4.2.2 离散型随机变量的分布列-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦离散型随机变量的分布列及两点分布核心知识点，前承随机变量概念，后续为期望方差学习奠基。通过情境引入、定义辨析、性质应用、例题解析与分层练习的学习支架，帮助学生逐步构建知识体系。 以“疑似病人确诊”情境培养数学眼光，通过分布列性质推导与概率计算训练数学思维，用表格图像表达分布列强化数学语言。课中情境与例题结合提升教学效率，课后分层作业助力学生巩固查漏，兼顾理解与应用。

4.2.2　离散型随机变量的分布列 1．理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示．(数学抽象) 2．掌握离散型随机变量的分布列的性质．(数学抽象) 3．会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)．(数学运算) 人员的流动性给传播性疾病的确诊带来了一定的难度，而检验试剂的量产，大大缩短了疑似病人的确诊时间． 在某疑似病人的确诊中，令X＝ 问题：如果检验呈阳性的概率为p，你能写出随机变量X的分布列吗？ [提示]　 X 1 0 P p 1－p 知识点1　离散型随机变量的分布列 (1)一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的． 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn (2)离散型随机变量X的概率分布还可以用图①或图②来直观表示，其中，图①中，xk上的矩形宽为1、高为pk，因此每个矩形的面积也恰为pk；图②中，xk上的线段长为pk． 图① 图② (3)离散型随机变量的分布列必须满足： ①pk≥0，k＝1，2，…，n； ②＝p1＋p2＋…＋pn＝1． 1．如何求离散型随机变量在某一范围内的概率？ [提示]　离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 知识点2　两点分布 (1)一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式： X 1 0 P p 1－p 则称随机变量X服从参数为p的两点分布(或0－1分布)． (2)一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率． 2．如何判断一个分布是否为两点分布？ [提示]　(1)看取值：随机变量只取两个值0和1． (2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立． 如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布． 1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是(　　) A． ξ 1 0 1 P B． ξ 0 1 2 P － C． ξ 0 1 2 P D． ξ －1 0 1 P D　[本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1，2，…，n，＝1． A中ξ的取值出现了重复性；B中P(ξ＝0)＝－＜0；C中＝＝＞1．故选D．] 2．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为(　　) ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A．－0.2　　B．0.2　　C．0.1　　D．－0.1 B　[由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2．] 3．(多选题)下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射击手射击一次，击中目标的次数X C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数X BCD　[由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布，故选BCD．] 4．若随机变量X的概率分布如表所示，则表中的a的值为________，P(X≥3)＝________． X 1 2 3 4 P a 　[由题意可知＋a＝1，所以a＝. 故P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＝.] 类型1　分布列及其性质的应用 【例1】　【链接教材P70例1】 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，求： (1)P(X＝1或X＝2)； (2)P. [思路导引]　先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，<X<的含义，利用分布列求概率． [解]　(1)∵＝＝1， ∴a＝10， 则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝＝. (2)由a＝10， 可得P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝. 【教材原题P70例1】 例1　掷一个均匀的骰子，记所得点数为X. (1)求X的分布列； (2)求“点数大于3”的概率． [解]　(1)因为X的取值范围是 {1，2，3，4，5，6}， 而且P(X＝n)＝，n＝1，2，3，4，5，6， 因此X的分布列如下表所示． X 1 2 3 4 5 6 P (2)“点数大于3”等价于X>3，也就是说，X可取4，5，6中的任何一个值，因此所求概率为 P(X>3)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝. 　利用分布列及其性质解题时要注意两个问题 (1)X的各个取值表示的事件是互斥的． (2)不仅要注意＝1，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n. [跟进训练] 1．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 2a 3a 5a 则a＝________，P(X≥1)＝________． 　[由2a＋3a＋5a＝1，得a＝，∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝.] 类型2　求离散型随机变量的分布列 　求离散型随机变量y＝f (ξ)的分布列 【例2】　【链接教材P71例2】 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 试求： (1)2X＋1的分布列； (2)的分布列． [解]　由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3． 列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 1 0 1 2 3 (1)2X＋1的分布列为 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)的分布列为 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 【教材原题P71例2】 例2　抛一枚均匀的硬币3次，设正面朝上的次数为X. (1)说明X＝2表示的是什么事件，并求出P(X＝2)； (2)求X的分布列． [解]　(1)X＝2表示的事件是“恰有2次正面朝上”． 因为抛一枚均匀的硬币3次，总共有2×2×2＝8种不同的情况，其中恰有两次正面朝上的情况共＝3种，所以 P(X＝2)＝. (2)根据题意可知，X的取值范围是{0，1，2，3}． 又用(1)中的方法可知 P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝3)＝. 因此X的分布列如下表所示． X 0 1 2 3 P 　已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f (ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可． [跟进训练] 2．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 2 3 P 分别求出随机变量Y1＝2X，Y2＝X2的分布列． [解]　由Y1＝2X，对X不同的取值－1，0，1，2，3， Y1的取值分别为－2，0，2，4，6， 所以Y1的分布列为 Y1 －2 0 2 4 6 P 由Y2＝X2，对于X的不同取值－1，1，Y2的取值为1， 当Y2取1时对应的概率应是X取－1与1的概率和，即＝， 所以Y2的分布列为 Y2 0 1 4 9 P 　借助排列、组合求离散型随机变量的分布列 【例3】　(源自人教A版教材)一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． [解]　设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2．根据古典概型的知识，可得X的分布列为 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. X的分布列，如表所示． X 0 1 2 P 　1．求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，3，4…，n)． (2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi. (3)列出表格． 2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题 (1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程． (2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确． [跟进训练] 3．为检测某产品的质量，现抽取5件该产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 177 180 y 75 80 77 70 81 如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列． [解]　由题意可得5件抽测产品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2． P(X＝0)＝＝0.3，P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.1． 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 类型3　两点分布 【例4】　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列． [思路导引]　X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可． [解]　由题设可知X服从两点分布． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝， ∴X的分布列为 X 0 1 P 　在两点分布中，只有两个对立的结果，知道一个结果的概率便可以求出另一个结果的概率． [跟进训练] 4．已知一批200件的待出厂产品中，有1件次品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列． [解]　由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，所以P(X＝1)＝1－＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1．(多选题)下列关于随机变量及分布的说法正确的是(　　) A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 B．若随机变量X的分布列为 X 0 1 P 9a2－a 3－8a 则常数a的值为或 C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1 D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 AD　[对于选项A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确； 对于选项B，由离散型随机变量分布列的性质可得 解得a＝，故B错误； 对于选项C，离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误； 对于选项D，由互斥事件的定义可知选项D正确．故选AD．] 2．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4)，则P＝(　　) A． B． C． D． D　[∵随机变量ξ的分布列为P(ξ＝)＝ak(k＝1，2，3，4)， ∴a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝0.1， ∴P(<ξ<)＝P(ξ＝)＋P(ξ＝)＝2×0.1＋3×0.1＝0.5，故选D．] 3．(教材P73练习BT3改编)已知随机变量X的分布列为(其中a为常数) X 1 2 3 4 5 6 P 0.1 0.2 0.3 a 0.2 0.1 则P(3≤X≤5)＝(　　) A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 C　[依题意0.1＋0.2＋0.3＋a＋0.2＋0.1＝1，解得a＝0.1，所以P＝0.3＋0.1＋0.2＝0.6，故选C．] 4．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.2 m 若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)＝________． 0.4　[由0.2＋0.1＋0.1＋0.2＋m＝1，得m＝0.4． 所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.4．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．表示离散型随机变量分布列的常用形式有哪些？它们有何优、缺点？ [提示]　离散型随机变量的分布列和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、解析式或图象来表示． 用表格表示分布列的优点是能直观得到随机变量X取各个不同值的概率，缺点是当取值比较多时，不容易制作表格，也不容易从表中查取需要的概率，表格法是今后学习中主要使用的方法； 用解析式表示分布列的优点是能精确表达X取各个不同值的概率，便于应用数学工具对这些概率值进行分析，缺点是不直观； 用图象表示分布列的优点是能直观表现X取各个不同值的概率，缺点是不能精确表示这些概率． 2．如何由分布列求随机事件的概率？ [提示]　对于随机变量X来说，它的概率分布指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．由于随机变量各个可能值表示的事件是彼此互斥的，因此随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 课时分层作业(十三)　离散型随机变量的分布列 一、选择题 1．下列表格中，不是随机变量的分布列的是(　　) A． X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 B． X －2 0 2 P 0.5 0.2 0.3 C． X 1 2 3 P － D． X 2 3 P lg 2 lg 5 C　[C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点．所以C项不是随机变量的分布列．] 2．若随机变量X的分布列如表所示，则a2＋b2的最小值为(　　) X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． C　[由分布列性质可知a＋b＝，则a2＋b2≥＝.] 3．抛掷两颗均匀的骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝(　　) A． B． C． D． A　[根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗均匀的骰子，按所得的点数共36个样本点，而X＝2对应(1，1)，X＝3对应(1，2)，(2，1)，X＝4对应(1，3)，(3，1)，(2，2)， 故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＝.] 4．(多选题)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5 C．X等于3的概率为 D．X等于4的概率为 AC　[记未使用过的乒乓球为M，已使用过的为N， 任取3个球的所有可能是：1个M球和2个N球，2个M球和1个N球，3个M球． M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，所以选项A正确； 又P＝＝，P＝＝， P＝＝， 所以X最有可能的取值是4，所以选项B，D错误，选项C正确，故选AC．] 5．随机变量ξ的分布列如下． ξ 0 1 2 P a b c 其中a＋c＝2b，则函数f (x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　) A． B． C． D． B　[由题意知解得b＝. ∵f (x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， ∴P(ξ＝1)＝.故选B．] 二、填空题 6．在射击试验中，令X＝如果射中的概率为0.8，则随机变量X的分布列为________． [答案]　 X 0 1 P 0.2 0.8 7．设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则P(|X－3|＝1)＝________． 　[由分布列的性质得＋m＋＝1，解得m＝，故P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＝.] 8．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________． 　[取出的4只红球个数可能为4，3，2，1，黑球相应个数为0，1，2，3，所以ξ≤6时，ξ＝4，6， 所以P＝P＋P＝＝.] 三、解答题 9．灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛都分出了胜负． (1)求比赛结束时乙获胜的概率； (2)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X，求随机变量X的分布列． [解]　(1)比赛结束时，乙获胜有三种情况： ①第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜； ②第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜； ③第一局，第二局乙胜． ∴比赛结束时乙获胜的概率P＝＝＝. (2)由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 10．若离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝alog2，则P(2<X≤5)＝(　　) A． B． C． D．log2 C　[因为P(X＝k)＝alog2＝a[log2(k＋1)－log2k](1≤k≤7，k∈Z)， P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝7)＝1， 所以a(log22－log21＋log23－log22＋…＋log28－log27)＝3a＝1，解得a＝， 所以P(2<X≤5)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝log2log2log2＝.] 11．已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 若P(X2<m)＝，则实数m的取值范围是(　　) A．[4，9] B．(4，9] C．[4，9) D．(4，9) B　[由随机变量X的分布列知，X2的可能取值为0，1，4，9， 且P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝＝， P(X2＝4)＝＝， P(X2＝9)＝. P(X2<m)＝＝， 所以实数m的取值范围是(4，9].] 12．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1＝x，f2＝x2，f3＝x3，f4＝sin x，f5＝cos x，f6 ＝2．现从盒子中逐一抽取卡片，且每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行．设抽取次数为ξ，则ξ≤3的概率为________. 　[易判断f2＝x2，f5＝cos x，f6＝2为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，ξ的取值范围是. (法一)P＝＝， P＝＝， P＝＝， 所以P＝P＋P＋P＝＝. (法二)P＝1－P＝＝.] 13．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 P a b 则a＋b的值为________，p＋q的值为____________． 　1　[由分布列的性质有＋a＋b＋＝1，解得a＋b＝＝. 由题表可知， 解得p＝，q＝， 所以p＋q＝＝1．] 14．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某城市自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列． [解]　(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为， 租车费相同，即两人都在同一时间段还车，标记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P＝＝， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为. (2)由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且 P＝＝， P＝＝， P＝＝， P＝＝， P＝＝. 所以甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 15．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数． (1)求袋中所有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率． [解]　(1)设袋中原有n个白球，由题意知＝＝＝. 可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5． P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P (3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则 P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $