4.2.3 第1课时 n次独立重复试验与二项分布-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“n次独立重复试验与二项分布”核心知识点，梳理基于伯努利试验的n次独立重复试验条件，包括每次试验条件相同、结果独立、仅有两种对立结果，进而抽象出二项分布定义及概率公式，明确其与两点分布的特殊关系，搭建从具体试验到抽象分布的学习支架。 以篮球比赛赛制选择情境引入，通过问题链引导学生抽象概念培养数学思维，结合射击、抽奖等实例训练数学建模与运算能力，课中助力教师引导探究，课后分层作业帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升用数学解决实际问题的能力。

4.2.3　二项分布与超几何分布 第1课时　n次独立重复试验与二项分布 1．理解n次独立重复试验的模型．(数学抽象) 2．理解二项分布．(数学抽象、数学建模) 3．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(数学运算) 在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率为0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制． 问题：如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你的班级更有利？ [提示]　如果采用三局两胜制，甲班获胜的概率为 P1＝×0.6×0.4×0.6＝0.648； 如果采用五局三胜制，甲班获胜的概率为P2＝×0.62×0.42×0.6＝0.682 56＞P1，所以五局三胜制对甲班更有利． 知识点1　n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验． 1．独立重复试验必须具备哪些条件？ [提示]　(1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变． (2)各次试验结果互不影响． (3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的． 知识点2　二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝pkqn－k，k＝0，1，…，n， 因此X的分布列如下表所示． pnq0 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是(q＋p)n的展开式pnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． 在二项分布中，当n＝1时，二项分布就是两点分布，两点分布是特殊的二项分布． 2．判断二项分布的关键点有哪些？ [提示]　判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件． (1)对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一． (2)重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p. (3)X的取值从0到n，中间不间断． 由上可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布． 1．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)＝(　　) ×0.88×0.22　　　　 ×0.82×0.28 C．0.88×0.22 D．0.82×0.28 A　[∵X～B(10，0.8)，∴P(X＝8)＝×0.88×0.22，故选A．] 2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)＝(　　) )2× C．()2× D．()2× C　[X＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是()2×.] 3．下列说法正确的是________．(填序号) ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6)； ②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B. ①②　[①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．] 类型1　独立重复试验的概率 【例1】　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． [解]　(1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A1．由题意知，射击3次，相当于3次独立重复试验， 故P(A1)＝1－P()＝1－＝. (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则 P(A2)＝＝，P(B2)＝＝．由于甲、乙射击相互独立， 故P(A2B2)＝＝. [母题探究] 1．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率． [解]　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则 P(A3)＝＝，P(B3)＝， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为 P(A3B3)＝＝. 2．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲未击中且乙击中2次的概率． [解]　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝＝，P(B4)＝＝，所以甲未击中且乙击中2次的概率为P(A4B4)＝＝. 　独立重复试验概率求法的三个步骤 [跟进训练] 1．某篮球运动员投篮的命中率为0.7，现投了8次球，求下列事件的概率： (1)恰有4次投中的概率为________； (2)至少有4次投中的概率为________； (3)至多有4次投中的概率为________．(结果保留三位小数) (1)0.136　(2)0.942　(3)0.194　[(1)恰有4次投中的概率为×0.74×0.34≈0.136． (2)至少有4次投中的概率为 ×0.78≈0.942． (3)至多有4次投中的概率为 ×0.74×0.34≈0.194．] 类型2　二项分布 【例2】　【链接教材P77例2】 (源自湘教版教材)抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次．求点P在圆x2＋y2＝16内的次数X的分布列． [思路导引]　先求出一次试验中点P在圆x2＋y2＝16内的概率p，然后由题意可知X～B(3，p)，从而求出其分布列． [解]　由题意可知，P点的坐标可能有6×6＝36(种)情况．而符合题意的点只有下列8个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，如图所示，那么在抛掷骰子时，点P在圆x2＋y2＝16内的概率为＝. 由题意可知X～B(3，)，所以 P(X＝0)＝)0×()3＝， P(X＝1)＝)1×()2＝， P(X＝2)＝)2×()1＝， P(X＝3)＝)3×()0＝. 因此，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【教材原题P77例2】 例2　假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元；活过65岁时，保险公司不赔偿．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.8．随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三人的总金额为Y万元． (1)指出X服从的分布； (2)写出Y与X的关系； (3)求P(Y＝300)． [解]　(1)不难看出，X服从参数为3，0.8的二项分布，即X～B(3，0.8)． (2)因为3个投保人中，活过65岁的人数为X，则没活过65岁的人数为3－X，因此 Y＝100(3－X)． (3)因为 Y＝300⇔100(3－X)＝300⇔X＝0， 所以 P(Y＝300)＝P(X＝0) ＝×0.80×(1－0.8)3 ＝0.008． 　解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． [跟进训练] 2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为，且各人的选择相互之间没有影响． (1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率； (2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ，求ξ的分布列． [解]　(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“(A∩B)＋(∩)”，且事件A，B相互独立． ∴P((A∩B)＋(∩))＝P(A)P(B)＋P()P()＝＝. (2)随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B.∴P(ξ＝k)＝＝(k＝0，1，2，3，4)， ∴随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 类型3　独立重复试验与二项分布的综合应用 【例3】　甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列； (2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB). [思路导引]　(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝. (2)AB表示事件A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分． [解]　(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且 P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P (2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥， 又P(C)＝)＝， P(D)＝＝， 由互斥事件的概率公式得 P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＝. 　对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解． [跟进训练] 3．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝，求随机变量ξ的分布列． [解]　(1)设事件Ai表示“这4个人中恰有i个人去参加甲游戏”，其中i＝0，1，2，3，4， 则P＝， 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 P＝＝. (2)这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为P＋P＝＝. (3)随机变量ξ的可能取值是0，2，4， P＝P＝， P＝P＋P＝， P＝P＋P＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 2 4 P 1．(教材P82练习BT1改编)某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　) A． B． C． D． A　[记“恰有1次获得通过”为事件A， 则P(A)＝＝.故选A．] 2．若随机变量X～B(5，)，则P(X＝2)＝(　　) A．()2×()3 B．()2×()3 ×()2×()3 ×()2×()3 D　[因为随机变量X～B(5，)， 所以P(X＝2)＝×()2×()3．] 3．下面三个随机变量： ①随机变量X表示重复投掷一枚硬币n次，正面向上的次数； ②有一批产品共有N件，其中M件是次品，采用有放回抽取的方法，X表示n次抽取中出现的次品的件数(M<N)； ③某射手射击命中目标的概率为p，随机变量X表示n次射击命中目标的次数． 其中，服从二项分布的是________．(填序号) ①②③　[①中，投掷硬币每次相互独立，且每次试验中正面向上的概率均为，故X～B(n，)； ②中，有放回抽取产品，每次抽取都是相互独立的，符合二项分布的条件； ③中，每次射击相互独立，符合二项分布的条件．] 4．某处有水龙头3个，调查表明每个水龙头被打开的可能性是0.1，随机变量X表示同时被打开的水龙头的个数，则P(X＝2)＝________．(用数字作答) 0.027　[由于每个水龙头被打开的概率都为0.1，根据二项分布概率计算公式有P(X＝2)＝×(0.1)2×0.9＝0.027．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．独立重复试验的基本特征有哪些？ [提示]　(1)每次试验都在同样条件下进行． (2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生． (3)各次试验之间相互独立． (4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的． 2．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义是什么？ [提示] 3．求二项分布的基本思路是什么？ [提示]　(1)弄清在n次独立重复试验中n，p，k的值，即明确以下三点： ①共进行了多少次独立重复试验； ②在一次试验中事件A发生的概率是多少； ③事件A恰好发生了多少次． (2)准确算出每一种情况下事件发生的概率． (3)算出的结果要注意验证是否符合离散型随机变量的概率分布的两个性质． (4)列出分布列． 课时分层作业(十四)　n次独立重复试验与二项分布 一、选择题 1．若X～B，则P取得最大值时，k＝(　　) A．4或5 B．5或6 C．10 D．5 D　[因为X～B，所以P＝＝，由组合数的性质可知当k＝5时取得最大值，即P取得最大值，所以k＝5．故选D．] 2．设随机变量X～B(6，)，则P(X≤3)＝(　　) A． B． C． D． C　[P(X≤3)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝×()6＝.故选C．] 3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则3次试验中至少有2次成功的概率是(　　) A． B． C． D． B　[在一次试验中，两枚硬币都正面向上的概率为＝，设X为3次试验中成功的次数，则X～B，故所求概率P＝P＋P＝＝.故选B．] 4．某产品使用寿命超过5 000小时的为一级品，现已知某一大批产品中的一级品率为0.2，从中任抽5件，其中恰有2件一级品的概率是(　　) A．0.204 8 B．0.102 4 C．0.307 2 D．0.409 6 A　[根据题意，取出的产品的次品件数X满足X～B， 所以P＝×0.22×＝0.204 8，故选A．] 5．为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P＝(　　) A． B． C． D． C　[由题意得该产品能销售的概率为(1－)(1－)＝， 易知X的取值范围为{－320，－200，－80，40，160}， 设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B， 所以P＝，k＝0，1，2，3，4， 所以P＝P＝＝， P＝P＝＝， P＝P＝＝， 故P＝P＋P＋P＝，故选C．] 二、填空题 6．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p＝________． 或　[P(X＝2)＝p2(1－p)2＝， 即p2(1－p)2＝，解得p＝或p＝.] 7．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________． 　[每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A片区房源记为A，则P(A)＝， 所以恰有2人申请A片区的概率为＝.] 8．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P连续移动五次后位于点(2，3)的概率是________． 　[如图，由题意可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能到点(2，3)的位置，问题相当于在5次独立重复试验中，事件“P向右移动2次”的概率，故所求概率P＝×()2×()3＝×()5＝.] 三、解答题 9．(源自北师大版教材)某车间有5台机床，每台机床正常工作与否彼此独立，且正常工作的概率均为0.2．设每台机床正常工作时的电功率为10 kW，但因电力系统发生故障现总功率只能为30 kW，问：此时车间不能正常工作的概率有多大(结果精确到0.001)? [解]　设X为5台机床中正常工作的台数，则X服从参数为n＝5，p＝0.2的二项分布，即 P(X＝k)＝0.2k(1－0.2)5-k(k＝0，1，2，3，4，5)． 于是，由题意可得P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝×0.25×0.80≈0.007． 这是一个概率很小的事件，几乎不会发生．因此，如果车间不能正常工作时不会造成破坏性后果，那么在总功率只能为30 kW的情况下仍可以正常安排生产． 10．(多选题)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是(　　) A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率为 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为 C．从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为 AD　[一袋中有大小相同的4个红球和2个白球， 对于A，恰有1个白球的概率为P＝＝＝，故A正确； 对于B，6次试验中取到白球的次数X服从二项分布，即X～B(6，)，所以P(X＝2)＝×()2×(1－)4＝，故B错误； 对于C，在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故C错误； 对于D，3次试验中取到红球的次数Y服从二项分布，即Y～B(3，)，所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－(1－)3＝，故D正确．故选AD．] 11．在一次抗洪抢险中，士兵准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶．现有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是，则士兵打光子弹的概率是(　　) A． B． C． D． B　[5次中0次：，5次中一次：，5次中两次：前4次中一次，最后一次必中，则打光子弹的概率是＝.故选B．] 12．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定比赛采取五局三胜制(即只要有一人获胜三局，比赛结束，获胜三局的人获得比赛的胜利)．前三局每局甲获胜的概率是，后两局每局甲获胜的概率是，没有平局，已知第一局甲获胜，则打完第四局比赛结束的概率是__________，最终甲获得比赛胜利的概率是________． 　　[由题意可得打完第四局比赛结束的概率为＝， 最终甲获得比赛胜利的概率为＝.] 13．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设． (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列． [解]　记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3．由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1，2，3且i，j，k互不相同)相互独立， 且P(Ai)＝，P(Bj)＝，P(Ck)＝. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P＝ P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×＝. (2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B，且ξ＝3－η，所以 P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝＝， P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝＝， P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝()2＝， P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝＝. 故ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 14．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立． (1)求某应聘人员被录用的概率； (2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列． [解]　设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C． (1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC， 因为P(A)＝＝， P(B)＝2×＝， P(C)＝， 所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝. 所以某应聘人员被录用的概率为. (2)根据题意，X＝0，1，2，3，4，且X～B， Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0，1，2，3，4)， 因为P(A0)＝＝， P(A1)＝＝， P(A2)＝＝， P(A3)＝＝， P(A4)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $