3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用，系统梳理二项式系数和为2ⁿ、奇偶项系数和相等的性质，杨辉三角的对称性与递推规律，以及求展开式系数和、最大项、整除问题等应用，构建从基础定理到性质探究再到实际应用的学习支架。 以杨辉三角的传统文化引入，引导学生用数学眼光发现历史成就中的数学美，培养创新意识。通过思考辨析、例题解析与跟进训练，结合赋值法、不等式组求最大项等方法，训练数学思维的逻辑推理与数学运算。配套问题情境图辅助理解，课中助力教师引导探究，课后学生可自主回顾练习，弥补知识盲点。

第2课时　二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用 1．了解杨辉三角，并探索其中的规律．(数学抽象) 2．掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用．(逻辑推理、数学运算) 3．通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，初步体会“数学的美”．(数学抽象) 我国古代数学的许多创新和发展都处于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如下数表所示的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数． (a＋b)0 1 (a＋b)1 1　1 (a＋b)2 1　2　1 (a＋b)3 1　3　3　1 (a＋b)4 1　4　6　4　1 (a＋b)5 1　5　10　10　5　1 问题：观察如上数表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？ [提示]　利用组合数性质＋＝观察二项式系数的性质． 知识点1　二项式系数的性质 ＋＋＋…＋＝2n． ＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n-1． 即①展开式的二项式系数的和等于2n． ②奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n-1． 知识点2　杨辉三角具有的性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1． (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． (3)利用二项式系数的对称性可知，二项式系数是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二项式的展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)． (　　) (2)二项式的展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和． (　　) (3)二项式的展开式中项的系数是先增后减的． (　　) (4)杨辉三角中每行两端的数都是1． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ [提示]　(1)二项式的展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项的其他数字因数的大小有关． (2)在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和． (3)二项式系数随n的增加先增后减，二项式项的系数和a，b的系数有关． (4)根据杨辉三角的特点可知正确． 2．在(a＋b)10的展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　) A．第8项　 B．第7项 C．第9项　 D．第10项 C　[由展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等知，C选项正确．] 3．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________． 1　64　[令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64．] 类型1　求展开式的系数和 【例1】　设(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 025的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 025的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|的值． [思路导引]　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解]　(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝(－1)2 025＝－1． ① (2)令x＝－1，得 a0－a1＋a2－…－a2 025＝32 025． ② ①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 025)＝－1－32 025， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝. (3)∵Tk＋1＝(－2x)k＝(2x)k， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 025| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＝32 025． 　1．解决二项式系数和问题的思维流程 2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． [跟进训练] 1．从①第5项的系数与第3项的系数之比是7∶6，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55这两个条件中任选一个，补充在下面横线处上，解决下面两个问题． 已知，且的二项展开式中，________． (1)求n的值； (2)求的值． [解]　(1)的展开式的通项为Tk＋1＝＝2n－kxn－k. 选择①，由题意可知，整理得n2－5n－50＝0，解得n＝10或n＝－5(舍去)． 选择②，由题意可知＋＝＋＝55，整理得n2＋n－110＝0，解得n＝10或n＝－11(舍去)． (2)由(1)知n＝10，则＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10， 则a0，a2，a4，a6，a8，a10大于零，a1，a3，a5，a7，a9小于零． 令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1＋， 所以＝310－1． 类型2　二项式系数的性质及应用 【例2】　已知n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [思路导引]　求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”． [解]　令x＝1，则二项式各项系数的和为4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992， ∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5． (1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T3＝3(3x2)2＝90x6， T4＝2(3x2)3＝. (2)展开式的通项为Tk＋1＝． 假设Tk＋1项系数最大，则有 ∴ ∴∴， ∵k∈N，∴k＝4．∴展开式中系数最大的项为T5＝(3x2)4＝. 　1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法求得． [跟进训练] 2．(源自湘教版教材)在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项． [解]　(1)二项式系数最大的项是第11项． T11＝310(－2)10x10y10＝610x10y10． (2)设系数绝对值最大的项是第k＋1项， 于是 化简得解得. 因为k∈N*，所以k＝8， 即T9＝31228x12y8是系数绝对值最大的项． (3)由于系数为正的项为奇数项，且第9项的系数的绝对值最大，所以T9＝31228x12y8是系数最大的项． 类型3　与“杨辉三角”有关的问题 【例3】　如图称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一． 杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，……，第10行有11个数． (1)求杨辉三角中第10行的各数之和； (2)求杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和． [解]　(1)杨辉三角中第10行的各数之和为＋＋＋…＋＝210＝1 024． (2)杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为＋＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝＝560． 　解决“杨辉三角”问题的一般方法 [跟进训练] 3．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3． 34　[由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以＝2∶3，即，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3．] 类型4　二项式定理的应用 【例4】　【链接教材P34例5】 求证：25n－1(n∈N*)能被31整除． [证明]　25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝×31n＋×31n-1＋…＋×31＋－1 ＝×31n-1＋×31n-2＋…＋， 显然×31n-1＋×31n-2＋…＋为整数， 所以原式能被31整除． 【教材原题P34例5】 例5　求证：9998－1能被100整除． [证明]　因为9998－1＝(100－1)98－1，由二项式定理可知 (100－1)98＝＋…＋1002(－1)96＋97＋(－1)98， 注意到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1，由此可知9998－1能被100整除． 　整除性问题或求余数问题的处理方法 (1)必须构造一个与题目条件有关的二项式． (2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了． [跟进训练] 4．已知1010＋a(0<a<11)能被11整除，则实数a的值为________． 10　[因为1010＋a＝(11－1)10＋a＝1110－119＋118－…－11＋1＋a能被11整除，且0<a<11，所以1＋a＝11，得a＝10．] 1．(教材P35习题3－3BT1改编)(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1　　　　B．－1　　　　C．215　　　　D．315 B　[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1．] 2．若(n∈N＋)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为(　　) A．210　　　　B．252　　　　C．462　　　　D．10 A　[由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为＝210．] 3．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________． －15　[令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1．① 又Tk＋1＝(－3)4-k(2x)k， ∴当k＝4时，x4的系数a4＝16．② 由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15．] 4．如图所示，满足如下条件： ①第n行首尾两数均为n； ②表中的递推关系类似“杨辉三角”． 则第10行的第2个数是________． 46　[由题图可知第10行的第2个数为(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．如何用赋值法求展开式的所有项或部分项的系数和？ [提示]　求展开式中的所有项或部分项的系数和的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握． 2．二项式定理的应用主要体现在哪些方面？ [提示]　对于二项式定理的应用主要体现在估算、证明及整除上，注意近似计算可用(1＋x)n≈1＋nx，具体情况视精确度而定． 课时分层作业(七)　二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用 一、选择题 1．已知(x－1)n的展开式的奇数项的二项式系数和是64，则n等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 C　[在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，所以2n-1＝64，所以n＝7．故选C．] 2．如果n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是(　　) A．0 B．256 C．64 D． D　[由已知得即5<n<7， 因为n∈N*，所以n＝6．令x＝1，则展开式中的所有项的系数之和为6＝.] 3．已知n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式中常数项为(　　) A．9 B．15 C．135 D．540 C　[由的展开式中所有二项式系数之和为64，得2n＝64，即n＝6， 所以Tk＋1＝，令6－k＝0，得k＝4， 所以展开式中常数项为＝135．故选C．] 4．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 A　[令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，所以a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2．] 5．(多选题)若，x∈R，则(　　) A．a1＋a2＋…＋a10＝1 B．＝310 C．a2＝160 D．＝－1 BD　[对选项A，＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， 令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1， 所以a1＋a2＋…＋a10＝0，故A错误； 对选B，因为＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， 所以表示的各项系数之和， 令x＝1，则＝310，故B正确； 对选项C，a2x2＝＝180x2，所以a2＝180，故C错误； 对选项D，因为＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，a0＝1， 令x＝，则＝0， 则＝－1，故D正确．故选BD．] 二、填空题 6．若n是正整数，则7n＋除以9的余数是________． 7或0　[＝(7＋1)n－＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n(－1)0＋9n-1(－1)1＋…＋90(－1)n－1，∴当n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7．] 7．在的展开式中，当a＝1时，则含x4的项的系数是________；若二项式系数的和与展开式中的常数项相等，则实数a＝________． 6　4　[当a＝1时，由二项式定理得： Tk＋1＝＝x12-4k， 令12－4k＝4，得k＝2，所以含x4的项的系数为＝6． 因为二项式系数的和为24＝16， Tk＋1＝＝a4-kx12-4k， 当k＝3时为常数项a＝24，得a＝4．] 8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5． 第0行 　…1 第1行 1　1 第2行 1　2　1 第3行 1　3　3　1 第4行 1　4　6　4　1 第5行 1　5　10　10　5　1 …　　 …　　 62　[根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k， 使得连续三项， 有且， 化简得， 联立解得k＝27，n＝62． 故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．] 三、解答题 9．已知 的展开式中____________，________．给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是1∶4；②各项系数之和为512；③第7项为常数项． 在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，回答下列问题． (1)求实数a的值和展开式中二项式系数最大的项； (2)求的展开式中的常数项． [解]　(1)由①可知，解得n＝9；由②得令x＝1得＝512；由③得＝a6xn-6-3，要使该项为常数，则n＝9；所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③； 该两种组合都会得到n＝9，所以＝512，解得a＝1． 所以二项式系数最大的项为或＝126x3． (2)由(1)可知n＝9，a＝1， 所以有， 所以常数项为－， 令＝0，解得m＝7，k＝6，所以常数项为－＝－48． 10．(多选题)关于3的展开式，下列结论正确的是(　　) A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0 C．常数项为－20 D．系数最大的项为第3项 BC　[3可以化为6，则6的展开式的通项为Tk＋1＝x6-kk＝(－1)kx6-2k，令6－2k＝0，则k＝3，所以展开式的常数项为(－1)3＝－20，故C正确；因为n＝6，则二项式系数最大的项为第4项，此时T4＝(－1)3x0＝－20＜0，所以系数最大的项为第3项与第5项，故D错误；展开式的二项式系数和为26＝64，故A错误；令x＝1，则展开式的各项系数和为(1－1)6＝0，故B正确．故选BC．] 11．(多选题)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的是(　　) A．a0＝1 B．a2＝－144 C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39 BCD　[由(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9， 当x＝1时，(2－3)9＝a0，a0＝－1，A选项错误； 当x＝2时，(4－3)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，即a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，C选项正确； 当x＝0时，(－3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，即a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，D选项正确； (2x－3)9＝，由二项式定理得a2＝(－1)9-222＝－144，B选项正确． 故选BCD．] 12．在(3x2－2x－1)5的展开式中，x2的系数为________． －25　[(法一：并项)(3x2－2x－1)5＝[3x2－(2x＋1)]5＝(3x2)5－(3x2)4×(2x＋1)＋…＋×3x2×(2x＋1)4－(2x＋1)5．由于x2的项仅在最后两项，因此展开式中x2的系数为×14－×22×13＝－25． (法二：多项式的乘积)(3x2－2x－1)5为5个因式(3x2－2x－1)的乘积．为得到含x2的项，可从这5个因式中选择1个因式选取3x2项，其余4个因式选取常数项，得x2的系数为×3×(－1)4＝15，或从5个因式中选择2个因式选取－2x项，其余3个因式选取常数项，得x2的系数为×(－2)2×(－1)3＝－40，故展开式中x2的系数为15＋(－40)＝－25．] 13．在的展开式中，所有项的系数之和为________，含x4的项的系数是________． －128　189　[令x＝1，得所有项的系数之和为＝－128． 的展开式的通项为 Tk＋1＝， 令7－k＝4，得k＝2，所以含x4的项的系数是＝189．] 14．在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解． 条件①：第3项与第7项的二项式系数相等； 条件②：只有第5项的二项式系数最大； 条件③：所有项的二项式系数的和为256． 问题：在(a>0)的展开式中，________． (1)求n的值； (2)若其展开式中的常数项为112，求其展开式中系数的绝对值最大的项． [解]　(1)选①＝，所以n＝2＋6＝8； 选②，第5项的二项式系数最大，所以＝4，解得n＝8； 选③，二项式系数的和为2n＝256，解得n＝8． (2)(a>0)的展开式的通项为 Tk＋1＝＝(－1)k 当8－k＝0时，k＝6，＝28a2＝112， 解得a2＝4，a＝2(负根舍去)． 假设第k＋1的系数的绝对值最大，则28-k≥29-k且28-k≥27-k， 解得2≤k≤3． 当k＝2时，T3＝， 当k＝3时，T4＝x4＝－1 792x4， 所以展开式中项的系数的绝对值最大的项为 或－1 792x4． 15．(多选题)将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和．如果n≥2(n∈N*)，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是(　　) 第0行 第1行 第2行 第3行 …　 … 第n行　 A．当n是偶数时，中间的一项取得最大值，当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B．第8行第2个数是 C．(r∈N，0≤r≤n) D．(r∈N，1≤r≤n) BC　[对于A，由题图知当n＝2时，中间的一项为，但<，当n＝3时，中间的两项相等，均为，但<，故A错误；对于B，第8行第2个数是，故B正确；对于C，＝，根据组合数的性质，该等式显然成立，故C正确；对于D，因为莱布尼茨三角形从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即≠(r∈N，1≤r≤n)，故D错误．故选BC．] 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $