全书要点速记-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学排列组合与概率统计核心知识，系统梳理基本计数原理到排列数组合数公式及性质，再到二项式定理的逻辑链条。同时构建条件概率、离散型随机变量分布列及常见分布，延伸至回归模型与独立性检验的完整知识框架，为学习提供清晰支架。 资料通过表格对比排列与组合概念公式，助学生用数学思维辨析易混点。二项式定理与二项分布的关联设计，培养数学眼光发现知识联系。回归模型实例及独立性检验步骤，引导用数学语言解决实际问题，课中辅助教学，课后便于查漏补缺。

第三章　排列、组合与二项式定理 要点1　基本计数原理 分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法 分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法 要点2　排列数与组合数 排列数 组合数 概念 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数 符号表示 公式 ＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝，其中n！＝＝n× ＝ 性质 ． ＝ 性质1：＝． 性质2：＋＝ 要点3　二项式定理 二项式定理 一般地，当n是正整数时，有(a＋b)n＝an＋an-1b＋…＋an－kbk＋…＋bn 通项公式 展开式中的第k＋1项Tk＋1＝an－kbk 二项式系数 称为第k＋1项的二项式系数 二项式系数的性质 性质1：展开式的二项式系数的和等于2n，即2n＝＋＋…＋＋…＋＋． 性质2：奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n-1，即＋＋＋…＝＋＋＋… 有关二项展开式系数的结论 若f (x)＝(x＋a)n＝a0xn＋a1xn-1＋…＋an， 则a0＋a1＋…＋an＝f(1)． 当n为偶数时，奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋an＝，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋an－1＝； 当n为奇数时，奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋an－1＝，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋an＝ 第四章　概率与统计 要点1　条件概率与事件的独立性 条件概率的定义 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)． 需要注意的是，P(A|B)和P(B|A)的意义不一样，一般情况下，它们也不相等 条件概率的计算公式 P(A|B)＝ 乘法公式 P(BA)＝P(A)P(B|A) 全概率公式 P(B)＝P(A)PP 定理1 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n． 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝ 贝叶斯公式 一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有 P(A|B)＝ ＝ 定理2 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)1＞P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n． 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝ ＝ 独立性与条件概率的关系 当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A) 要点2　离散型随机变量的分布列及其数字特征 定义 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列 X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 性质 (1)pk≥0，k＝1，2，…，n； (2)＝p1＋p2＋…＋pn＝1 均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望) 方差 称D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝为离散型随机变量X的方差． 方差公式的变形：D(X)＝ 线性关系的随机变量的均值与方差 若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列和均值的关系可知E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X) 要点3　常见分布 1．两点分布 定义 如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p 1－p 其中0＜p＜1，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(或0－1分布) 均值 E(X)＝p 方差 D(X)＝p(1－p) 2．二项分布 定义 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝pkqn－k，k＝0，1，…，n，此时称X服从参数为n，p的二项分布 记法 X～B(n，p) 分布列 X 0 1 … k … n P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0 均值 E(X)＝ 方差 D(X)＝ 3．超几何分布 定义 一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，这里称X服从参数为N，n，M的超几何分布 记法 X～H(N，n，M) 分布列 特别地，如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列为 X 0 1 … k … s P … … 均值 E(X)＝ 方差 D(X)＝ ＝E(X) 4．正态分布 正态分布 一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)＝ 称为X的概率密度函数 记法 X～N(μ，σ2) 均值 E(X)＝μ 方差 D(X)＝σ2 标准正态分布 μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布 标准正态分布的概率的性质 如果X～N(0，1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(X＜a)，也就是说Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积．根据正态曲线的对称性，可以知道Φ(a)具有性质Φ(－a)＋Φ(a)＝1 要点4　一元线性回归模型 回归直线方程 ＝x＋的回归系数 ＝= ＝－ 其中，＝＝ 回归直线方程的性质 (1)回归直线一定过点． (2)y与x正相关的充要条件是相关系数的公式 (3)当x增大一个单位时，增大个单位，这就是回归系数的实际意义 相关系数的公式 r＝= 统计学里一般用线性相关系数(简称为相关系数）r衡量y与x的线性相关性强弱 相关系数的性质 统计学里一般用线性相关系数(简称为相关系数)r衡量y与x的线性相关性强弱 (1)|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0． (2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值． (3)|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上． 注意：|r|很小只是说明两个变量之间的线性相关程度弱，但不一定不相关 说明：常见的非线性回归方程的变换 曲线方程 变换公式 变换后的线性函数 y＝axb c＝ln a v＝ln x u＝ln y u＝c＋bv y＝aebx c＝ln a u＝ln y u＝c＋bx y＝ c＝ln a v＝ u＝ln y u＝c＋bv y＝a＋b ln x v＝ln x y＝a＋bv 要点5　独立性检验 2×2列联表 A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d χ2统计量 χ2＝ 独立性检验 任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05，0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)．χ2是一个随机变量，其分布能够求出，上面的概率是可以计算的．因此，如果根据样本数据算出χ2的值后，发现χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ2<k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验 临界值 α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $