精品解析：河北省张家口市桥东区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

河北省张家口市桥东区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题（2025.11） 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 答题要求及注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上；准考证号用2B铅笔涂在答题卡上． 2．选择题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净；非选择题部分，必须使用黑色字透的钢笔、签字笔或圆珠笔书写在答题区域内，超出答题区域书写无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么下列四个选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在菱形中，对角线，则菱形的周长为（ ） A. 10 B. 20 C. 24 D. 48 4. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过 B. 图象位于二、四象限 C. 随的增大而增大 D. 若，则 5. 嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 16 B. 11 C. 8 D. 6 10. 二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下： 0 1 2 8 3 0 0 下列说法错误的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 图象开口向下 C. 的解集为 D. 当时， 11. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 线段a、b、c、d成比例，其中，，，则______． 14. 已知点在反比例函数的图象上，则__________填． 15. 当一枚火箭被竖直向上发射时，如果它的高度与时间之间的关系可以用公式表示，那么火箭到达最高点，经过的时间为 ________． 16. 如图，在菱形ABCD中，，，动点分别在线段上，且，的最小值为__________． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围： （2）若方程有一个根为，求方程的另一根． 19. 如图，在中，，，垂足为D． （1）求证：； （2）已知，，求AD的长． 20. 有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为 （1）能否围成一个面积为的矩形？ （2）写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值． 21. 一次函数图象与反比例函数的图象交于点两点． （1）求出这个一次函数关系式； （2）根据函数图象，直接写出一次函数值小于反比例函数值的的取值范围． 22. 综合实践：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计．下面我们折叠出一个黄金矩形： 【动手操作】 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，折痕为AP． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图4）就是黄金矩形． （1）如图4，矩形BCDE中，的值为______． （2）如图3，求证：四边形ABPD为菱形． （3）按照以上四个步骤折叠得到的矩形BCDE是黄金矩形，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为P．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为． （1）求b，c的值及点P的坐标． （2）点D在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． 24. 已知，如图1，在矩形中，，点是上一动点，连接，将沿折叠得，设． （1）如图2，当点Q落在上时，求的值； （2）如图3，当时，求点Q到的距离； （3）直接写出点Q到的距离（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省张家口市桥东区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题（2025.11） 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 答题要求及注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上；准考证号用2B铅笔涂在答题卡上． 2．选择题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净；非选择题部分，必须使用黑色字透的钢笔、签字笔或圆珠笔书写在答题区域内，超出答题区域书写无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式及定义条件． 根据一元二次方程的定义，其一般形式为是常数且，据此分析的取值范围． 【详解】解：在方程中，要使其为一元二次方程，二次项系数不能为0，即． 故选：A． 2. 已知，那么下列四个选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质及变形． 根据比例的性质，对每个选项逐一分析，判断其是否正确． 【详解】解：已知，设（为常数，）， A、只是时的特殊情况，并非一定成立，所以A错误，不符合题意； B、不一定等于1，所以B错误，不符合题意； C、，所以，C正确，符合题意； D、，所以D错误，不符合题意； 故选：C． 3. 在菱形中，对角线，则菱形的周长为（ ） A. 10 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以得到,，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长． 【详解】解：如图所示，在菱形中，对角线， ∴,，， ， 菱形的周长． 故选：B． 4. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过 B. 图象位于二、四象限 C. 随的增大而增大 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，但整体上并非单调递增；点是否在图象上可通过验证． 【详解】解：A．当 时，，且 ， ∴ 点 在图象上，故A正确，不符合题意； B．∵ 反比例函数 ，， ∴ 图象位于第二、四象限，故B正确，不符合题意； C．虽然在每个象限内随的增大而增大，但由于图象分两个象限，整体上随的增大而增大不正确，故C错误，符合题意； D．当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 5. 嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得：． 故选：D． 6. 如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的判定定理、菱形的定义和菱形的判定定理等知识，由平行四边形的性质得，则，而，所以，推导出，则四边形是菱形，可判断A不符合题意；由四边形是平行四边形，且，可推导出四边形是矩形，可判断B符合题意；由四边形是平行四边形，且，可证明四边形是菱形，可判断C不符合题意；由四边形是平行四边形，且，可判断四边形是菱形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是矩形， 故B符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故C不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故D不符合题意， 故选：B． 7. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．将方程化为一般形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标，再判断所在象限即可． 【详解】解：∵方程化为， ∴, , ， ∴两根之和为， 两根之积为， ∴点为， ∵横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限． 故选：D． 8. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 9. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 16 B. 11 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象在点和之间即可作出判断． 【详解】解：反比例函数的图象在点和之间， ，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． 10. 二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下： 0 1 2 8 3 0 0 下列说法错误的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 图象开口向下 C. 的解集为 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式的关系等知识点． 根据给定的对应值，可求出二次函数解析式为，再逐一验证各选项． 【详解】解：将点、、代入得： 解得， ∴， A、对称轴，正确； B、，图象开口向上，故开口向下错误； C、由表格可知抛物线经过，而抛物线开口向上，则时，，正确； D、时，，正确， ∴ 错误的是B， 故选：B． 11. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合并为一个长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合并为一个长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 12. 如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断①正确；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求出，即可判断②正确；由可知当时，，当时，，根据一次函数的性质即可判断③错误． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有，故①正确； 将抛物线的顶点为，抛物线开口向下，顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， ∴点平移后的对应点为 ，故②正确； ， 当时，，随着的增大而减小， 当时，，随着的增大而增大，故③错误； 综上分析可知：正确的是①②． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 线段a、b、c、d成比例，其中，，，则______． 【答案】1或4或9 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义．由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可求得a的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例， 或或， ∴或或， ∵，，， ∴或或， 解得：或或； 故答案为：1或4或9． 14. 已知点在反比例函数的图象上，则__________填． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与增减性． 先分析反比例函数的比例系数，确定其图象所在象限及增减性，再根据点的横坐标判断和的大小． 【详解】解：在反比例函数中，， 该函数图象在第二、四象限， 点的横坐标，该点在第二象限，第二象限内的值为正，即． 点的横坐标，该点在第四象限，第四象限内的值为负，即． 正数大于负数， ． 故答案为：． 15. 当一枚火箭被竖直向上发射时，如果它的高度与时间之间的关系可以用公式表示，那么火箭到达最高点，经过的时间为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】把抛物线解析式从一般形式化为顶点式后直接解答即可． 【详解】 经过 ，火箭达到最大高度，最大高度为 1135 米； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，关键是用配方法得到二次函数的顶点式． 16. 如图，在菱形ABCD中，，，动点分别在线段上，且，的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于，先证明、都是等边三角形，得到，进而证明得到，进一步证明是等边三角形，得到，则当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴、都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当与重合时，此时最小，即最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围： （2）若方程有一个根为，求方程的另一根． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式的作用是解本题的关键． （1）根据题意可得根的判别式和一元二次方程的定义，列出不等式组求解即可； （2）把代入到关于的一元二次方程求出值，解出一元二次方程的解即可． 【小问1详解】 关于的一元二次方程有两个不等的实数根， 且， 故答案为：的取值范围是且； 【小问2详解】 把代入到关于的一元二次方程中，得 ， ， ， ，， 故答案为：方程的另一根是． 19. 如图，在中，，，垂足为D． （1）求证：； （2）已知，，求AD的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由得到，则，进而得到，再利用两角对应相等判定三角形相似即可； （2）利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为 （1）能否围成一个面积为的矩形？ （2）写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值． 【答案】（1）能 （2），9 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据矩形的周长和面积公式建立函数关系，再利用二次函数的性质求解． （1）根据矩形周长求出宽，结合面积公式列方程，判断方程是否有实数解； （2）根据矩形面积公式建立函数关系式，再通过二次函数的性质求面积最大值． 【小问1详解】 解：能，理由如下： 设矩形的长为，则宽为． 根据题意可得： 解得． 当时，宽为；当时，宽为，均符合矩形长和宽的实际意义， 能围成面积为的矩形； 【小问2详解】 解：矩形面积公式，． 矩形的长，宽， ， 即函数关系式为． 当时，面积的最大值为9． 答：与的函数关系式为，面积最大值为9． 21. 一次函数图象与反比例函数的图象交于点两点． （1）求出这个一次函数关系式； （2）根据函数图象，直接写出一次函数值小于反比例函数值的的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用反比例函数求出点的坐标，再代入一次函数求解解析式，结合图象分析函数值的大小关系． （1）先将点A、代入反比例函数求出其坐标，再将坐标代入一次函数解析式，求解和的值； （2）画出一次函数和反比例函数的图象，根据图象交点的横坐标，分析一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， 对于点，即； 对于点，解得，即． 将和代入一次函数，可得方程组： 解得，， 一次函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，一次函数与反比例函数的交点为和， 画出两个函数的图象，观察可得： 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即一次函数值小于反比例函数值， 的取值范围是或． 22. 综合实践：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计．下面我们折叠出一个黄金矩形： 【动手操作】 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，折痕为AP． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图4）就是黄金矩形． （1）如图4，矩形BCDE中，的值为______． （2）如图3，求证：四边形ABPD为菱形． （3）按照以上四个步骤折叠得到的矩形BCDE是黄金矩形，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：由题可得， ∵ 由折叠的性质得， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形ABPD为平行四边形 又∵ ∴四边形ABPD为菱形； （3） 如图， 设，由折叠的性质得，， ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴矩形BCDE是黄金矩形． 【解析】 【分析】（1）由黄金矩形的定义可的值； （2）先证，再证四边形ABPD为平行四边形，再由得四边形ABPD为菱形； （3）设，得，，再由勾股定理求出AB的长，再求出CD的长，从而得出，即可得证 【小问1详解】 ∵矩形BCDE是黄金矩形， ∴=， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，黄金矩形的定义等知识，解题的关键是理解黄金矩形的定义，灵活运用所学知识解决问题． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为P．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为． （1）求b，c的值及点P的坐标． （2）点D在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，点P的坐标为 （2） 不能，理由如下： 令，则， 解得，， ∴点D的坐标为或， ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴经过点和， ∴不能经过点D． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入点到，利用待定系数法求出b，c的值，得到抛物线的解析式，再利用二次函数的性质即可求出点P的坐标； （2）代入到，求出点D的坐标为或，根据二次函数的性质可知经过点和，即可得出结论． 【小问1详解】 解：代入点到， 得， 解得， ∴抛物线， ∴顶点P的坐标为； 【小问2详解】 略 24. 已知，如图1，在矩形中，，点是上一动点，连接，将沿折叠得，设． （1）如图2，当点Q落在上时，求的值； （2）如图3，当时，求点Q到的距离； （3）直接写出点Q到的距离（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3）点Q到的距离是 【解析】 【分析】（1）如图1，在矩形中，，，勾股定理求出，根据折叠可得，则，求出，在中，根据勾股定理即可求解． （2）如图，过点Q作分别交于点，在矩形中，，，根据折叠可得，则四边形是矩形，从而得出，证明，得出，当时，，列出方程，求出，即可解答． （3）设点Q到的距离是，如图，过点Q作分别交于点，在矩形中，，，根据折叠可得，则四边形是矩形，证明，得出，分三种情况：当点在矩形内部时，当点在矩形的边上时，当点在矩形外部时，分别画出图形，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，在矩形中，，， ∴， 根据折叠可得， 则， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：如图，过点Q作分别交于点， 在矩形中，，， 根据折叠可得， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ， ， 解得：， 即点Q到的距离是． 【小问3详解】 解：设点Q到的距离是， 如图，过点Q作分别交于点， 在矩形中，，， 根据折叠可得， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在矩形内部时，如图， 则， 同上，解得：， 即点Q到的距离是． 当点在矩形的边上时，如图， 则四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， 即点Q到的距离是3． 当点在矩形外部时，如图， 同理， ∴， 则， 解得：， 即点Q到的距离是． 综上，点Q到的距离是． 【点睛】该题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $