第1章 直线与方程 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（苏教版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了“直线与方程”的知识体系，将倾斜角与斜率、直线方程、两直线位置关系及对称问题等要点按“基础概念-方程求法-综合应用”递进组织，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“类型+例题+测评”的分层设计，如例1斜率范围判断培养数学眼光，例4光线反射问题强化数学思维，综合测评涵盖选择填空解答题。方法指导与易错点提示帮助不同层次学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

类型1　直线的倾斜角与斜率 求直线的倾斜角与斜率的注意点 (1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围． (2)当直线的倾斜角0°α＜90°时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角90°＜α＜180°时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大． 【例1】　(1)已知直线l的倾斜角为α，并且0°α＜120°，直线l的斜率k的范围是(　　) A．－＜k0 B．k＞－ C．k0或k＜－ D．k0或k＜－ (2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． (1)C　[通过画图(图略)可知k＜－或k0．故选C．] (2)[解]　由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan 45°＝1，又P1，P2，P3都在此直线上，故＝＝k，即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0． 类型2　求直线的方程 求直线方程的方法 求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况． 【例2】　已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0．求： (1)AC所在的直线的方程； (2)点B的坐标． [解]　(1)因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0． 把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11． 所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0． (2)设B(x0，y0)，则AB的中点为． 联立得方程组 化简得 解得 故B(－1，－3)． 类型3　两直线的平行、垂直及距离问题 距离公式的运用 (1)距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离． (2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合． (3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力． 【例3】　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． [思路探究]　(1)把(－3，－1)代入l1方程，同时运用垂直条件A1A2＋B1B2＝0；(2)利用好平行条件及距离公式列方程． [解]　(1)∵l1⊥l2， ∴a(a－1)＋(－b)·1＝0． 即a2－a－b＝0．① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0．② 由①②解得a＝2，b＝2． (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， ∴l1的斜率也存在，＝1－a， 即b＝． 故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋＝0， l2：(a－1)x＋y＋＝0． ∵原点到l1与l2的距离相等， ∴4＝，解得a＝2或a＝． 因此或 类型4　对称问题 对称问题的求解策略 (1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础、最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是解决这类问题的关键． (2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上． (3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解． 【例4】　光线通过点A(2，3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程． 1．怎样求点关于点的对称点？ [提示]　设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解． 2．怎样求点关于直线的对称点坐标？ [提示]　设出所求点坐标(x，y)，利用中点坐标公式建立关于x，y的第一个方程，再利用垂直关系建立x，y的第二个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解． [解]　设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则解得即A′(－4，－3)． 由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)， 所以反射光线所在直线的方程为 y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0． 解方程组 得反射点P． 所以入射光线所在直线的方程为 y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0． 综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0，4x－5y＋1＝0． 章末综合测评(一)　直线与方程 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．直线2x＋2y－3＝0的倾斜角为(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° A　[设直线2x＋2y－3＝0的倾斜角为θ，0°θ＜180°，则tan θ＝k＝－＝－＝－，所以θ＝150°．] 2．与直线l：mx－m2y－1＝0垂直于点P(2，1)的直线的一般式方程是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y－3＝0 D．m2x＋my－1＝0 A　[由已知可得2m－m2－1＝0，m＝1，所以kl＝1，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0．故选A．] 3．已知直线MN的斜率为4，其中点N，点M在直线y＝x＋1上，则点M的坐标为(　　) A．(2，3) B．(4，5) C．(2，1) D．(5，7) A　[∵点M在直线y＝x＋1上， ∴设M， 则直线MN的斜率k＝＝＝4，解得x0＝2，∴M的坐标为(2，3)．] 4．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ A　[①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不合题意． ②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得解得m＝1． 综上可得m＝1．故选A．] 5．两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为(　　) A．3x－2y＋24＝0 B．3x－2y－10＝0 C．3x－2y－20＝0 D．3x－2y＋22＝0 D　[设所求直线方程为3x－2y＋C＝0， 由题意可知，所求直线到直线l2的距离等于直线l1、l2间的距离， ∴＝， ∵C≠－6， 解得C＝22． 因此，所求直线的方程为3x－2y＋22＝0．] 6．△ABC中，A(1，5)，两条高BE，CF所在的直线方程分别为x－2y＝0，x＋5y＋10＝0，则BC所在直线的方程是(　　) A．x＋4y＝0 B．5x－y＝28 C．3x＋5y＝0 D．5x－3y＝28 C　[因为AC，AB边上的高BE，CF所在的直线方程分别为x－2y＝0，x＋5y＋10＝0，所以它们的斜率分别为，－，故直线AB，AC的斜率分别为5，－2， 所以AB和AC的方程分别为y－5＝5(x－1)，y－5＝－2(x－1)，即5x－y＝0，2x＋y－7＝0， 联立方程解得x＝0，y＝0，所以B(0，0)， 联立方程解得x＝5，y＝－3，所以C(5，－3)， 所以BC所在直线的方程为y＝－x，即3x＋5y＝0．] 7．已知直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交，且交点在第二象限，则实数k的取值范围为(　　) A．(－1，0) B．(0，1] C．(0，1) D．(1，＋∞) A　[联立方程 解得 因为交点在第二象限， 所以解得－1＜k＜0， 故实数k的取值范围为(－1，0)．] 8．已知点A(1，1)，B(3，5)到经过点(2，1)的直线l的距离相等，则l的方程为(　　) A．2x－y－3＝0 B．x＝2 C．2x－y－3＝0或x＝2 D．以上都不对 C　[当A，B都在l的同侧时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，此时，AB∥l，所以k＝kAB＝＝2，l的方程为2x－y－3＝0．当A，B在l的两侧时，A，B到x＝2的距离相等，因此，l的方程为x＝2．故选C．] 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，下面结论中正确的是(　　) A．AB∥CD B．AB⊥AD C．AC＝BD D．AC∥BD ABC　[kAB＝＝－，kCD＝＝－． 且C不在直线AB上，∴AB∥CD，故A正确；又因为kAD＝＝，∴kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD，故B正确； ∵AC＝＝4， BD＝＝4， ∴AC＝BD，故C正确； 又kAC＝＝，kBD＝＝－4． ∴kAC·kBD＝－1， ∴AC⊥BD，故D不正确．] 10．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．直线的倾斜角是π－α B．无论α如何变化，直线不过原点 C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切 D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 BCD　[根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝1，所以D正确．故选BCD．] 11．如图，直线l1，l2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到l1，l2的距离，则称(x，y)为点P的“距离坐标”．下列说法正确的是(　　) A．距离坐标为(0，0)的点有1个 B．距离坐标为(0，1)的点有2个 C．距离坐标为(1，2)的点有4个 D．距离坐标为(x，x)的点在一条直线上 ABC　[根据题意，依次分析选项： 对于A，若距离坐标为(0，0)，即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离坐标为(0，0)的点只有1个，A正确； 对于B，若距离坐标为(0，1)，即P到直线l1的距离为0，到直线l2的距离为1，P在直线l1上，到直线l2的距离为1，符合条件的点有2个，B正确； 对于C，若距离坐标为(1，2)，即P到直线l1的距离为1，到直线l2的距离为2，有4个符合条件的点，即四个交点为与直线l1相距为1的两条平行线和与直线l2相距为2的两条平行线的交点，C正确； 对于D，若距离坐标为(x，x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x，x)的点在两条相互垂直的直线上，D错误．] 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，则顶点B到BC边上中线AD所在直线的距离为 __________． 　[∵△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)， ∴线段BC的中点为D(0，2)，故直线AD的方程为＝1，即2x－3y＋6＝0． 则顶点B到BC边上中线AD所在直线的距离为d＝＝．] 13．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________． x＋4y－4＝0　[设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4， 即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．] 14．已知点A(－3，1)，点M、N分别是x轴和直线2x＋y－5＝0上的两个动点，则AM＋MN的最小值等于________． 　[作点A(－3，1)关于x轴的对称点A′(－3，－1)，则AM＋MN＝A′M＋MNA′N， 最小值即为A′(－3，－1)到直线2x＋y－5＝0的距离， 即d＝＝，所以AM＋MN的最小值为．] 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知直线x－2y＋3＝0与直线3x＋y＋2＝0交于点P． (1)求过点P且平行于直线3x＋4y－5＝0的直线l1的方程，并求出两平行直线之间的距离；(直线方程写成一般式) (2)求过点P且垂直于直线4x＋3y＋2＝0的直线l2的方程；(直线方程写成一般式) (3)求过点P并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l3的方程．(直线方程写成一般式) [解]　由得P(－1，1)． (1)设直线l1的方程为3x＋4y＋λ＝0，代入点P坐标得λ＝－1， 所以直线l1的方程为3x＋4y－1＝0． 所以两平行直线间的距离d＝＝． (2)设直线l2的方程为3x－4y＋μ＝0，代入点P坐标得μ＝7． 所以直线l2的方程为3x－4y＋7＝0． (3)当直线l3过坐标原点时，直线l3的方程为y＝－x，即x＋y＝0； 当直线l3不过坐标原点时，设直线l3的方程为＝1，代入点P坐标得a＝－2， 所以直线l3的方程为＝1，即x－y＋2＝0． 综上所述，直线l3的方程为x＋y＝0或x－y＋2＝0． 16．(本小题满分15分)当k为何值时，直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0： (1)相交；(2)垂直；(3)平行；(4)重合． [解]　(1)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交， 则有3(2k－3)＋k(k＋2)≠0， 解得k≠1且k≠－9． (2)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0垂直， 则有3k－(k＋2)(2k－3)＝0， 解得k＝． (3)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0平行， 则有3(2k－3)＋k(k＋2)＝0， 解得k＝1或k＝－9； 当k＝1时，两条直线方程均为x－y＋2＝0，重合，故舍去； 当k＝－9，两条直线分别为3x＋7y－4＝0和9x＋21y－2＝0，平行，符合题意， 所以k＝－9． (4)由(3)可知，k＝1，直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0重合． 17．(本小题满分15分)已知直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R． (1)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标； (2)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程． [解]　(1)证明：直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R， 即m(x－y－3)＋(2x－8)＝0， 令解得 故直线l恒过定点P(4，1)． (2)直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，当直线l不经过原点且在x轴，y轴上的截距相等时， 即 令y＝0，可得x＝， 再令x＝0，可得y＝－， 由＝－，可得m＝－1， 故直线l的方程为x＋y－5＝0． 当直线l经过原点时，－3m－8＝0，得m＝－，故直线l的方程为x－4y＝0． 综上，所求直线l的方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0． 18．(本小题满分17分) 已知直线方程为x＋y＋3m＋4＝0，其中m∈R． (1)当m变化时，求点Q到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． [解]　(1)直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0， 可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0对任意m都成立， 所以 解得 所以直线恒过定点(－1，－2)． 设定点为P(－1，－2)，当m变化时，PQ垂直直线时， 点Q(3，4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值， 即＝2． (2)由于直线经过定点P(－1，－2)，直线的斜率k存在且k≠0， 因此可设直线方程为y＋2＝k(x＋1)， 可得与x轴、y轴的负半轴交于A，B(0，k－2)两点， 所以<0，k－2<0，解得k<0． 所以S△AOB＝×|k－2| ＝(k－2)＝2＋2＋2＝4， 当且仅当k＝－2时取等号，面积的最小值为4， 此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)， 即2x＋y＋4＝0． 19．(本小题满分17分) 如图，设直线l1：x＝0，l2：3x－4y＝0．点A的坐标为．过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N(M，N的纵坐标均为正数)． (1)求实数k的取值范围； (2)设a＝1，求△MON面积的最小值； (3)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由． [解]　(1)直线l的方程为y－a＝k(x－1)， 令x＝0得，y＝a－k，由y＝a－k>0，得k<a， ∵a>，∴k， 由 得(4k－3＝0时，方程组无解，不合题意)， 由y＝>0， 得k>a或k<． 综上k<， 即k的取值范围为． (2)由(1)得M(0，1－k)，N，＝1－k，＝， 设直线l2的倾斜角为θ， 则tan θ＝，cos θ＝， ∴sin ∠MON＝sin －θ＝cos θ＝， S△OMN＝×(1－k)×＝， 令t＝3－4k， 则t>0，k＝， ∴S△OMN＝＝＝． 当且仅当t＝， 即t＝1，k＝时等号成立， ∴S△OMN的最小值是． (3)假设存在满足题意的a，由(1)知，＝a－k，＝＝， ∴＝＝＝，此式与k值无关， 则a＝2． 所以存在a＝2，使的值与k无关． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $