4.2 探究课2 二项分布与超几何分布的辨析-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦二项分布与超几何分布的辨析这一核心知识点，系统梳理两者的区别（有放回与无放回抽样）、转化条件（产品数量无限多及次品比例对应增加），通过典例解析与练习题构建从概念理解到实际应用的学习支架。 资料通过10件产品抽取等真实案例，引导学生用数学眼光观察现实问题中的概率模型，对比辨析培养推理能力（数学思维），分布列构建与概率计算提升数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后学生可自主回顾典例与习题，查漏补缺巩固知识。

　二项分布与超几何分布的辨析 1．二项分布与超几何分布的区别 超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现相似点．超几何分布概率模型可以这样建立：若有N件产品，其中M件是次品，无放回地任意抽取n件，则其中恰有的次品件数X是服从超几何分布的．若将超几何分布概率模型改成：若有N件产品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n件，则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的．在这里，两种分布的差别就在于“有放回”与“无放回”的差别，只要将概率模型中的“无放回”改为“有放回”，或将“有放回”改为“无放回”，就可以实现两种分布之间的转化． 2．二项分布与超几何分布之间的转化条件 事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n次独立重复试验)，其中含有次品的件数服从二项分布．在这里，超几何分布转化为二项分布的条件是： (1)产品件数无限多，否则无放回地抽取n件产品是不能看作n次独立重复试验的； (2)在产品件数N无限增加的过程中，次品数M应按相应的“比例”增加，否则上述事实也是不成立的． 【典例】　在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品． (1)若从这10件产品中任意抽取1件，设抽取到一等品的件数为ξ，求ξ的分布列； (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回，设抽取到一等品的件数为η，求η的分布列； (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回，设抽取到一等品的件数为X，求： ①X的分布列； ②抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． [解]　(1)抽取一次，只有抽到一等品和抽不到一等品两种情况，故ξ的取值只有0和1两种情况，服从两点分布． P(ξ＝1)＝，P(ξ＝0)＝， 因此ξ的分布列为 ξ 0 1 P (2)每次抽取后都放回，每次抽到一等品的概率均为，因此η～B(3，)． 则P(η＝0)＝×()0×(1－)3＝， P(η＝1)＝×(1－)2＝， P(η＝2)＝×()2×(1－)＝， P(η＝3)＝×()3×(1－)0＝， 因此η的分布列为 η 0 1 2 3 P (3)①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品件数X服从超几何分布．所以从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝(m＝0，1，2，3)， 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P ②设事件A为“抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数”，A1为“抽取到的3件产品中恰好有1件一等品和2件三等品”，A2为“抽取到的3件产品中恰好有2件一等品”，A3为“抽取到的3件产品均为一等品”，则事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3． 因为P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝， 所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝，即抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为. 为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量(单位：本)的数据分成7组，即[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到样本的频率分布直方图，如图所示． (1)估计阅读量小于60本的人数； (2)已知阅读量在[20，30)，[30，40)，[40，50)内的学生人数比为2∶3∶5．为了进一步了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40)内的学生中随机选取3人进行调查，用X表示所选学生阅读量在[20，30)内的人数，求X的分布列； (3)视频率为概率，从该高校的全体学生中任选3人，用Y表示所选学生阅读量在[60，70)内的人数，求Y的分布列． [解]　(1)100－100×10×(0.04＋0.02×2)＝20(人)． (2)由已知条件及(1)可知，阅读量在[20，50)内的人数为20－100×0.01×10＝10，故阅读量在[20，30)内的人数为2，在[30，40)内的人数为3，在[40，50)内的人数为5． 易知X服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，所以X的所有可能取值为0，1，2，则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (3)由频率分布直方图知阅读量在[60，70)内的频率为0.02×10＝0.2，即从该高校的全体学生中任选1人，其阅读量在[60，70)内的概率为.则由题意知Y～B(3，)． 所以P(Y＝k)＝×()k×()3-k(k＝0，1，2，3)， 即P(Y＝0)＝×()0×()3＝， P(Y＝1)＝×()1×()2＝， P(Y＝2)＝×()2×()1＝， P(Y＝3)＝×()3×()0＝. 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $