3.3 第1课时 二项式定理-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“二项式定理”核心知识点，从摸球问题情境引入，通过计数原理证明定理，梳理二项式系数、通项公式等概念，构建从具体问题到抽象定理再到应用（展开式、特定项求解）的学习支架。 资料以情境探究和问题链驱动，通过摸球问题培养数学抽象，定理证明发展逻辑推理，例题练习强化数学运算。课中助力教师引导概念辨析，课后通过分层作业帮助学生查漏补缺，提升解决二项式相关问题的能力。

3.2　数学探究活动：生日悖论的解释与模拟(略) 3.3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 1．能用计数原理证明二项式定理．(数学抽象) 2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(数学运算) 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(逻辑推理、数学运算) 三个箱子均装着标有a，b字母的两个大小、形状一样的球，从每个箱子摸出一个球，共摸出3个球，有哪些可能结果？每一种结果有多少种情形？ 问题：类比上述结果你能联想出(a＋b)3的展开式的形式吗？ [提示]　(a＋b)3＝a3b0＋a2b＋ab2＋a0b3． 知识点　二项式定理及相关的概念 二项式定理 定义 公式(a＋b)n＝an＋an-1b＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N＋)称为二项式定理 二项式系数 (k＝0，1，2，…，n)称为第k＋1项的二项式系数 二项式通项 an－kbk是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝an－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋) 二项展开式 an＋an-1b＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N＋) (1)次数：各项的次数和都等于二项式的次数n； (2)顺序：字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 1．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？ [提示]　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． 2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式的第k＋1项是否相同？ [提示]　不同．(a＋b)n的展开式中第k＋1项为an－kbk，而(b＋a)n的展开式中第k＋1项为bn－kak. 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n的展开式中共有n项． (　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的展开式的二项式系数相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(x＋1)n的展开式共11项，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 B　[由n＋1＝11，可知n＝10．] 3．10的展开式中x6y4的系数是(　　) A．－840 B．840 C．210 D．－210 B　[在通项公式Tk＋1＝x10-kk中，令k＝4，得x6y4的系数为4＝840．] 4．的展开式中的常数项是________． －160　[展开式的通项为Tk＋1＝x3-k，令3－k＝0，所以k＝3，所以常数项为＝－160．] 类型1　二项式定理的正用、逆用 【例1】　【链接教材P31例1】 (1)写出的展开式． (2)化简：(x＋1)n－(x＋1)n-1＋(x＋1)n-2－…＋(x＋1)n－k＋…＋. [思路导引]　(1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开．(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解． [解]　(1)＝(2x)5＋(2x)4＋…＋ ＝32x5－120x2＋. (2)原式＝＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 【教材原题P31例1】 例1　写出(2－x)5的展开式． [解]　在二项式定理中令a＝2，b＝－x，n＝5，可得(2－x)5＝25＋24(－x)＋23(－x)2＋22(－x)3＋2(－x)4＋(－x)5 ＝32－80x＋80x2－40x3＋10x4－x5． 　运用二项式定理的解题策略 (1)展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件． (2)对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． (3)对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [跟进训练] 1．(源自湘教版教材)求4的展开式． [解]　4＝4＝(3x－1)4 ＝＋(3x)(－1)3＋(－1)4] ＝(81x4－108x3＋54x2－12x＋1) ＝81x2－108x＋54－. 类型2　二项式系数与项的系数问题 【例2】　(源自苏教版教材)在(1＋2x)7的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)含x3的项的系数． [思路导引]　展开式中某一项的系数与该项的二项式系数是两个不同的概念． [解]　(1)由二项式定理可知，在(1＋2x)7的展开式中，第4项的二项式系数为＝35． (2)由二项式定理可知，在(1＋2x)7的展开式中，第k＋1项为 Tk＋1＝17-k(2x)k＝2kxk. 当k＝3时，(1＋2x)7的展开式中含x3的项的系数为23＝280． 　求某项的二项式系数、系数或展开式中含xk的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者之间的区别． [跟进训练] 2．的展开式中x2y4的系数为(　　) A．270 B．135 C．－270 D．－135 B　[展开式第k＋1项为Tk＋1＝36-kx6-kyk， 则当k＝4时，T5＝32x2y4＝135x2y4，故选B．] 类型3　求展开式中的特定项 【例3】　【链接教材P32例2、例3】 已知n的展开式中，第3项的系数比第2项的系数大162． (1)求n的值； (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． [解]　(1)因为T3＝n-22＝， T2＝n-1＝， 依题意，得＝162， 所以＋＝81， 所以n2＝81，n＝9． (2)设第k＋1项含x3， 则Tk＋1＝9-kk＝， 所以＝3，解得k＝1， 所以第2项为含x3的项，T2＝－x3＝－18x3． 二项式系数为＝9． [母题探究] 1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求展开式的常数项． [解]　9的展开式的通项为Tk＋1＝由＝0，得k＝3． 所以展开式中的常数项为＝－672． 2．(变结论)在本例条件不变的情况下，求展开式的所有有理项． [解]　由题意可得 故k可取1，3，5，7，9． 故展开式的所有有理项为 T2＝x3＝－18x3； T4＝x0＝－672； T6＝x-3＝－4 032x-3； T8＝x-6＝－4 608x-6； T10＝x-9＝－512x-9． 【教材原题P32例2、例3】 例2　求9的展开式中含x3的项． [解]　因为9＝[x＋(－x-1)]9，所以展开式中的第k＋1项为 Tk＋1＝x9-k(－x-1)k＝x9－k－k＝ 要使此项含x3，必须有9－2k＝3，从而有k＝3，因此含x3的项为 T4＝x3＝－84x3． 例3　求6的展开式中常数项的值和对应的二项式系数． [解]　因为6＝6，所以展开式中的第k＋1项为 Tk＋1＝k＝＝26-kx3-k. 要得到常数项，必须有3－k＝0，从而有k＝3，因此常数项是第4项，且 T4＝26-3x3-3＝160． 从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为＝20． 　求展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)． (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解． (3)对于展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． [跟进训练] 3．的展开式中的常数项为(　　) A．240 B．－240 C．400 D．80 D　[的展开式的通项为Tk＋1＝26-kx6-3k， 令6－3k＝0，得k＝2，则的展开式中的常数项为26-2＝15×16＝240， 令6－3k＝－3，得k＝3，则的展开式中含x-3的项的系数为26-3＝－20×8＝－160， 所以的展开式中的常数项为240×1＋×1＝80．故选D．] 1．化简2＋22＋…＋210等于(　　) A．210－1 B．310－1 C．210＋1 D．310＋1 B　[由20＋2＋22＋…＋210＝(1＋2)10＝310， 得2＋22＋…＋210＝310－1．故选B．] 2．(教材P35习题3－3AT2改编)在的展开式中常数项是(　　) A．－28 B．－7 C．7 D．28 C　[＝，当8－k＝0，即k＝6时，T7＝＝7．] 3．在的展开式中，的系数为(　　) A．－30 B．－20 C．－10 D．30 C　[因为5，其中的展开式的通项为Tk＋1＝＝，所以原式的展开式中含的项为.所以的系数为－10．故选C．] 4．在9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________． 84　－　[9的展开式的通项为Tk＋1＝(x2)9-kk＝x18-3k，当k＝3时，T4＝x9，所以第4项的二项式系数为＝84，系数为－.] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．二项式定理有何特点？ [提示]　(a＋b)n的展开式的特点：(1)展开式共有n＋1项，各项中a，b的指数和都是n.(2)a按降幂排列，指数由n逐项减1直到0；b按升幂排列，指数由0逐项加1直到n.(3)展开式的通项公式中b的指数和组合数的上标相同． 2．二项展开式的通项公式有哪些方面的应用？ [提示]　二项展开式的通项公式体现了二项展开式的项数、系数、a与b的指数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大项等)及系数等方面有着广泛的应用． 课时分层作业(六)　二项式定理 一、选择题 1．已知 的展开式的第4项等于5，则x等于(　　) A． B．－ C．7 D．－7 B　[＝5，则x＝－.] 2．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(　　) A．x4 B．(x－1)4 C．(x＋1)4 D．x4－1 A　[(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝＋(x＋1)×(－1)3＋(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4．] 3．6的展开式中，无理项的项数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　[根据题意，6的展开式的通项为Tk＋1＝6-kk＝，0≤k≤6，k∈N，分析可得，当k＝0，2，4，6时，对应的项为有理项，即有4个有理项，而展开式共有7项， 故6的展开式中，无理项的项数为3．故选B．] 4．在4的展开式中，x3的系数为(　　) A．6 B．－6 C．12 D．－12 A　[(法一：公式法)4的展开式的通项Tk＋1＝x4-kk＝(k＝0，1，2，3，4)．由4－＝3，得k＝2，所以4的展开式中x3的系数为＝6． (法二：组合数法)4的展开式中含x3的项是由中任意取2个括号内的x与剩余的2个括号内的相乘得到的，所以4的展开式中含x3的项为2＝6x3，所以4的展开式中x3的系数为6．] 5．(多选题)6的展开式中(　　) A．有理项共有3项 B．常数项为第4项 C．整式共有3项 D．有理项共有4项 CD　[6的展开式的通项为Tk＋1＝． 令6－k为整数，解得k＝0，2，4，6，有理项共有4项，故A错误，D正确； 令6－k为非负整数，解得k＝0，2，4，整式共有3项，故C正确； 令6－k＝0，解得k＝4，常数项为第5项，故B错误．] 二、填空题 6．的展开式中常数项是________.(用数字作答) 240　[的展开式的通项为Tk＋1＝＝2kx12-3k，令12－3k＝0，解得k＝4，所以常数项为24＝240．] 7．(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6的展开式中，x3的系数是________． －34　[由题意得，x3的系数为＋(－1)3＝－4－10－20＝－34．] 8．设(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B．若B＝4A，则a的值是________． 2　[k＝(－a)k(－a)4，A＝(－a)2． ∵B＝4A，a>0， ∴a＝2．] 三、解答题 9．已知. (1)求展开式中的第6项； (2)求展开式中的第3项的系数； (3)求展开式中的含x9的项； (4)求展开式中的常数项． [解]　通项为Tk＋1＝＝x18-3k. (1)T6＝x3． (2)因为T3＝x12＝9x12，所以第3项的系数为9． (3)由18－3k＝9知，k＝3， 所以T4＝x9． (4)由18－3k＝0知，k＝6， 所以T7＝，即常数项为. 10．(3x－2)5的展开式中x2的系数为(　　) A．296　 B．－296 C．－1 864　 D．－1 376 C　[依题意，所求x2的系数为×33×(－2)2＝－720－64－1 080＝－1 864．故选C．] 11．(多选题)在24的展开式中，下列说法正确的是(　　) A．展开式中各项的通项为Tk＋1＝ B．展开式中各项的系数等于其二项式系数 C．x的幂指数是整数的项共有5项 D．展开式中存在常数项 ABC　[＝，A，B正确；当k分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项，C正确；展开式中不存在常数项，D错误．] 12．(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________．(用数字作答) －28　[因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为x3y5＝－28x2y6，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28．] 13．若的展开式中x3项的系数为－160，则a2＋b2的最小值为________． 4　[的展开式的通项为Tk＋1＝＝x12-3k， 令12－3k＝3，解得k＝3，故T4＝x3，所以＝－160， 解得ab＝2，所以a2＋b2≥2ab＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立， 故a2＋b2的最小值为4．] 14．请从下列两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． ①第2项与第3项的二项式系数之比是； ②第2项与第3项的系数之比的绝对值为. 已知n(n∈N*)的展开式中，________． (1)求展开式中的常数项，并指出是第几项； (2)求展开式中的所有有理项． [解]　(1)展开式的通项为Tk＋1＝(2x)n－kk＝． 选择条件①. 第2项与第3项的二项式系数分别为， 故， 所以， 解得n＝6， 故展开式的通项为Tk＋1＝． 当＝0，即k＝4时，常数项为T5＝(－1)4＝60，是第5项． 选择条件②. 第2项与第3项的系数分别为，则有，所以n＝6， 故展开式的通项为Tk＋1＝． 当＝0，即k＝4时，常数项为T5＝(－1)4＝60，是第5项． (2)由展开式的通项为Tk＋1＝，知要求有理项，则k＝0，2，4，6， 所以有理项为64x6，240x3，60，x-3． 15．已知f (x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*)． (1)若m＝3，n＝4，求f (x)g(x)的展开式含x2的项； (2)令h(x)＝f (x)＋g(x)，h(x)的展开式中x的系数为12，那么当m，n为何值时，x2的系数取得最小值？ [解]　(1)当m＝3，n＝4时， f (x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4． (1＋x)3展开式的通项为Tk＋1＝xk， (1＋2x)4展开式的通项为Tr＋1＝(2x)r， f (x)g(x)的展开式中含x2的项为 (2x)2＋(2x)＋x2×1＝51x2． (2)h(x)＝f (x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n. 因为h(x)的展开式中x的系数为12， 所以＝12，即m＋2n＝12， 所以m＝12－2n. x2的系数为＝ ＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1) ＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N*， 所以当n＝3，m＝6时，x2的系数取得最小值． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $