4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦随机变量这一核心知识点，系统梳理随机变量的定义、离散型与连续型分类及与事件的联系。从篮球罚球得分等实际问题引入，抽象出随机变量概念，通过例题（如射击次数、产品寿命判断）和练习巩固，形成从具体到抽象再到应用的学习支架。 资料以实际情境（如罚球得分、射击次数）为载体，培养数学抽象（试验结果数量化）和逻辑推理（离散型判断、事件关系分析）能力。设计思考辨析、母题探究等环节，课中助力教师引导概念构建，课后学生可借跟进训练与分层作业巩固，弥补知识盲点。

4.2　随机变量 4.2.1　随机变量及其与事件的联系 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．(数学抽象) 2．能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其表示的事件．(数学抽象、逻辑推理) 3．会求简单的离散型随机变量的概率．(逻辑推理、数学运算) 某篮球运动员每次罚球具有一定的随机性． 问题：他三次罚球的得分结果可能是什么？ [提示]　(1)投进0个球——0分．(2)投进1个球——1分．(3)投进2个球——2分．(4)投进3个球——3分． 知识点1　随机变量 (1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一确定的实数值与之对应，就称X为一个随机变量． (2)表示：用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示． (3)取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围． 随机变量实质上是把随机试验的结果数量化．随机试验的结果不一定是数，但它可以用数来表示．如投掷一枚硬币，X＝0表示正面向上，X＝1表示反面向上．这样就建立其所有可能的试验结果与实数的一个对应关系． 1．随机变量的取值由什么决定？ [提示]　随机变量的取值由随机试验的结果决定． 知识点2　随机变量与事件的联系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥； (2)事件X≤a与X＞a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X＞a)＝1． 知识点3　随机变量的分类 (1)离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出来的，那么就是离散型随机变量． (2)连续型随机变量：与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值． 本章研究的离散型随机变量只取有限个值． 2．离散型随机变量有哪些主要特征？ [提示]　(1)可用数值表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)试验之前不能确定取何值； (4)试验结果能一一列出． 知识点4　随机变量之间的关系 如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量，且P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． (　　) (2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量． (　　) (3)随机变量是用来表示不同试验结果的量． (　　) (4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(多选题)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X B．南京长江大桥一天经过的车辆数X C．某型号手机的寿命X D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X ABD　[因为B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量；A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故为离散型随机变量；C中某型号手机的寿命X不是离散型随机变量．] 3．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，则X＝3表示(　　) A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 D　[由题意得X＝3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．] 4．随机变量ξ＝1，2，3，4，且P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，随机变量X满足X＝|ξ－2|，则P(X＝1)＝________． 　[由X＝|ξ－2|＝1，得ξ＝1或ξ＝3，故P(X＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＝＝.] 类型1　随机变量的判断 【例1】　下列变量是不是随机变量？在随机变量中，哪些是离散型随机变量，哪些是连续型随机变量？ (1)某人上班途中共有5个红绿灯路口，此人每天上班遇到红灯的次数； (2)某地区今后每一年的人口的出生数； (3)某单位全体员工体检时每人的血清转氨酶测定值； (4)某水库某一时刻的水位． [思路导引]　根据随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的定义依次判断得到答案． [解]　(1)此人每天上班遇到红灯的次数是随机变量，且为离散型随机变量． (2)该地区今后每一年的人口的出生数为随机变量，且为离散型随机变量． (3)该单位全体员工体检时每人的血清转氨酶测定值是随机变量，且为连续型随机变量． (4)该水库某一时刻的水位是随机变量，且为连续型随机变量． 　判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的试验结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． [跟进训练] 1．下列四个选项不是离散型随机变量的是(　　) A．某机场候机室中一天的旅客数量X B．连续投掷一枚均匀硬币4次，正面向上的次数X C．某篮球下降过程中离地面的距离X D．某道路斑马线一天经过的人数X C　[A，B，D中的随机变量X可能取的值，都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；C中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故C中的X不是离散型随机变量．] 类型2　随机变量的取值范围及其应用 【例2】　【链接教材P64例1】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X； (2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X. [思路导引]　随机变量的取值与随机试验结果的关系：通过变量X的取值，分别写出取值所表示的结果． [解]　(1)X的可能取值为0，1，2，3． X＝0表示取的5个球全是红球； X＝1表示取1个白球，4个红球； X＝2表示取2个白球，3个红球； X＝3表示取3个白球，2个红球． (2)X的可能取值为3，4，5． X＝3表示取出的球编号为1，2，3； X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4； X＝5表示取出的球编号为 1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5． [母题探究] 1．(变条件，变设问)在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？ [解]　ξ＝10表示取的5个球全是红球； ξ＝7表示取1个白球，4个红球； ξ＝4表示取2个白球，3个红球； ξ＝1表示取3个白球，2个红球． 2．(变设问)本例(2)中，“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答？ [解]　X可能取的值为1，2，3． X＝3表示取出的3个球的编号为3，4，5； X＝2表示取出的3个球的编号为2，3，4或2，3，5或2，4，5； X＝1表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或1，2，4或1，3，4或1，2，3． 【教材原题P64例1】 例1　先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为Ω. (1)借助合适的符号，用列举法写出样本空间Ω； (2)求出随机变量X的取值范围． [解]　(1)用FZ表示第一枚硬币反面朝上，第二枚硬币正面朝上，其他事件用相同方法表示，则样本空间 Ω＝{FF，FZ，ZF，ZZ}． (2)因为有可能没有硬币正面朝上，也有可能恰有一枚硬币正面朝上，还有可能两枚硬币都正面朝上，所以X的取值范围是{0，1，2}． 　随机变量的取值范围类似于函数的值域，因此只要明确随机变量的取值同试验结果的对应关系，即可求出随机变量的取值范围． [跟进训练] 2．(源自北师大版教材)已知在10件产品中有2件不合格品．试验E：从这10件产品中任取3件，观察不合格品的件数． (1)写出该随机现象可能出现的结果； (2)试用随机变量来描述上述结果． [解]　(1)依题意知这10件产品中有2件不合格品，8件合格品． 因此，从10件产品中任取3件，所有可能出现的结果是：“没有不合格品”“恰有1件不合格品”“恰有2件不合格品”． (2)令随机变量X表示取出的3件产品中的不合格品的件数，则X所有可能的取值为0，1，2，对应着任取3件产品所有可能的结果．即 {X＝0}表示“没有不合格品”； {X＝1}表示“恰有1件不合格品”； {X＝2}表示“恰有2件不合格品”． 类型3　随机事件的关系及其应用 【例3】　【链接教材P67例2】 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本价，且获利不高于40%.经试销发现，销量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)满足y＝－x＋120(60≤x≤84)． (1)写出商场所获得的利润W与销售单价x(单位：元)之间的函数关系式； (2)若P(500≤W≤864)＝0.45，求P(60≤x<70)的值． [思路导引]　(1)根据“利润＝销售收入－成本”建立关系式； (2)根据W与x的关系求出x的范围，进而得出 P(60≤x<70)． [解]　(1)销售收入为xy＝x(－x＋120)＝－x2＋120x(60≤x≤84)，所以利润W＝xy－60y＝－x2＋120x＋60x－7 200＝－x2＋180x－7 200(60≤x≤84)． (2)由500≤W≤864，得500≤－x2＋180x－7 200≤864，解得70≤x≤84，所以P(500≤W≤864)＝P(70≤x≤84)＝0.45．又P(70≤x≤84)＋P(60≤x<70)＝1， 所以P(60≤x<70)＝1－0.45＝0.55． 【教材原题P67例2】 例2　某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1 000元，每工作1 h再获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X h，获取的税前月工资为Y元． (1)当X＝110时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若P(X≤120)＝0.6，求P(Y>4 600)的值． [解]　(1)当X＝110时，表示工作了110个小时，所以 Y＝110×30＋1 000＝4 300． (2)根据题意有 Y＝30X＋1 000． (3)因为 X≤120⇔30X≤3 600⇔30X＋1 000≤4 600⇔Y≤4 600， 所以P(Y≤4 600)＝P(X≤120)＝0.6， 从而P(Y>4 600)＝1－P(Y≤4 600)＝1－0.6＝0.4． 　两个随机变量关系问题的关注点 (1)衍生关系：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b∈R，a≠0)也是随机变量． (2)相等关系：P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)． 提醒：求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义．对于变量间的关系问题，可类比函数关系求解． [跟进训练] 3．一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，每抽到一个白球加5分，抽到白球的个数为X，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，最终得分为Y. (1)求X的取值范围； (2)求最终得分Y的可能取值； (3)若P(X>2)＝，求P(Y≤16)． [解]　(1)由题意得，X可能的取值为0，1，2，3， 所以X的取值范围是{0，1，2，3}． (2)由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0，1，2，3，所以Y对应的值为5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6，即Y的可能取值为6，11，16，21． (3)因为X>2，所以Y＝5X＋6>16， 所以P(Y>16)＝P(X>2)＝， 所以P(Y≤16)＝1－P(Y>16)＝1－＝. 1．下列随机变量中不是离散型随机变量的是(　　) A．掷5次硬币正面向上的次数M B．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T C．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X B　[由随机变量的概念可知，某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能一一举出，故不是离散型随机变量．] 2．(教材P68练习AT3改编)一次考试选择题每题5分，设某学生答对的选择题数为随机变量X，选择题得分为随机变量Y.已知P＝0.6，则P的值为(　　) A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.4 D　[根据题意知，Y＝5X，所以X<6⇔5X<30⇔Y<30．因为P＝0.6，所以P＝0.4，所以P＝0.4，故选D．] 3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则ξ＝5表示的试验结果是(　　) A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标 C　[ξ＝5表示前4次均未击中目标，而第5次可能击中目标，也可能未击中目标，故选C．] 4．已知随机变量X的取值范围为，且P＝0.2，P＝0.3，P＝0.4，P＝0.1，则P＝________，若Y＝4X＋3，则P＝________． 0.5　0.9　[由题意可知P＝P(X＝5)＋P＝0.4＋0.1＝0.5，P＝P ＝1－P＝1－0.1＝0.9．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．随机变量与函数有哪些相同点和不同点？ [提示]　 随机变量 函数 相同点 都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域 不同点 把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果 把实数映射为实数，即函数的自变量是实数 2．如何判断一个随机变量是不是离散型随机变量？ [提示]　判断一个随机变量X是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体步骤如下： (1)依据具体情境分析变量是否为随机变量． (2)由条件求解随机变量的值域． (3)判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量． 课时分层作业(十二)　随机变量及其与事件的联系 一、选择题 1．(多选题)下列变量中，是离散型随机变量的是(　　) A．某机场明年5月1日运送乘客的数量 B．某办公室一天中接待来访的人数 C．某地警方明年5月1日到10月1日期间查酒驾司机的人数 D．一瓶净含量为500±2 mL的果汁的容量 ABC　[某机场明年5月1日运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故A正确； 某办公室一天中接待来访的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故B正确； 某地警方明年5月1日到10月1日期间查酒驾司机的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故C正确； 果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，虽然是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量，故D错误．故选ABC．] 2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的取值范围为(　　) A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈Z C．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z D　[两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X∈[－5，5](X∈Z)．] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X＝1)的值是(　　) A．0 B． C． D．1 C　[因为1次试验的成功次数为0或1，故X可能的取值有两种，即0，1．又“成功率是失败率的2倍”，所以P(X＝1)＝.] 4．设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 A　[因为随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10， 所以P(ξ＝i)＝(i＝1，2，3，4，…，10)， 所以η＝2ξ－1等可能地取1，3，5，7，…，19， 则P(η＝j)＝(j＝1，3，5，7，…，19)， 所以P(η<6)＝P(η＝1)＋P(η＝3)＋P(η＝5)＝＝0.3．] 5．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　) A．X＝4 B．X＝5 C．X＝6 D．X≤4 C　[第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了5回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6．] 二、填空题 6．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则为每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的取值范围是________． {300，100，－100，－300}　[可能出现的结果为回答全对，两对一错，两错一对，全错，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．] 7．下列随机变量中是离散型随机变量的有________，是连续型随机变量的有________．(填序号) ①某宾馆每天入住的旅客数量X； ②某水文站观测到一天中珠江的水位X； ③某欢乐谷一日接待游客的数量X. ①③　②　[①③中的随机变量X的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故是连续型随机变量．] 8．已知P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.2，P(X＝3)＝P(X＝4)＝0.3，则P(X>1)＝________，P(|2X－5|＝1)＝________． 0.8　0.5　[依题意可知P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.8，P(|2X－5|＝1)＝P(X＝3)＋P(X＝2)＝0.3＋0.2＝0.5．] 三、解答题 9．(源自苏教版教材)下列变量中哪些是随机变量？如果是随机变量，那么可能的取值有哪些？ (1)一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X； (2)明天的降雨量L(单位：mm)； (3)先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X. [解]　(1)根据条件可知，X是随机变量，可能的取值是1，2，3，4． (2)降雨量具有一定的随机性，所以L是随机变量，可能的取值有无数多个，可以是[0，＋∞)内的某个数． (3)用H表示“正面向上”，T表示“反面向上”，则样本空间为{HH，HT，TH，TT}．正面向上(即出现H)的次数X是随机变量，取值是0，1，2． 10．(多选题)将一枚均匀骰子掷两次，能作为随机变量的是(　　) A．两次掷得的点数 B．两次掷得的点数之和 C．两次掷得的最大点数 D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数之差 BCD　[两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，故A错误，BCD正确．] 11．(多选题)口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共摸球3次．设所得分数为随机变量ξ，若P＝，则随机变量ξ的取值可能为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 BCD　[∵口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，∴摸到红球的概率是p1＝，白球的概率是p2＝，而ξ＝3即得3分，表示这3次摸的都是白球且P＝，∴＝，解得n＝3， ∴ξ的可能取值为3，4，5，6，故选BCD．] 12．在甲、乙两队的一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若每个抢答题都有队伍抢答，X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的可能取值集合是________． {－1，0，1，2，3}　[X＝－1：甲队抢到1题且答错，乙队抢到2题均答错． X＝0：甲队没有抢到题，乙队抢到3题且至少答错其中的2题；甲队抢到2题且答对1题答错1题，乙队抢到1题且答错． X＝1：甲队抢到1题且答对，乙队抢到2题且至少答错其中的1题；甲队抢到3题且答对其中的2题，乙队没有抢到题． X＝2：甲队抢到2题均答对． X＝3：甲队抢到3题均答对．] 13．将一个各面都涂了油漆的正方体切割为64个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取1个小正方体，记它的油漆面数为X，则P＝________，P＝________． 　　[依题意，原正方体每条棱上中间的2个小正方体2面涂有油漆，于是得一共有2×12＝24(个)小正方体2面涂有油漆，所以P＝＝. 原正方体每个顶点处的小正方体3面涂有油漆，一共有8个，则共有8个小正方体3面涂有油漆，即有P＝＝，所以P＝P(X＝2)＋P＝＝.] 14．某次比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都准备10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目．测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．某选手抽到科技类题目X道． (1)写出随机变量X的取值范围； (2)“X＝1”表示的事件是什么？可能出现多少种结果？ [解]　(1)由题意得X的取值范围是{0，1，2，3}． (2)“X＝1”表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”． 考虑顺序，三类题目各抽取一道有＝180(种)结果； 1道科技类题目2道文史类题目有＝180(种)结果； 1道科技类题目2道体育类题目有＝18(种)结果． 由分类加法计数原理知可能出现180＋180＋18＝378(种)结果． 15．某市电视台为了解市民对本市举办的春节文艺晚会的关注情况，组织了一次抽样调查，下面是调查中的其中一个方面： 单位：人 看直播 看重播 不看 男性 460 m 135 女性 404 210 90 按类型用分层抽样的方法抽取50份问卷，其中“看直播”的问卷有27份． (1)求m的值； (2)为了解市民为什么不看的一些理由，用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2份，求至少有1份是女性问卷的概率； (3)现从(2)所确定的总体中每次都抽取1份，取后不放回，直到确定出所有女性问卷为止，记所要抽取的次数为ξ，直接写出ξ的所有可能取值(无须推理)． [解]　(1)由＝， 得m＝301． (2)由表格可知“不看”的市民中男女比例为3∶2，故所求概率P＝＝. (3)ξ＝2，3，4． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $