4.1.2 第2课时 全概率公式、贝叶斯公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦全概率公式与贝叶斯公式核心知识点，通过罐子取球问题引入，先阐述全概率公式的化整为零思想及定理条件，再讲解贝叶斯公式的逆推逻辑，构建从具体问题到抽象公式的学习支架。 以种子发芽、射击概率等现实问题驱动教学，通过思考辨析、例题解析与跟进训练，培养逻辑推理与数学运算素养，分层作业兼顾不同学生需求，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

第2课时　全概率公式、贝叶斯公式 1．理解并掌握全概率公式．(逻辑推理) 2．了解贝叶斯公式．(逻辑推理) 3．会用全概率公式及贝叶斯公式解题．(数学运算) 有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3红球1黑球，3号装有2红球2黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球． 问题：取得红球的概率是多少？ [提示]　P＝＝. 知识点1　全概率公式 (1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)． (2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝＝. 全概率公式体现了哪种数学思想？ [提示]　全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可． 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．在实际问题中，由于随机事件的复杂性，有时很难直接求得事件B发生的概率，因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B，然后借助于全概率公式间接求出事件B发生的概率． 知识点2　贝叶斯公式 (1)一般地，当1>P(A)>0且P(B)＞0时，有P(A|B) ＝＝． (2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1＞P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝＝． 贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)之间的内在联系． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)． (　　) (2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)． (　　) (3)P(A|B)＝＝. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝(　　) A． B． C． D． C　[P(B)＝P(A)P(B|A)＋P() ＝＝.故选C．] 3．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为 0.9，0.8，则甲正点到达目的地的概率为(　　) A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.84 C　[设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9．由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86．] 4．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01．今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为________． 0.8　[设B表示中途停车修理，A1表示经过的是货车，A2表示经过的是客车，则B＝A1B∪A2B， 由贝叶斯公式有 P(A1|B)＝＝＝0.8．] 类型1　全概率公式及其应用 【例1】　【链接教材P51例3、P53例4】 (1)袋中装有编号为1，2，…，n的n个球，先从袋中任取一个球，如该球不是1号球，就放回袋中，是1号球，就不放回，求第二次取到2号球的概率． (2)播种用的小麦种子混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．已知用一、二、三、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率． [思路导引]　(1)用全概率公式求解．(2)利用定理1解决问题． [解]　(1)设事件A为“第一次取到的是1号球”，事件B为“第二次取到的是2号球”， 显然P(A)＝，P()＝，由全概率公式得， P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()＝＝. (2)设Bk：从这批种子中任选一颗是k等种子，k＝1，2，3，4；设A：从这批种子中任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上，则 P(B2)＝0.02，P(B3)＝0.015，P(B4)＝0.01， P(B1)＝1－0.02－0.015－0.01＝0.955， P(A|B1)＝0.5，P(A|B2)＝0.15， P(A|B3)＝0.1，P(A|B4)＝0.05，由定理1得， P(A)＝＝0.955×0.5＋0.02×0.15＋0.015×0.1＋0.01×0.05＝0.482 5． 【教材原题P51例3、P53例4】 例3　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． 尝试与发现：用适当的符号表示例3中的已知条件，并思考解题的方法． [解]　如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生．则根据已知，有 P(A)＝＝，P()＝1－＝， 而且P(B|A)＝，P(B|)＝. 题目所要求的是P(B)． 由全概率公式可知 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()＝＝. 例4　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质品率的信息如下表所示． 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质品率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率． [解]　用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则依据已知可得 P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%， 且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%. 因此，由全概率公式有 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. 　全概率公式求概率的关注点 (1)实质：为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果． (2)应用：把事件B看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An看作该过程的若干个原因，每一原因发生的概率(P(An))已知，而且每一原因对结果的影响程度(P(B|An))已知，则可用全概率公式计算结果发生的概率(P(B))． [跟进训练] 1．(源自北师大版教材)甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7．若飞机被一人击中，则被击落的概率为0.2；若被两人击中，则被击落的概率为0.6；若被三人击中，则飞机必定被击落．求飞机被击落的概率． [解]　设事件A表示“飞机被击落”，事件Bi表示“飞机被i人击中”(i＝0，1，2，3)，则B0，B1，B2，B3构成样本空间的一个划分，且依题意，P(A|B0)＝0，P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”(i＝1，2，3)． 则P(B1)＝P(H1H2H3)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36． 同理P(B2)＝P(H1H2∪H1H3H2H3)＝0.41， P(B3)＝P(H1H2H3)＝0.14， P(B0)＝P()＝0.09． 由全概率公式，可知P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.09×0＋0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458． 因此，飞机被击落的概率为0.458． 类型2　贝叶斯公式及其应用 【例2】　【链接教材P54例5】 某人去某地参加会议，他乘汽车或飞机去的概率分别为0.6，0.4．如果他乘汽车或飞机前去，迟到的概率如图所示，结果他迟到了，求他乘的是汽车的概率． [解]　设B＝“迟到”，A＝“乘汽车”，＝“乘飞机”． 根据题意，有P(A)＝0.6，P()＝. 由贝叶斯公式， 得P(A|B)＝＝＝. 因此，他乘的是汽车的概率为. 【教材原题P54例5】 例5　某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%.某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率(精确到0.1%)． [解]　用A表示生产线初始状态良好，B表示产品为合格品．则由已知有 P(A)＝80%，P(B|A)＝95%，P(B|)＝60%. 从而P()＝1－80%＝20%，因此由贝叶斯公式可知 P(A|B)＝＝≈86.4%. 　利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝； 第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解； 第三步：代入P(B|A)＝求解． [跟进训练] 2．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为，否则，第一件产品合格的概率为.某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为(　　) A． B． C． D． D　[用A表示生产线初始状态良好，B表示第一件产品是合格品，则P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝， 因此P(A|B)＝＝＝.] 类型3　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【例3】　假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字． 单位：人 疾病 人数 出现S中症状人数 d1 7 750 7 500 d2 5 250 4 200 d3 7 000 3 500 (1)试问：当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？ (2)在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ [解]　以A表示事件“患者出现S中的某些症状”， D i表示事件“患者患有疾病di”(i＝1，2，3)，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知P(D1)＝＝0.387 5，P(D2)＝＝0.262 5，P(D3)＝＝0.35，P(A|D1)＝≈0.967 7， P(A|D2)＝＝0.8，P(A|D3)＝＝0.5． (1)由全概率公式得，P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76． (2)由贝叶斯公式得P(D1|A)＝＝≈0.493 4， P(D2|A)＝＝≈0.276 3， P(D3|A)＝＝≈0.230 3，由于P(D1|A)>P(D2|A)>P(D3|A)，从而推测病人患有疾病d1较为合理． 　若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式．(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率．熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效． [跟进训练] 3．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ [解]　设事件A表示“取到的产品为正品”，事件B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”． 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8． (1)由全概率公式得P(A)＝＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86． (2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝＝＝， P(B2|A)＝＝＝， P(B3|A)＝＝＝. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大． 1．(多选题)(教材P57练习AT3改编)已知事件A，B满足P(A)＝，P(B|A)＝，P(|)＝，则(　　) A．P(AB)＝ B．P(|A)＝ C．P(B|)＝ D．P(B)＝ ACD　[对于A选项，P(AB)＝P(A)P(B|A)＝，所以A选项正确； 对于B选项，P(|A)＝1－P(B|A)＝，所以B选项错误； 对于C选项，P(B|)＝，所以C选项正确； 对于D选项，P()＝1－P＝， 则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()＝＝，所以D选项正确．故选ACD．] 2．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为(　　) A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88 C　[设B：从仓库中随机提出的一台是合格品，Ai：提出的一台是第i车间生产的，i＝1，2，则有B＝A1B∪A2B，由题意， P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式可得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．] 3．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________． 　[用B表示取出的球全是白球， Ai表示掷出i点(i＝1，2，…，6)，则由贝叶斯公式，得P(A3|B)＝＝.] 4．一袋中装有大小、形状均相同的5个球，其中2个黑球，3个白球，从中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为________． 　[设事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，可知P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝， 则P(B)＝P(AB)＋P()＝＝.] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 全概率公式的适用范围及步骤是什么？ [提示]　所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 运用全概率公式的一般步骤如下： (1)求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An. (2)求P(Ai)(i＝1，2，…，n)． (3)求P(B|Ai)(i＝1，2，…，n)． (4)求目标事件的概率P(B)． 可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”． 课时分层作业(十)　全概率公式、贝叶斯公式 一、选择题 1．(多选题)若0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列等式中成立的有(　　) A．P(A|B)＝ B．P(AB)＝P(A)P(B|A) C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) D．P(A|B)＝ BCD　[由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正确；由全概率公式知C正确；P(A)P(B|A)＝P(AB)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()，故D正确．故选BCD．] 2．已知在所有男子中有5%的人患有色盲症，在所有女子中有0.25%的人患有色盲症．随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为(设男子和女子的人数相等)(　　) A． B． C． D． B　[设A表示男子，B表示女子，C表示这人患有色盲， P(C|A)＝0.05，P(C|B)＝0.002 5，P(A)＝0.5，P(B)＝0.5， P(A|C)＝ ＝＝.] 3．长时间玩手机可能会影响视力，据调查，某校大约有32%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机的时间超过1h，这些人的近视率约为40%.现从每天玩手机的时间不超过1h的学生中任意调查一名学生，则这名学生患近视的概率为(　　) A． B． C． D． A　[设A1＝“每天玩手机时间超过1h的学生”，A2＝“每天玩手机时间不超过1h的学生”，B＝“任意调查一人，此人患近视”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，P＝0.2，P＝0.8，P＝0.4，P＝0.32，由P＝PP＋PP，得0.2×0.4＋0.8×P＝0.32，解得P＝0.3，故选A．] 4．英国数学家贝叶斯(1701－1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，(A的对立事件)存在如下关系：P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性，该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为(　　) A．0.068 8 B．0.019 8 C．0.049 D．0.05 A　[设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件， 则P(B|A)＝0.99，P(A)＝0.02，P(B|)＝0.98， 故所求概率P(B)＝0.99×0.02＋0.05×0.98＝0.068 8，故选A．] 5．(多选题)甲罐中有5个红球，2个白球，3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一个球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(　　) A．P＝ B．P＝ C．P＝ D．P＝ ABD　[P＝＝，P＝＝，P＝，P＝＝＝，A选项正确；P＝＝，B选项正确；P＝＝，C选项错误；P＝＝＝，D选项正确，故选ABD．] 二、填空题 6．已知P＝，P＝，P＝，则P＝________． 　[因为P＝， 所以P()＝1－P(A)＝1－＝， 因为P＝， 所以P＝1－P＝1－＝， 所以由全概率公式可得P＝PP＋PP＝＝.] 7．电报发射台发出“”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接受台收到“”时发出信号恰是“”的概率为________． 　[用A表示接收到“”，B表示发出“”，由贝叶斯公式得，P(B|A)＝ ＝＝.] 8．某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8，在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7，且第一次投不中，第二次投中的概率为0.5，则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为________. 　[设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，由贝叶斯公式可得：P(A|B)＝＝＝.] 三、解答题 9．如图所示，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． [解]　设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1，2，3)，事件A表示“取得红球”． 由全概率公式，可得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×1＝. 再由条件概率知， P(B1|A)＝＝＝＝， P(B2|A)＝＝＝＝＝， P(B3|A)＝＝＝＝. 因此，该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 10．从数字1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个整数，记为Y，则P(Y＝2)＝(　　) A． B． C． D． C　[由题意，知P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝，易得P(Y＝2|X＝1)＝0，P(Y＝2|X＝2)＝，P(Y＝2|X＝3)＝，P(Y＝2|X＝4)＝.由全概率公式，可得P(Y＝2)＝P(X＝1)P(Y＝2|X＝1)＋P(X＝2)P(Y＝2|X＝2)＋P(X＝3)P(Y＝2|X＝3)＋P(X＝4)P(Y＝2|X＝4)＝＝.] 11．(多选题)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.下列结论正确的是(　　) A．每次随机抽取一个零件，抽出的零件不放回，第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同 B．任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是0.75 C．任取一个零件，它是次品的概率小于0.06 D．如果取到的零件是次品，那么它是第2台车床加工的概率是 BC　[记事件B为“任取一个零件为次品”，事件Ai为“零件是第i台机床加工”，i＝1，2，3，Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 由题意P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05． 由全概率公式第1次抽到次品的概率P(B)＝＝0.052 5， 第2次取得次品与第1次取得次品这两个事件是相互独立的，因此第2次取得次品的概率仍然是0.0525，A错误； 任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是1－P(A1)＝0.75，B正确； 由A选项计算结论知C正确； P(A2|B)＝＝＝＝，D错误．故选BC．] 12．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，将会大大地方便人们的出行．某科研人员制作石墨烯发热膜的过程分为三步，且第一步成功的概率为.若第一步成功，第二步失败的概率为，前两步成功，第三步失败的概率为，则这位科研人员成功制作出石墨烯发热膜的概率为________． 　[记事件Ai表示“制作石墨烯发热膜第i步时失败”(i＝1，2，3)，记事件B表示“成功制作出石墨烯发热膜”．因为B＝，所以P(B)＝P()＝P()P(|3|)＝(1－)(1－)＝.] 13．某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为.现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品，则取得的一个产品是次品的概率为________；若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001) 0.083　0.287　[用A表示取得一个产品是次品，B1表示取得一箱是甲厂的，B2表示取得一箱是乙厂的，B3表示取得一箱是丙厂的． 三个厂的次品率分别为， 所以P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝. 因为12箱产品中，甲占，乙占，丙占， 由全概率公式得P(A)＝＝≈0.083． 依题意，已知A发生，要求P(B2|A)，此时用贝叶斯公式： P(B2|A)＝≈≈0.287．] 14．现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质(含施工质量、信誉等)进行调查和评定是非常重要的．设B＝“被调查的施工企业资质不好”，A＝“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知P＝0.97，P＝0.95．现已知在被调查的施工企业当中有6%确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率(精确到0.01)． [解]　依题意P＝0.06，P＝0.95，P＝0.97， 所以P＝1－P＝0.05，P＝1－P＝0.94， P＝＝ ＝ ＝≈0.55． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $