5.1.2 瞬时变化率——导数-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦导数概念、几何意义及瞬时变化率，以攀登珠峰山势陡峭程度为情境导入，通过平均变化率到瞬时变化率的递进，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生构建导数知识体系。 其亮点在于情境导学激发兴趣，结合数学抽象与数学运算核心素养，通过火箭高度、汽车速度等实例渗透导数物理意义，“反思领悟”环节总结解题步骤。分层作业设计满足不同需求，学生能提升思维与运算能力，教师可高效开展差异化教学。

第5章　导数及其应用 5.1　导数的概念 5.1.2　瞬时变化率——导数 学习任务 核心素养 1．了解切线的含义．(重点) 2．理解瞬时速度与瞬时加速度．(重点) 3．掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．(难点) 1．通过对瞬时变化率、导数概念和导数几何意义的学习，培养数学抽象及直观想象的核心素养． 2．借助对切线方程的求解，提升数学运算的核心素养． 5.1.2　瞬时变化率——导数 巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员在陡峭程度不同时，运动员的感受是不一样的，如何用数学知识反映山势的陡峭程度，给登山运动员一些有益的技术参考？ 思考：什么是平均变化率？如何理解瞬时变化率？ 必备知识·情境导学探新知 5.1.2　瞬时变化率——导数 知识点1　曲线上一点处的切线 (1)设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C．当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的____． 切线 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 (2)若曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 知识点2　瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：在物理学中，运动物体的位移与________的比称为平均速度． (2)瞬时速度：一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在_____时的瞬时速度，也就是位移对于时间的__________． (3)瞬时加速度：一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的__________． 所用时间 t＝t0 瞬时变化率 瞬时变化率 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 体验1．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则该汽车在t＝3时的瞬时加速度为________． 6　[＝＝＝6＋Δt，当Δt→0时，→6，即汽车在t＝3时的瞬时加速度为6．] 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 体验2．火箭发射t s后，其高度(单位：km)为h(t)＝0.9t2．那么t＝________s时火箭的瞬时速度为3.6 km/s． 2　[＝＝＝0.9Δt＋1.8t0．当Δt→0时，→1.8t0． 即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0， 由1.8t0＝3.6得t0＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 知识点3　导数 (1)导数：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx____________时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处____，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作_________． (2)导数的几何意义：导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点_______________处的切线的____． 无限趋近于0 可导 f′(x0) P(x0，f(x0)) 斜率 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 (3)导函数：①若f(x)对于区间(a，b)内______都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是________的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作_______．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的____； ②f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的______． 任一点 自变量x f′(x) 导数 函数值 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 思考1．f′(x0)＞0和f′(x0)＜0反映了怎样的意义？ [提示]　f′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势． 思考2．f′(x0)与f′(x)有什么区别？ [提示]　f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 体验3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　) A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＝0 C．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在 C　[由题意可知，f′(x0)＝－2＜0，故选C．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 关键能力·合作探究释疑难 类型1　求曲线上某一点处的切线 【例1】　【链接教材P192例5】 已知曲线y＝f(x)＝x＋上的一点A，用切线斜率定义求： (1)点A处的切线的斜率； (2)点A处的切线方程． 5.1.2　瞬时变化率——导数 [解]　(1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋＝＋Δx，∴＝＝＋1． 当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，即点A处的切线的斜率是． (2)切线方程为y－＝(x－2)，即3x－4y＋4＝0． 【教材原题·P192例5】 已知f(x)＝x2，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率． 分析　为求得过点(2，4)的切线斜率，我们从经过点(2，4)的任意一条直线(割线)入手． [解]　设P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)，则割线PQ的斜率为 kPQ＝＝4＋Δx． 当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线y＝f(x)在点P(2，4)处的切线斜率为4． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 反思领悟　根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 [跟进训练] 1．(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为________． (2)已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1，2)处的切线的斜率及切线方程． (3，30) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 (1)(3，30)　[设点P坐标为(x0，y0)， 则＝＝4x0＋4＋2Δx． 当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4， 因此4x0＋4＝16， 即x0＝3， 所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30． 即点P坐标为(3，30)．] (2)[解]　设B(1＋Δx，3(1＋Δx)2－(1＋Δx))， 则kAB＝＝5＋3Δx， 当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5， 所以曲线y＝3x2－x在点A(1，2)处的切线斜率是5． 切线方程为y－2＝5(x－1)， 即5x－y－3＝0． 类型2　求瞬时速度 【例2】　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． [解]　∵＝＝＝3＋Δt， ∴＝＝3． ∴物体在t＝1 s处的瞬时变化率为3． 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 [母题探究] 1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解]　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵＝＝＝1＋Δt， ∴＝1． ∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s? [解]　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s． 又＝＝2t0＋1＋Δt． ＝＝2t0＋1． 则2t0＋1＝9，∴t0＝4． 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 反思领悟　求运动物体瞬时速度的三个步骤 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下： (1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))． (2)求平均速度：＝． (3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 类型3　求函数在某点处的导数 【例3】　【链接教材P196例7】 已知f(x)＝x2－3． (1)求f(x)在x＝2处的导数； (2)求f(x)在x＝a处的导数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 [解]　(1)因为＝＝ ＝4＋Δx， 当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4， 所以f (x)在x＝2处的导数等于4． (2)因为＝ ＝＝2a＋Δx， 当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a， 所以f (x)在x＝a处的导数等于2a． 【教材原题·P196例7】 已知f(x)＝x2＋2． (1)求f(x)在x＝1处的导数f′(1)； (2)求f(x)在x＝a处的导数f′(a)． [解]　(1)因为＝＝＝2＋Δx，所以，当Δx→0时，2＋Δx→2，即＝＝2．故f(x)在x＝1处的导数等于2，即f′(1)＝2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 (2)因为＝ ＝＝2a＋Δx， 所以，当Δx→0时，2a＋Δx→2a，即 ＝＝2a． 故f(x)在x＝a处的导数等于2a，即f′(a)＝2a． 反思领悟　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤 (1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均变化率＝． (3)令Δx无限趋近于0，求得导数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 2．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________． 2　[∵＝＝a，∴f′(1)＝a，即a＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 3．建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 [解]　根据导数的定义，得f′(100)＝＝ ＝＝ ＝＝＝0.105． f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2． 类型4　导数几何意义的应用 【例4】　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) A　　 　 B　　 　 C　　 　D √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 (2)某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是(　　) A　 　 B　 　 C　　 　D √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 (1)B　(2)A　[(1)由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f′(x)＞0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x＞0时，f′(x)＜0，故B符合． (2)根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B，故选A．] 反思领悟　导数几何意义理解中的两个关键点 关键点一：y＝f(x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f′(x0)＞0；k＜0⇔f′(x0)＜0；k＝0⇔f′(x0)＝0． 关键点二：|f′(x0)|越大⇔在x0处瞬时变化越快；|f′(x0)|越小⇔在x0处瞬时变化越慢． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 [跟进训练] 4．(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是 (　　) A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 (2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 (　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 (1)B　(2)A　[(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)． (2)由题意，知k＝＝1， ∴a＝1． 又点(0，b)在切线上， ∴b＝1，故选A．] 1．下面说法正确的是(　　) A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在 学习效果·课堂评估夯基础 √ 5.1.2　瞬时变化率——导数 C　[根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故ABD错误．] 2．已知函数y＝f(x)是可导函数，且f′(1)＝2，则＝ (　　) A． B．2 C．1 D．－1 √ C　[由题意可得：＝＝f′(1)， 即＝×2＝1．故应选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 3．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　) A．1 B． C．－ D．－1 √ A　[因为f′(1)＝＝＝＝2a，所以2a＝2，所以a＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 4．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为_________________． x＋2y＋4＝0　[f′(－2)＝＝＝ ＝－，∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0．] x＋2y＋4＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 5．已知曲线y＝f(x)＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 [解]　设切点P(x0，y0)，切线斜率为k， 由＝ ＝＝4x， 得f′(x0)＝4x0． 由题意可知4x0＝8，解得x0＝2． 代入y＝2x2－7得y0＝1． 故所求切点P的坐标为(2，1)． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．导数的概念与几何意义分别是什么？ [提示]　设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 2．求曲线的切线时，“在某点处的切线”与“过某点的切线”有什么不同？ [提示]　(1)若“在”，则该点为切点． (2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f (x0))处的切线(　　) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直 课时分层作业(三十二)　瞬时变化率——导数 √ B　[由导数的几何意义可知选项B正确．] 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为(　　) A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1 C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2 √ B　[由题意可知，曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)， 即2x＋y＋1＝0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 49 3．已知函数f(x)在x＝x0处可导，若＝1，则f′(x0)＝(　　) A．2 B．1 C． D．0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[∵＝1，∴＝，即f′(x0)＝＝．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 50 4．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3 s，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为(　　) A．800 m/s B．600 m/s C．200 m/s D．400 m/s 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 51 A　[位移公式为s＝at2，∵Δs＝＝at0Δt＋a(Δt)2，∴＝at0＋aΔt， ∴＝＝at0， 已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10-3 s， ∴at0＝800 m/s．所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A．－4 B．3 C．－2 D．1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 53 D　[直线l的方程为＝1，即x＋y－4＝0． 又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1， ∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 二、填空题 6．已知函数f(x)＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[∵f′(1)＝2，又＝＝＝2a，∴2a＝2，∴a＝1． 又f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2．∴＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 55 7．已知f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的导函数f′(x)＝4x，则m＝________，n＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2 －3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 56 2　－3　[＝ ＝＝mΔx＋2mx， 故f′(x)＝＝＝2mx＝4x． 所以m＝2． 又f(1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3， 故m＝2，n＝－3．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 8．若曲线y＝f(x)＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (0，0)　[设P(x0，y0)，则f′(x0)＝＝ ＝2x0＋2． 因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，所以点P处的切线的斜率为2，所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0，0)．] (0，0) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 58 三、解答题 9．若曲线y＝f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，求a的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　∵f′(a)＝＝3a2，∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为． ∴三角形的面积为·|a3|＝，得a＝±1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 59 10．(源自人教A版教材)一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一路段内t s时的速度(单位：m/s)为y＝v(t)＝－t2＋6t＋17，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 60 [解]　在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6)． 根据导数的定义， ＝ ＝ ＝－Δt＋2， 所以v′(2)＝＝＝2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 同理可得v′(6)＝－6． 在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与－6 m/s2．说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 11．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2．则下列说法正确的是(　　) A．此物体的初速度是3 m/s B．此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反 C．t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s D．t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 63 ABC　[A中，初速度v0＝＝＝＝3(m/s)， 即物体的初速度为3 m/s，故A正确； B中，v＝ ＝ ＝＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 ＝－1(m/s)． 即此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s， 方向与初速度相反，故B正确； C中，＝＝＝1(m/s)． 即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s，故C正确； D中，v＝ ＝＝－3，故D错误．故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 12．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(3)<f′(2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 66 B　[由函数的图象可知函数f (x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，所以f ′(2)>f ′(3)．记A(2，f (2))，B(3，f (3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝＝f (3)－f (2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f ′(2)>f (3)－f (2)>f ′(3)>0．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 13．已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为_______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1，1) x－2y＋1＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 68 (1，1)　x－2y＋1＝0　[由得 ∴两曲线的交点坐标为(1，1)． 由f (x)＝，得f′(x)＝ ＝＝， ∴曲线y＝f (x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 69 14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)＞0，对于任意实数x，有f (x)0，则的最小值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 70 2　[由导数的定义，得f′(0)＝＝＝ ＝b． 因为对于任意实数x，有f (x)0， 则所以ac，所以c＞0， 所以＝＝2，当且仅当a＝c＝时，等号成立．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 71 15．设函数f (x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f (x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　瞬时变化率——导数 72 [解]　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2， ∴f′(x)＝＝3x2＋2ax－9＝3－9－－9－．由题意知f′(x)的最小值是－12，∴－9－＝－12，即a2＝9，又∵a＜0，∴a＝－3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 73 $