能被5整除的数，末位是0； (4)能被3整除的数，也能被4整除． [解]　(1)省略了全称量词，命题的否定为：存在实数a，二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴无交点，由Δ＝(－a)2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0知此命题是假命题． (2)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此命题的否定为：每一个平行四边形都不是正方形，是假命题． (3)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些能被5整除的数，末位不是0，是真命题． (4)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $