4.2.3 第2课时 超几何分布-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦超几何分布这一核心知识点，从冬令营抽取学生的实际问题切入，系统讲解其定义、参数（N,n,M）及分布列，通过辨析题明确与二项分布的区别（不放回抽样与独立重复试验），构建离散型随机变量概率分布的知识脉络。 以情境化实例驱动教学，如产品抽样、学生干部选取等问题，培养数学抽象和数学建模能力。通过分步计算分布列和对比表格分析，提升数学运算素养。课中助力教师突破重难点，课后分层作业与回顾问题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第2课时　超几何分布 1．理解超几何分布的概念．(数学抽象) 2．理解超几何分布与二项分布的关系．(数学抽象) 3．会用超几何分布解决一些简单的实际问题．(数学运算、数学建模) 某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学． 问题：(1)求X的分布列； (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率． [提示]　(1)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3． 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 即X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝. 知识点　超几何分布 (1)定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s.这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布． (2)记法：X～H(N，n，M)． (3)分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示． 0 1 … k … s … … 对超几何分布的理解 (1)在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等． (2)在产品抽样中，一般为不放回抽样． (3)其概率计算可结合古典概型求得． 1．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　) A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7 C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10 A　[根据超几何分布概率模型知，A正确．] 2．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为(　　) C　[组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为.] 3．下列说法正确的是________ .(填序号) ①超几何分布的模型是不放回抽样； ②超几何分布的总体可以由两部分或三部分组成； ③超几何分布中的参数是N，n，M； ④超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成． ①③④　[由超几何分布的定义可知①③④均正确；因为超几何分布的总体常由较明显的两部分组成，所以选项②错误．] 类型1　超几何分布的辨析 【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布； (4)某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布． [解]　(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布． 　对超几何分布的三点说明 (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是N，n，M. (3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男生和女生等问题，往往由差异明显的两部分组成． [跟进训练] 1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号) ①在10件产品中有3件次品，一件一件不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X； ②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X. ①②　[根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．] 类型2　超几何分布的概率及其分布列 【例2】　从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛： (1)求所选3人都是男生的概率； (2)求所选3人中恰有1名女生的概率； (3)求所选3人中至少有1名女生的概率； (4)设所选3人中女生的人数为X，求X的分布列． [解]　依题意知从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，共有种选法，且每一种选法都是等可能的． (1)所选3人都是男生的概率为＝. (2)所选3人中恰有1名女生的概率为＝. (3)所选3人中至少有1名女生的概率为＝. (4)依题意知X服从参数为6，2，3的超几何分布， 其分布列为P(X＝k)＝(k＝0，1，2)， 此时X的分布列为 X 0 1 2 P 　求超几何分布的分布列的步骤 [跟进训练] 2．袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球． (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于5分的概率． [解]　(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5，6，7，8． P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝. 故所求X的分布列为 X 5 6 7 8 P (2)根据随机变量的分布列可以得到大于5分的概率为P(X>5)＝P(X＝6)＋P(X＝7)＋P(X＝8)＝＝. 类型3　超几何分布与二项分布间的 联系 【例3】　【链接教材P80例4】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到如图所示的样本的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)若用样本的频率来估计总体的概率，从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． [解]　(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)． (2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，且X～H(40，2，12)． 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B， P(Y＝k)＝， 所以P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 【教材原题P80例4】 例4　袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列． [解]　(1)若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为＝. 而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此X～B(3，)，所以 P(X＝0)＝×()0×()3＝， P(X＝1)＝×()1×()2＝， P(X＝2)＝×()2×()1＝， P(X＝3)＝×()3×()0＝. 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，但1次抽取了3个，因此黑球数Y服从参数为10，3，2的超几何分布，即 Y～H(10，3，2)， 因此 P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝. 因此Y的分布列为 Y 0 1 2 P 　在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布． 区别 (1)当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布． (2)当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布 [跟进训练] 3．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确，则闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． [解]　(1)记乙闯关成功为事件A， 所以P＝＝. (2)由题意知随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， P＝＝，P＝＝， P＝＝，P＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以甲闯关成功的概率为＝， 因为<，所以甲比乙闯关成功的可能性大． 1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X B　[由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布，故选B．] 2．已知随机变量X～H(8，5，3)，则P(X＝2)＝(　　) A． B． C． D． B　[P(X＝2)＝＝.] 3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示(　　) A．5件产品中有3件次品的概率 B．5件产品中有2件次品的概率 C．5件产品中有2件正品的概率 D．5件产品中至少有2件次品的概率 B　[根据超几何分布的定义可知表示从3件次品中任选2件表示从7件正品中任选3件，故选B．] 4．(教材P83练习BT3(2)改编)袋中有大小、质地完全相同的8个球，其中黑球5个、红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为________． 　[由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，所以P＝＝.] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．解决超几何分布问题的关键点是什么？ [提示]　(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． 2．超几何分布的概率求解中，怎样理解“s是M与n中的较小者”？ [提示]　在超几何分布中，随机变量X的最大值s未必是次品件数M，当抽取的产品的件数n不大于总体中次品的件数M(即n≤M)时，s＝n；当抽取的产品的件数n大于总体中次品的件数M(即n>M)时，s＝M.故X的最大值s是M与n中的较小者．同理，可推测t的取值规律. 课时分层作业(十五)　超几何分布 一、选择题 1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10．现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ B　[由超几何分布的概念知③④符合，故选B．] 2．某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门．学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程．从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为X门，则下列概率中等于的是(　　) A．P B．P C．P D．P D　[某校开设了15门校本课程，要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程则有种选法，因为人文社科类6门，该学生选择的人文社科类的校本课程为5门则有种选法，然后从其他9门课程中选3门有选法，所以该学生选择的人文社科类的校本课程为5门的概率为，故选D．] 3．已知某10件产品中含有次品，且次品率不超过40%，从这10件产品中抽取2件进行检查，其次品数为ξ.若P(ξ＝1)＝，则这10件产品的次品率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% B　[设这10件产品中有n件次品，则P(ξ＝1)＝＝，即n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8．又该产品的次品率不超过40%，所以n≤4，所以n＝2，所以这10件产品的次品率为×100%＝20%.故选B．] 4．(多选题)在一个袋中装有质地均匀、大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球．设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A．X的所有取值为1，2，3，4 B．P(X＝1)＝ C．随机变量X服从二项分布 D．随机变量X服从超几何分布 BD　[由题意知，随机变量X服从超几何分布，故C错误，D正确；X的所有取值为0，1，2，3，4，故A错误；P(X＝1)＝＝，故B正确．] 5．某地共有7所学校，其中有3所小学，现从7所学校中任意选3所学校，下列事件中概率为的是(　　) A．至少有1所小学 B．有1所或2所小学 C．有2所或3所小学 D．恰有2所小学 B　[用X表示所选的3所学校中小学的个数，则X～H(7，3，3)，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝，即任意选3所学校中有1所或2所小学的概率为.故选B．] 二、填空题 6．从3台甲型平板电脑和2台乙型平板电脑中任取2台，若设X表示所取的2台平板电脑中甲型平板电脑的台数，则P(X＝1)＝________. 　[X＝1表示的结果是抽取的2台平板电脑有甲型和乙型平板电脑各一台，故所求概率P(X＝1)＝＝.] 7．设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为________． 　[由题意知所求概率为P＝＝.] 8．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟为值得力荐的洞窟．若某游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个值得力荐洞窟的概率是________． 　[已知8个开放洞窟中有3个值得力荐，随机选择4个进行参观，至少包含2个值得力荐洞窟包括2个或3个两种情况， 所求概率为P＝＝.] 三、解答题 9．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛并进行记录(满分：100分)，根据得分将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，绘制出如图所示的频率分布直方图． (1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率； (2)从得分在的学生中利用分层抽样选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人竞赛得分不低于70分的人数X的分布列． [解]　(1)每名学生得分低于70分的概率为：1－×10＝0.4，不低于80分的概率为0.02×10＝0.2，故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为×0.4×0.2＝. (2)由频率分布直方图可得8人中，的人数有2人，的人数有6人， 所以X的可能取值为1，2，3，P＝＝， P＝＝，P＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 10．一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个，从中任取两个，则概率为的事件是(　　) A．没有白球 B．至少有一个白球 C．至少有一个红球 D．至多有一个白球 B　＝表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．] 11．(多选题)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则下列结论中正确的是(　　) A．取出的白球个数X服从二项分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．取出球总得分最大的概率为 BD　[A：取出白球个数X可能为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， 所以P(X＝n)＝，即取出的白球个数X服从超几何分布，错误； B：同A，取出黑球个数Y可能为0、1、2、3、4，易得P(Y＝n)＝，即取出的黑球个数Y服从超几何分布，正确； C：由A知取出2个白球的概率为，错误； D：总得分最大，即取出的都是黑球，由A知概率为，正确．故选BD．] 12．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ.若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝________． 1　[由题意得P(ξ＝2)＝＝＝，所以＝36，所以m＋n＋4＝9．因为P(一红一黄)＝＝＝＝，所以m＝3，所以n＝2，所以m－n＝1．] 13．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为________． 　[如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D，E这5个点任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为＝10． 其中直角三角形有：△ABC，△ABD，△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7． 由题意可知X∈，P＝＝，P＝＝， 因此，所求概率为P＝＝.] 14．某橙子按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)，某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 (1)若以频率估计概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好抽到2箱是一级品的概率； (2)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的是珍品等级的箱数，求X的分布列． [解]　(1)设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品的橙子”为事件A，则P(A)＝＝. 现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为ζ， 则ζ～B(4，)， 故恰好抽到2箱是一级品的概率为 P(ζ＝2)＝×()2×()2＝. (2)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从这10箱橙子中抽取3箱，则珍品等级的箱数X服从参数为10，3，4的超几何分布，即X～H(10，3，4)． 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $