5.1.2瞬时变化率--导数课件-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

瞬时变化率---导数 第五章 第一节 第2课时 曲线上一点处的切线 问题1　如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？ 提示　当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线， 即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想. 问题2　如图，过P作割线PQ，当点Q逐渐向P靠近时，有何现象出现？ 提示　割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线， 当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l， 此时称这条直线l为曲线在点P处的切线. 名称 割线 切线 斜率 设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝ 当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时， 无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率 例1　已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是___；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是____. 解析　当Δx＝1时， 当Δx＝0.1时， 0.1 4.1 ∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4， ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. 例2　已知曲线y＝x3＋.求曲线在点P(2,4)处的切线方程. 我们研究了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，采用了“无限逼近”的思想，实现了由割线斜率到切线斜率的转化，反映到物理当中，就是研究某运动物体的瞬时速度的问题，但现实中，瞬时速度是否存在呢，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短的时间内拍两次，然后看你发生的位移，这其实就是利用了极短时间内的平均速度来逼近瞬时速度，其原理也是“无限逼近”的思想，接下来我们就具体来研究这一现象. 问题3　平均速率是平均速度吗？ 提示　平均速率不是平均速度. 平均速率是物体通过路程与它通过这段路程所用的时间的比值， 它是数量.例如一个物体围绕一个圆周(半径为r)运动一周， 花的时间是t，平均速率是2πr/t，而平均速度为0. 平均速度 在物理学中，运动物体的位移与 所用时间 的比称为平均速度. 注意点：(1)平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段位移或一段时间相对应.(2)平均速度是向量，其方向与一段时间Δt内发生的位移方向相同，与运动方向不一定相同. 例3　一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为 A.3Δt＋6 B.－3Δt＋6 C.3Δt－6 D.－3Δt－6 √ 问题4　瞬时速率与瞬时速度一样吗？ 提示　瞬时速率是数量，只有大小，没有方向， 而瞬时速度是标量，即是位移对时间的瞬时变化率， 既有大小，又有方向，其大小是瞬时速率， 方向是该点在轨迹上运动的切线的方向. 瞬时速度 一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率 无限趋近于 ，那么 称为物体 在 ____ 时的瞬时速度，也就是位移对于时间的 . 注意点：(1)匀速直线运动中，平均速度即为瞬时速度；(2)在匀变速直线运动中，某一段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度. 一个常数 这个常数 t＝t0 瞬时变化率 瞬时加速度 一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的 . 注意点：瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率. 瞬时变化率 问题5　瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？ 提示　瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率； 它的数学意义是函数在该点的导数. 1.导数 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx 时，比值 无限趋近于一个 ，则称f(x)在x＝x0处 ，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作 . 2.导数的几何意义 导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点