第2章 圆与方程 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（苏教版）

该高中数学讲义通过“知识梳理+例题解析”系统构建圆与方程单元体系，按求圆的方程、直线与圆位置关系、圆与圆位置关系三大类型，用步骤框架呈现待定系数法等方法，结合例题详解知识内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点是分层练习设计与方法指导创新，章末测评含选择、填空、解答题，例题如直线与圆位置关系用几何法求距离判断，培养数学思维与推理能力。基础生可学基本方法，优秀生能深入探究，助力教师精准教学与学生自主复习。

类型1　求圆的方程 1．求圆的方程的方法 求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题． 2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤 (1)选择圆的方程的某一形式． (2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)． (3)解出a，b，r(或D，E，F)． (4)代入圆的方程． 【例1】　已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程． [思路探究]　设标准方程，由相切可得d＝r，由圆心在直线上，可将(a，b)代入直线方程，由已知弦长可列出弦长公式．通过求解方程组，从而得到圆的方程． [解]　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 由圆C与y轴相切，得|a|＝r，① 又圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，② 圆心C(a，b)到直线y＝x的距离为d＝，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，∴2＋()2＝r2．③ 联立①②③解方程组可得或 故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9． 类型2　直线与圆的位置关系 判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系． 【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)． (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程． [解]　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5． (1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1． 因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1． (2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2． 设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0， 则圆心M到直线l的距离 d＝＝． 因为BC＝OA＝＝2， 而MC2＝d2＋2， 所以25＝＋5， 解得m＝5或m＝－15． 故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0． 类型3　圆与圆的位置关系 判断两圆位置关系的两种方法比较 (1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系． (2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系． 【例3】　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0． (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程． [解]　(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13． 圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝； C2(4，－2)，r2＝． 因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2， 所以圆C1与圆C2相切． 由 得12x－8y－12＝0， 即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0． 点(2，3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝． 所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0， 即x2＋y2＋8x－y－9＝0． 章末综合测评(二)　圆与方程 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是(　　) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 C　[圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切， 可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝a2，再把点(－1，－3)代入，解得a＝－5， 故该圆的方程为(x＋5)2＋y2＝25，即x2＋y2＋10x＝0，故选C．] 2．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A． B．2 C．3 D．3 D　[将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝＝3．] 3．若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是(　　) A．k>2 B．－3<k<2 C．k<－3或k>2 D．以上都不对 C　[由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2．] 4．已知点P和圆C：x2＋y2＝4，则过点P且与圆C相切的直线方程是(　　) A．x－y＝4 B．x＋y＝4 C．x－y＝4 D．x＋y＝4 B　[由题意知点P在圆上，kPC＝，则切线的斜率为－，所以切线方程为y－1＝－，即x＋y＝4．] 5．已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＋2＝0，点P为l上一动点，过点P作圆O的切线PA，PB(切点为A，B)，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y＋＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y－＝0 C　[∵圆x2＋y2＝1的圆心为C(0，0)，半径r＝1， 当点P与圆心的距离最小时，切线长PA，PB最小，此时四边形PAOB的面积最小． ∴PO⊥直线l， 则PO的方程为x－y＝0， 联立 解得x＝y＝－1， ∴P(－1，－1)， ∴以OP为直径的圆的方程为2＋2＝， 即x2＋y2＋x＋y＝0，两圆方程相减可得x＋y＋1＝0．] 6．若直线l：x－y－＝0与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是(　　) A． B． C． D． A　[由圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1， 则圆心C(2，0)，半径r＝1，圆心C到直线l的距离d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝1， 又原点O到直线l的距离h＝＝， ∴S△AOB＝|AB|·h＝×1×＝．] 7．若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　) A．45° B．135° C．60° D．120° B　[将圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成标准方程，得＋(y＋1)2＝1－， ∴r2＝1－， 当圆取得最大面积时，k＝0，半径r＝1， 因此直线y＝(k－1)x＋2，即y＝－x＋2． 得直线的倾斜角α满足tan α＝－1，∴α＝135°．] 8．若P是直线l：3x＋4y－9＝0上一动点，过P作圆C：x2＋y2＋4x＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为(　　) A． B．2 C． D．2 B　[圆C：(x＋2)2＋y2＝4，圆心为C(－2，0)半径|AC|＝r＝2，画出图象，如图所示． 因为直线与圆相切，所以∠PAC＝∠PBC＝90°，且△PAC≌△PBC， 所以四边形PACB面积S＝2S△PAC＝2×|AC|·|PA|＝2|PA|， 又|PA|＝＝， 所以当PC最小时，PA最小，四边形PACB的面积最小， 由图象可得，PC最小值即为点C到直线3x＋4y－9＝0的距离， 所以|PC|min＝＝3， 所以|PA|min＝＝， 所以四边形PACB面积的最小值 S＝2|PA|＝2，故选B．] 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．过点P(3，4)作圆C：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是(　　) A．|AB|＝ B．AB所在直线的方程为3x＋4y－4＝0 C．四边形PACB的外接圆方程为x2＋y2－3x－4y＝0 D．△PAB的面积为 BCD　[由题可得C(0，0)，半径r＝2， 对A：|CP|＝＝5，在Rt△CAP中， cos ∠ACP＝＝， ∴sin ∠ACP＝＝， ∵AB⊥CP，∴sin ∠ACP＝， ∴|AB|＝2|CA|sin ∠ACP＝2×2×＝，故A错误； 对B：直线AB可看作已知圆与以AP为半径、P为圆心的圆的交线，x2＋y2＝4的圆心(0，0)，半径为2． |AP|＝＝＝，以AP为半径、P为圆心的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝21，即x2＋y2－6x－8y＋4＝0， 将两圆的方程相减，得6x＋8y＝8即3x＋4y－4＝0．∴直线AB的方程是3x＋4y－4＝0，故B正确； 对C：∵PA⊥AC，PB⊥BC，所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆，PC的中点坐标，PC＝5， 所以四边形PACB的外接圆为2＋(y－2)2＝，即x2＋y2－3x－4y＝0，故C正确； 对D：点P到AB的距离d＝＝，则S△PAB＝|AB|·d＝＝，故D正确．] 10．已知点D，直线l：2kx－2y－k＋2＝0，圆C：x2＋y2－2x＝1，过点P(0，－2)分别作圆C的两条切线PA，PB(A，B为切点)，H在△ABC的外接圆上．则(　　) A．直线AB的方程是x＋2y－1＝0 B．l被圆C截得的最短弦的长为 C．四边形PACB的面积为 D．DH的取值范围为 BD　[对于A，圆C的圆心坐标为C(1，0)，P(0，－2)，则PC的中点为T， |PC|＝，则以PC为直径的圆的方程为x－2＋(y＋1)2＝，又圆C：x2＋y2－2x＝1， 两式作差，得直线AB的方程为x＋2y＋1＝0，故A错误； 对于B，令直线l与圆C相交的两点为M，N，直线l：2kx－2y－k＋2＝0可化为k(2x－1)－2y＋2＝0， 联立解得直线l恒过定点R， 且定点R在圆C内，当且仅当CR⊥MN时，弦长MN最短，又|CR|＝＝， ∴|MN|的最小值为2＝，故B正确； 对于C，四边形PACB的对角线AB，PC互相垂直，则四边形PACB的面积S＝|AB||PC|， ∵|AB|＝2＝，|PC|＝， ∴S＝＝，故C错误； 对于D，由题意知，△ABC的外接圆恰好是经过P，A，C，B四点的圆， ∵PC的中点T为外接圆的圆心，∴圆上的点H到点D距离最小值是|DT|－r＝＝， 最大值是|DT|＋r＝＝， ∴DH的取值范围为，故D正确．] 11．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 ACD　[设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确． 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4＝1，故B不正确． 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故CD都正确．] 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________． (x－1)2＋(y＋1)2＝2　[∵圆C的圆心在直线x＋y＝0上，∴设圆C的圆心为(a，－a)， 又∵圆C与直线x－y＝0相切， ∴半径r＝＝． 又圆C在直线x－y－3＝0上截得的弦长为， 圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝， ∴d2＋＝r2，即＝2a2， 解得a＝1， ∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．] 13．已知点Q是直线l：x＋y－4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点 ________． (1，1)　[根据题意，设Q(4－m，m)，又由QA，QB是圆O的切线，得OA⊥QA，OB⊥QB， 则AB是圆O与以QO为直径的两圆的公共弦，可得以QO为直径的圆的方程为＋2＝2＋2， 即x2－(4－m)x＋y2－my＝0，① 又圆O的方程为x2＋y2＝4，② ②－①，得(4－m)x＋my－4＝0，即m(y－x)＋4x－4＝0，则该直线必过点(1，1)．] 14．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，则实数m的值为________． 3　[∵x2＋y2＋x－6y＋m＝0，∴2＋(y－3)2＝－m，圆心C，半径r＝，所以圆心C(－，3)到直线x＋2y－3＝0距离为＝， 过圆心C且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为2x－y＋4＝0， 由 得PQ中点M坐标为(－1，2)， 因为OP⊥OQ， 所以OM2＝2＝r2－2， ∴1＋4＝－m－，∴m＝3．] 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)在①圆经过C，②圆心在直线x＋y－2＝0上，③圆截y轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解． 已知圆E经过点A，B且________； (1)求圆E的方程； (2)已知直线l经过点，直线l与圆E相交所得的弦长为8，求直线l的方程． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． [解]　选条件①， (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 依题意有 解得D＝－6，E＝2，F＝－15， 所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0， 即圆E的标准方程为＋＝25． (2)设圆心到直线的距离为d， 则弦长L＝2＝8⇒＝4⇒d＝3， 当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在， 设其方程为y－2＝k， 即kx－y＋2k＋2＝0， d＝＝3， 解得k＝0，k＝－， 所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0． 选条件②， (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为圆E经过点A，B，且圆心在直线x＋y－2＝0上， 依题意有 解得D＝－6，E＝2，F＝－15， 所以圆E的方程为＋＝25． (2)设圆心到直线的距离为d， 则弦长L＝2＝8⇒＝4⇒d＝3， 当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在， 设其方程为y－2＝k，即kx－y＋2k＋2＝0， d＝＝3， 解得k＝0，k＝－， 所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0． 选条件③， (1)设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由圆E经过点A，B， 故 ， 又因为圆截y轴所得弦长为8， 故方程y2＋Ey＋F＝0的两个实数根y1，y2的差的绝对值为8． 所以＝＝＝8，即E2－4F＝64， 解方程组， 得D＝－6，E＝2，F＝－15或D＝－，E＝－，F＝， 由于圆心E的坐标为整数， 故圆E的方程为＋＝25． (2)设圆心到直线的距离为d， 则弦长L＝2＝8⇒＝4⇒d＝3， 当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在， 设其方程为y－2＝k，即kx－y＋2k＋2＝0， d＝＝3， 解得k＝0，k＝－， 所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0． 16．(本小题满分15分) 已知直线l：x＋y＋2＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)相切，O为原点，A(－2，0)． (1)若过点A的直线l1与圆C相交所得弦长等于4，求直线l1的方程； (2)P为C上任意一点，求的值． [解]　(1)由题知圆心C(2，0)，因为l与圆C相切，所以r＝＝2， 所以圆C：(x－2)2＋y2＝8． 设圆心C到l1的距离为d， 由题得d＝＝2， 设l1：y＝k(x＋2)， 所以d＝＝2， 解得k＝±， 所以l1：y＝±(x＋2)． (2)设P，所以|PO|＝，|PA|＝， 所以＝， 因为＝8， 所以＝ ＝＝． 17．(本小题满分15分)已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0与直线l：3x－4y－7＝0相交于M，N两点且|MN|＝2． (1)求m的值； (2)过点P作圆C的切线，切点为Q，再过P作圆C′：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1的切线，切点为R，若|PQ|＝|PR|，求|OP|的最小值(其中O为坐标原点)． [解]　(1)化圆C为(x－2)2＋(y－1)2＝5－m＞0， 圆心到直线l的距离d＝＝1， 由题意，|MN|＝2＝2， 解得m＝1． (2)设P(x，y)，由(1)得C：(x－2)2＋(y－1)2＝4， 切线|PQ|＝ ＝， 同理，切线|PR|＝ ＝， 由 ＝， 化简得到4x＋3y＋3＝0． 可知直线4x＋3y＋3＝0与两圆都无公共点，故P为直线上任意点都符合题意． 因此|OP|最小值即为原点到直线4x＋3y＋3＝0的距离，则|OP|min＝d＝＝． 18．(本小题满分17分)已知直线l：(m＋2)x＋(1－2m)y＋4m－2＝0与圆C：x2－2x＋y2＝0交于M，N两点． (1)求出直线l恒过定点的坐标； (2)求直线l的斜率的取值范围； (3)若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1＋k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． [解]　(1)由直线l：(m＋2)x＋(1－2m)y＋4m－2＝0， 得m(x－2y＋4)＋(2x＋y－2)＝0， 联立 解得 ∴直线l恒过定点(0，2)． (2)由圆C：x2－2x＋y2＝0，知圆心C(1，0)，半径r＝1， 当直线l和圆C相切时， ＝1， 解得m＝或m＝－， 当m＝时，直线l方程x＝0， 当m＝－时，直线l方程3x＋4y－8＝0， ∴直线l与圆C相交时，直线l的斜率取值范围为． (3)由(2)知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 联立得(1＋k2)x2＋(2kb－2)x＋b2＝0， x1＋x2＝－，x1x2＝， k1＋k2＝＝ ＝ ＝ ＝2k＋b· ＝2k＋b·＝2k＋－2k＝． 由(1)可知，b＝2，则k1＋k2＝1， ∴k1＋k2是定值，定值为1． 19．(本小题满分17分) 如图，已知圆C1：＋＝2，圆C2：＋＝5，过原点O的直线l与圆C1，C2的交点依次是P，O，Q． (1)若＝2，求直线l的方程； (2)若线段的中点为M，求点M的轨迹方程． [解]　(1)设直线l的方程为y＝kx，C1，C2到直线l的距离为d1，d2． 由条件＝，即＝3， 所以4×－＝3， 整理得k2－4k＝0，解得k＝0或k＝4， 所以直线l的方程为y＝0或y＝4x． (2)设l：y＝kx．则由 消去y，得x2＋x＝0， 解得x1＝0，x2＝－．其中k≠－2， 所以Q， 由 消去y，得x2＋x＝0， 解得x3＝0，x4＝，其中k≠1，所以P， 设M，则 将k＝代入①式消去k，得x2＋y2＋x＋2y＝0，又k≠1且k≠－2， 将k＝1，k＝－2代入①②求得和， 故点M的轨迹方程为x2＋y2＋x＋2y＝0(挖去点和)． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $