第12章概率初步单元检测 （提升卷）-2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 第12章概率初步单元检测（提升卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题 1．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 2．已知，，则 ． 3．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有 种． 4．掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，另外一枚硬币反面向上的概率为_________ 5.从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为________ 6．从集合中任取1个数，则这个数是奇数的概率是______ 7.甲､乙两人进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为0.5，乙投篮命中的概率为0.6，且两人投篮是否命中相互没有影响，则两人各投篮一次，至多一人命中的概率是 . 8.甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为和，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为 . 9.三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为 . 10. 甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是_______ 11.为了丰富员工的业余生活，某企业举办了有奖答题活动，参加活动的员工依次回答三个问题，不管答对或者答错，三题答完活动结束．规定每位员工只能参加一次活动，且至少答对两道题才能获奖．已知员工甲第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，假设员工甲是否答对每一题相互独立，则员工甲获奖的概率为 ． 12.某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场PK赛，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手的PK．比赛4局，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者均得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为_________ 二、选择题 13.某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 14.从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中事件A与事件B互斥却不互为对立（    ） A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 15．若，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，相互独立，则 16.某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 三、解答题 17．某学校要从艺术节活动所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加某世博会的志愿服务工作． (1)设事件A表示“选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学”，试用集合表示事件A； (2)设事件B表示“选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学”试用集合表示事件B. 18.某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛. (1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率； (2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为，女生乙答对每道题的概率均为，甲和乙各自回答两道题，且甲､乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率. 19.流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间. 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频数 2 3 15 30 30 75 120 5 (1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率； (2)从区间的数据中任取两个数据，求两个数据都位于内的概率. 20．甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响. (1)求甲在一局中得2分的概率； (2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率； (3)求游戏经过两局就结束的概率. 21.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 第12章概率初步单元检测（提升卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题 1．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 【答案】可能 【分析】根据题意，由随机事件的定义即可得到结果. 【解析】根据概率的意义，刮出500元的概率是， 表示刮出500元的可能性是，所以这件事可能发生. 故答案为：可能 2．已知，，则 ． 【答案】0.3/ 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式计算得解. 【详解】依题意，与互斥，， 所以 故答案为：0.3 3．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有 种． 【答案】36 【分析】直接采用列举法即可求出结果数. 【解析】将这个试验的所有结果一一列举出： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36种． 故答案为：36. 4．掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，另外一枚硬币反面向上的概率为_________ 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可 【详解】先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次， 出现的情况为：正正，正反，反正，反反共4种， 其中得到一次正面向上和一次反面向上的情况为正反，反正共2种， 所以得到一次正面向上和一次反面向上的概率为, 5.从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为________ 【分析】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，然后列举出从5人中抽取2人的所有情况，再找出至少有1名女性的情况，然后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e， 则样本空间，共包含10个样本点． 记事件A为至少有1名女性志愿者参加，则，A包含的样本点个数为7， 所以． 6．从集合中任取1个数，则这个数是奇数的概率是______ 【分析】根据古典概型概率公式求出事件概率. 【详解】共有1，2，3，4，5五个数，奇数有1，3，5三个数，则任取一个数是奇数的概率为. 故选：C. 7.甲､乙两人进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为0.5，乙投篮命中的概率为0.6，且两人投篮是否命中相互没有影响，则两人各投篮一次，至多一人命中的概率是 . 【答案】0.7 【解析】两人各投篮一次,两人均投中的概率为， 因此至多一人命中的概率是， 故答案为：0.7 8.甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为和，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为 . 【答案】 【解析】因为甲、乙两人是否译出该密码相互独立， 所以甲、乙都译出该密码的概率为：. 故答案为：. 9.三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战､的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为 . 【答案】/ 【解析】设比赛A获胜为事件M，比赛C获胜为事件N，比赛B获胜为事件Q， 且相互独立，则， 设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D， 则 . 故答案为：. 10. 甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是_______ 【分析】甲不输分为甲胜乙和甲乙下成平局两种情况，其中甲胜乙和甲乙下成平局是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式进行求解即可. 【解析】甲不输棋的设为事件A，甲胜乙设为事件B，甲乙下成平局设为事件C， 则事件A是事件B与事件C的和，显然B、C互斥，所以，而，，所以，所以甲胜的概率是0.3 11.为了丰富员工的业余生活，某企业举办了有奖答题活动，参加活动的员工依次回答三个问题，不管答对或者答错，三题答完活动结束．规定每位员工只能参加一次活动，且至少答对两道题才能获奖．已知员工甲第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，假设员工甲是否答对每一题相互独立，则员工甲获奖的概率为 ． 【答案】 【解析】员工甲答对两题的概率为． 员工甲答对三题的概率为． 所以员工获奖的概率为． 故答案为：. 12.某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场PK赛，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手的PK．比赛4局，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者均得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为_________ 【分析】依题意，需分3种情况：A全胜，A三胜一负，A第三局胜，另外三局一胜两负，由此能求出所求概率． 【解析】比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种：A队全胜，A队三胜一负，A队第三局胜另外三局一胜两负， ∴比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为：. 二、选择题 13.某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 【答案】C 【解析】由题意合格率为， 因此合格品件数约为（万件）， 故选：C． 14.从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中事件A与事件B互斥却不互为对立（    ） A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 【答案】B 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断即可． 【详解】对于A，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件与事件不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件与事件互斥却不互为对立，故B正确； 对于C，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故C错误； 对于D，事件与事件不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件与事件是互斥事件也是对立事件，故D错误． 故选：B． 15．若，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，相互独立，则 【答案】B 【分析】根据对立事件的概率公式、事件的关系及运算和相互独立事件的概率公式，对选项逐一判断即可求解. 【详解】因为，所以根据对立事件的概率公式可知，故选项A正确； 因为事件，是否独立未知，故选项B无法判断正误； 因为，所以，故选项C正确； 因为事件，相互独立，所以， 所以，故选项D正确. 故选：B. 16.某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【解析】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 三、解答题 17．某学校要从艺术节活动所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加某世博会的志愿服务工作． (1)设事件A表示“选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学”，试用集合表示事件A； (2)设事件B表示“选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学”试用集合表示事件B. 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意利用列举法求样本空间，进而逐项分析求解. 【解析】（1）设4名获书法比赛一等奖的同学编号为1，2，3，4， 2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5，6. 从6名同学中任选两名的所有可能结果如下： ， ，共15样本点， 满足要求的样本点共有8个：， 故用集合表示. （2）满足要求的样本点共有6个：， 故用集合表示． 18.某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛. (1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率； (2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为，女生乙答对每道题的概率均为，甲和乙各自回答两道题，且甲､乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举法求出古典概率； （2）分别求出甲答对2道题，乙只答对1道题的概率，再根据独立事件概率乘法公式求出答案. 【解析】（1）记3名男生分别为名女生分别为， 则随机抽取2名同学的样本空间为 ， 记事件恰好抽到1名男生和1名女生” 则事件 ； （2）设事件“甲答对2道题”，事件乙只答对1道题”，根据独立性假定，得 ，. ， 所以甲答对2道且乙只答对1道题的概率是. 19.流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间. 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频数 2 3 15 30 30 75 120 5 (1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率； (2)从区间的数据中任取两个数据，求两个数据都位于内的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用样本在上的频数除以可得所求频率； （2）设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； 【详解】（1）由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快， 而样本在上的频数为，所以所求频率为； （2）设事件为“从区间的数据中任取两个数据，两个数据都位于内”， 设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、， 因此，从区间的数据中任取两个数据， 包含、、、、、、、 、、，共个样本点， 而事件包含，，，共个样本点，所以 20．甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响. (1)求甲在一局中得2分的概率； (2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率； (3)求游戏经过两局就结束的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解； （2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解； （3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1人得4分，④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解. 【解析】（1）根据题意，画出树状图，如图：    所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）： （剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、 （石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、 （布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、 一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率. （2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种： ①第一局甲得2分，第二局甲得1分： 则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分； 由（1）中树状图可知满足情况有： 第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、 第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头） 此时概率为种情况， ②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分， 则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分； 由（1）中树状图可知满足情况有： 第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头） 第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、 此时概率为， 综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率. （3）游戏经过两局就结束总共有4种情况： ①仅1人得3分，记事件为A，则； ②有2人得分为3分，记事件为B， ③仅1人得4分，记事件C： 一人得4分，另两人各负2分：， 一人得4分，一人得负2分，一人得1分：， 一人得4分，另两人各1分：， ； ④有2人分别得4分，记为事件D：则 综上所述：游戏经过两局就结束的概率. 21.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (3)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 【解析】（1）这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 则 （2）设这对夫妻中，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则. 设事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”. 则. 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为； （3）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则 ， . 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $