4.1.2 第1课时 乘法公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦乘法公式及其推广这一核心知识点，承接条件概率，通过摸球、抽奖等实例抽象出积事件概率计算方法，为后续全概率公式学习搭建逻辑支架。 以生活实例（如登录密码尝试、不放回摸球）驱动教学，培养数学抽象与运算能力，例题分层设计从基础到综合应用。课中助教师引导学生推理，课后通过分层作业和跟进训练，学生可回顾强化，弥补知识盲点。

4.1.2　乘法公式与全概率公式 第1课时　乘法公式 1．掌握乘法公式及其推广．(数学抽象) 2．会用乘法公式求相应事件的概率．(数学运算) 小明在登录电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9中的任意一个． 问题：他在尝试登录时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？ [提示]　. 知识点　乘法公式及其推广 (1)乘法公式：P(BA)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0． (2)乘法公式的推广： 设Ai表示事件，i＝1，2，3，且P(A1)＞0，P(A1A2)＞0，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)． 其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率． P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之间存在怎样的等量关系？ [提示]　P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0． 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝(　　) A． B． C． D． C　[P(AB)＝P(B|A)P(A)＝，故选C．] 2．若P(B|A)＝，则P＝________． 　[＝1－P(B|A)＝1－.] 类型1　乘法公式及其应用 【例1】　【链接教材P49例1】 (源自北师大版教材)已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同． (1)先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率； (2)从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率． [解]　设事件Ai表示“第i次摸到的是黑球”(i＝1，2，3)，则事件A1A2表示“两次摸到的均为黑球”． (1)由题意知P(A1)＝＝.于是，根据乘法公式， 有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝， 所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为黑球的概率为. (2)设事件A表示“第三次才摸到黑球”，则A＝A3． 由题意知P＝，P＝，P＝. ＝PPP＝， 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球的概率为. [母题探究] 1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率． [解]　用A表示第一次取得黑球，则P(A)＝， 用B表示第二次取得白球，则P(B|A)＝. 故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝. 2．(变结论)在本例条件不变的情况下，求两次均取得白球的概率． [解]　用Bi表示第i次取得白球，i＝1，2，则B1B2表示事件“两次取到的均是白球”． 由题意得P(B1)＝＝， 故P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝. 【教材原题P49例1】 例1　已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3．试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率． [解]　设Ai表示第i次掉落手机屏幕没有碎掉，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得 P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15． 即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15． 　乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解即可． [跟进训练] 1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为________． 0.72　[设A为“任取一件是合格品”，B为“任取一件是一等品”．因为P(A)＝1－P＝96%，P(B|A)＝75%，且事件B发生时事件A一定发生，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72．] 类型2　乘法公式的综合应用 【例2】　【链接教材P49例2】 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． [解]　设A表示从第一个盒子中取得标有字母A的球， B表示从第一个盒子中取得标有字母B的球， R表示第二次取出的球是红球， 则P(A)＝，P(B)＝＝， P(R|B)＝， 事件“试验成功”表示为AR∪BR， 又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得 P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR) ＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B) ＝. 　1．应用概率加法公式的前提是事件互斥． 2．为了求复杂事件的概率，往往可以先把该事件分解成两个或多个互斥事件的和，求出简单事件概率后，相加即可得到复杂事件的概率． 【教材原题P49例2】 例2　在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率； (2)甲没中奖而且乙中奖的概率． [解]　设A表示甲中奖，B表示乙中奖，则 P(A)＝. (1)因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P(B|A)＝. 根据乘法公式可知，甲中奖且乙也中奖的概率为 P(BA)＝P(A)P(B|A)＝. (2)因为P(A)＋P＝1， 所以P＝1－. 因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P＝. 根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为 P＝PP＝. [跟进训练] 2．某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率． [解]　设A1＝“第一次患病心肌受损害”，A2＝“第二次患病心肌受损害”，则所求概率为P. 由题意可知P(A1)＝0.3，P＝0.6， 又P＝1－P(A1)＝0.7， P＝1－P＝0.4， 所以P＝PP＝0.7×0.4＝0.28． 1．(教材P57练习AT1(1)改编)已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(BA)＝(　　) A． B． C． D． D　[易知P(BA)＝P(A)P(B|A)＝.] 2．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是，在第一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯的概率是，则两次闭合都出现红灯的概率为(　　) A． B． C． D． A　[记第一次闭合出现红灯为事件A，第二次闭合出现红灯为事件B，则P(A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)P(A)＝.] 3．设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为，则透镜落下三次而未打破的概率是________． 　[以Ai(i＝1，2，3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝， 故有P(B)＝P＝PP＝.] 4．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球(白球与红球大小、形状、质地相同)，现从1号箱中随机取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是________． 　[设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B．由题意，知P(A)＝＝，所以P(BA)＝P(B|A)P(A)＝，所以两次都取到红球的概率为.] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 你是如何理解乘法公式的？ [提示]　(1)乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)进一步揭示了P(A)，P(B|A)及P(AB)三者之间的内在联系，体现了“知二求一”的转化与化归思想． (2)该公式同时也给出了“积事件”概率的另一种求解方式，即在事件A，B不相互独立的前提下可考虑条件概率的变形公式，即乘法公式． 课时分层作业(九)　乘法公式 一、选择题 1．气象资料表明，某地区每年七月刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月既刮台风又下大雨的概率为(　　) A． B． C． D． B　[设“某地区每年七月刮台风”为事件A，设“某地区每年七月下大雨”为事件B，则“该地区七月既刮台风又下大雨”为事件AB． 由题得P(A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)P(A)＝.] 2．10个考签中有4个难签，3个同学参加抽签(不放回)，甲先抽，乙再抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为(　　) A． B． C． D． A　[设A，B，C分别表示甲、乙、丙都抽到难签，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝.] 3．一个盒子里有7只好的晶体管，5只坏的晶体管，依次不放回的取两次，每次取一只，则第二次才取出好的晶体管的概率为(　　) A． B． C． D． C　[令Ai表示第i次取到好的晶体管，i＝1，2，则P＝，P＝，∴P＝.] 4．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，种子发芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为(　　) A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72 D　[设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子成长为幼苗”为事件AB，“这粒水稻种子发芽后又能成长为幼苗”为事件B|A，由P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72．] 5．足球比赛中点球射门是队员练习的必修课．已知某足球队员在进行点球射门时命中率为87%，由于惯用脚的原因，他踢向球门左侧的概率为70%，踢向球门右侧的概率为30%.经统计，当他踢向球门左侧时，球进的概率为90%，那么他踢向球门右侧时，球进的概率为(　　) A．87% B．84% C．81% D．80% D　[设某队员踢向球门右侧时，球进的概率为x，则由题可知：70%×90%＋30%x＝87%，解得x＝80%，故选D．] 二、填空题 6．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为________． 0.75　[因为P(A|B)＝，所以P(AB)＝0.3，所以P(B|A)＝＝0.75．] 7．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 0.4　[记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5． 所以P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.5×0.8＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4．] 8.5张彩票中仅有1张中奖彩票，5个人依次摸奖，则第二个人摸到中奖彩票的概率为________，第三个人摸到中奖彩票的概率为________． 　[记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai，显然P(A1)＝，则P(A2)＝PP＝，P(A3)＝PPP＝.] 三、解答题 9．一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求： (1)第一次取得白球的概率； (2)第一、二次都取得白球的概率； (3)第一次取得黑球且第二次取得白球的概率． [解]　设A表示第一次取得白球，B表示第二次取得白球，则AB表示第一、二次都取得白球， B表示第一次取得黑球，第二次取得白球， 且P(B|A)＝，P＝. (1)P(A)＝. (2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝. (3)P＝PP＝. 10．从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽一张，则第2次才抽到A的概率是(　　) A． B． C． D． C　[(法一)所求概率P＝. (法二)设Ai表示第i次抽到A，i＝1，2，则 P＝， P＝， 所以P＝PP＝.故选C．] 11．(多选题)一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用A1，A2表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出红球”；分别用B，C表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”．则下列结论正确的是(　　) A．P B．P C．P D．P AB　[由题得P， 根据条件概率公式，得P. P，故A，B正确． 对选项C，P， 所以P＝P(A1B)＋P(A2B)＝PP，故C错误． 对选项D，P， P，故D错误．故选AB．] 12．盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．在此过程中没有取到黄球的概率为________． 　[没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”． 记事件R1表示第一次取到红球，R2表示第二次取到红球，G1表示第一次取到绿球， 则P， ∴没有取到黄球的概率为P＝.] 13．六个人用摸彩的方式决定谁得到一张电影票，他们依次摸彩． (1)已知前两个人都没摸到，则第三个人摸到的概率为________； (2)电影票被第三个人摸到的概率为________． (1)　(2)　[(1)由题意可知，所求概率P＝. (2)设Ai表示电影票被第i个人摸到，i＝1，2，3，则 P＝PPP＝.] 14．某医院为筛查某种疾病，需检验一项血液指标是否为阳性．已知10份血液样本中有3份阳性，按不放回抽样，每次抽一份，抽取两次，求： (1)两次都抽到阳性样本的概率； (2)第二次才抽到阳性样本的概率． [解]　(1)设A表示第一次抽到阳性样本，B表示第二次抽到阳性样本，则P(A)＝＝， 所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝，即两次都抽到阳性样本的概率为. (2)由(1)知P＝，又P＝，所以P＝PP＝，即第二次抽到阳性样本的概率为. 15．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，所有球的大小、形状完全相同． (1)从1号箱中不放回地依次取1个球，求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率； (2)若从1号箱中任取2个球放入2号箱中，再从2号箱中任取1个球，求取出的这个球是红球的概率． [解]　(1)设“从1号箱中第1次取得红球”为事件A，“从1号箱中第2次取得红球”为事件B， 则P， P， 所以第1次取得红球且第2次取得仍是红球的概率为. (2)设“从2号箱中任取1个球是红球”为事件C，“从1号箱中任取2个球都是红球”为事件B1，“从1号箱中任取2个球1个红球和1个白球”为事件B2，“从1号箱中任取2个球都是白球”为事件B3，则事件B1，B2，B3彼此互斥． P＝＝＝， P， P. 由概率的加法公式得P(C)＝P(B1C＋B2C＋B3C)＝P(B1C)＋P(B2C)＋P(B3C)＝P(B1)P(B1)＋P，所以取出的这个球是红球的概率为. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $