3.1.3 第2课时 组合数的性质及应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦组合数的性质及应用核心知识点，前承组合定义与组合数计算，后接有限制条件的组合问题（含“含”“不含”“至多”“至少”）和分组分配问题，构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 以神舟十七号航天员安排等现实情境引入，通过分类讨论、间接法等培养逻辑推理能力，结合分组分配问题步骤化讲解提升数学运算素养。链接教材原题并设分层作业，课中助力教师高效授课，课后方便学生回顾强化，弥补知识盲点。

第2课时　组合数的性质及应用 1．进一步理解组合的定义，理解组合数的两个性质．(数学运算) 2．能解决含有限制条件的组合问题，掌握常见的类型及解决策略．(逻辑推理) 3．能解决简单的排列、组合的综合问题．(逻辑推理) 神舟十七号航天员乘组在载人飞船与空间站组合体成功实现对接后，从飞船返回舱进入轨道舱，并与神舟十六号航天员乘组“胜利会师”．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验． 问题：满足上述条件的不同安排方案有多少种？ [提示]　要安排甲、乙、丙、丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有＝60(种)方案；若甲、乙两人同时在天和核心舱，则有＝12(种)方案；若甲、乙两人同时在问天实验舱，则有＝4(种)方案，所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则有60－12－4＝44(种)不同安排方案． 知识点　组合数的性质 ． ． ．＋ ． 性质1：“互补性”，即等式两边下标相同，上标的和等于下标． 性质2：等式左侧下标相同，上标差1；右侧下标为左侧下标加1，上标取左侧上标较大的． 1．若＝，则x的值为(　　) A．2 B．4 C．0 D．2或4 D　[由＝可知x＝2或x＝6－2＝4．故选D．] 2．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 C　[] 3．已知－＝，则n的值为________． 14　[根据题意－＝， 变形可得＝＋， 由组合数的性质，可得 ＝，故8＋7＝n＋1， 解得n＝14．] 类型1　组合数的性质 【例1】　计算：＋； ＋＋＋＋＋； (n＞0，n∈N＋)． [解]　(1)原式＝＋＝56＋4 950＝5 006． (2)原式＝＋＋＝＋＝2×＝32． (3)原式＝＝(n＋1)n＝n2＋n. 　性质“＝”的意义及作用 [跟进训练] 1．(1)化简：－＋＝________； (2)已知，则m＝________． (1)0　(2)2　[(1)原式＝＋－＝－＝0． (2)根据组合数公式化简，可得 ＝， 化简整理得m2－13m＋22＝0， 解得m＝2或m＝11， 又0≤m≤4，m∈Z， 所以m＝2．] 类型2　有限制条件的组合问题 【例2】　【链接教材P20例4】 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，现从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ [思路导引]　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼的含义，使用两个计数原理解决． [解]　(1)从余下的34名学生中选取2名， 有＝561(种)． 所以不同的选法有561种． (2)从34名可选学生中选取3名，有＝5 984(种)． 或者－＝＝5 984(种)． 所以不同的选法有5 984种． (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有＝2 100(种)． 所以不同的选法有2 100种． (4)选取2名女生有种，选取3名女生有种，选取方法共有N＝＋＝2 100＋455＝2 555(种)． 所以不同的选法有2 555种． (5)选取3名的总数有，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝－＝6 545－455＝6 090(种)． 所以不同的选法有6 090种． 【教材原题P20例4】 例4　现有30件分别标有不同编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件： (1)一共有多少种不同的取法？ (2)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？ (3)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？ [解]　(1)所求的取法总数，就是从30件产品中取出3件的组合数 ＝4 060． (2)抽取可以分成两步完成：第一步，在2件次品中取出1件，有种方法；第二步，在28件合格品中取出2件，有种方法．因此取法种数为 ＝756． (3)满足条件的取法可以分成两类：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法． 恰有1件次品的取法有种，恰有2件次品的取法有种． 因此取法种数为 ＋＋1×28＝784． 　有限制条件的两类组合问题 (1)“含”与“不含”问题，常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路．一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 提醒：正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键． [跟进训练] 2．某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴上海参加研讨会，其中这10名医疗专家中有4名是内科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是内科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名内科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名内科专家的抽调方法有多少种？ [解]　(1)分步：首先从4名内科专家中任选2名，有种选法，再从除内科专家的6人中选取4人，有种选法，所以共有＝90(种)抽调方法． (2)(法一)按选取的内科专家的人数分类： ①选2名内科专家，共有种选法； ②选3名内科专家，共有种选法； ③选4名内科专家，共有种选法． 根据分类加法计数原理，共有＋＋＝185(种)抽调方法． (法二)不考虑是否有内科专家，共有种选法，考虑选取1名内科专家参加，有种选法；没有内科专家参加，有种选法，所以共有－－＝185(种)抽调方法． (3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答． ①没有内科专家参加，有种选法； ②有1名内科专家参加，有种选法； ③有2名内科专家参加，有种选法． 所以共有＋＋＝115(种)抽调方法． 类型3　分组分配问题 【例3】　【链接教材P20例5】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． [思路导引]　(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取．(2)是“均匀分组问题”．(3)是分组问题，分三步进行．(4)分组后再分配．(5)明确“至少一本”包括“2，2，2型”“1，2，3型”“1，1，4型”． [解]　(1)根据分步乘法计数原理得到＝90(种)． (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三人有种方法．根据分步乘法计数原理可得：，所以x＝＝15．因此分为三份，每份两本一共有15种方法． (3)这是“不均匀分组”问题，一共有＝60(种)方法． (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有＝360(种)方法． (5)可以分为三类情况：①“2，2，2型”即(1)中的分配情况，有＝90(种)方法；②“1，2，3型”即(4)中的分配情况，有＝360(种)方法；③“1，1，4型”，有＝90(种)方法．所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法． 【教材原题P20例5】 例5　要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学： (1)如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？ (2)如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种？ [解]　(1)要完成分配任务，可以分为三步：第一步，分给甲3本书，有种方法；第二步，分给乙3本书，因为只能在剩下的6本书里选，所以有种方法；第三步，分给丙3本书，因为只能在剩下的3本书里选，所以有种方法．因此共有不同的分法数为 ×1＝1 680． (2)要完成分配任务，可以分为两步：第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，有种方法；第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有种方法．因此共有不同的分法数为 ×1×3×2×1＝7 560． 　常见的三种分组问题 (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等． (2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！. (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． [跟进训练] 3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．(用数字作答) 36　[分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有种．所以满足条件的分配方案有＝36(种)．] 1．(多选题)(教材P23练习BT2改编)对于n∈N*，若＝，则n的值可以为(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 AB　[因为＝，所以n＋1＝2n－1或n＋1＋2n－1＝9，解得n＝2或n＝3．] 2．(多选题)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动．若选出的4人中既有男生又有女生，则(　　) A．若选1男3女有4种选法 B．若选2男2女有18种选法 C．若选3男1女有16种选法 D．共有34种不同的选法 ABD　[若选1男3女有＝4(种)选法；若选2男2女有＝18(种)选法；若选3男1女有＝12(种)选法，所以共有4＋18＋12＝34(种)不同的选法．] 3．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种．(用数字作答) 64　[(法一)由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案．综上，不同的选课方案共有＝64(种)． (法二)若学生从这8门课中选修2门课，则有＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)．] 4．(教材P23练习BT3改编＋＋＋…＋的值等于________． 7 315　[原式＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＝＝＝7 315．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．解决有限制条件的组合问题常用方法有哪些？ [提示]　直接法、间接法． 2．解决有限制条件的组合问题的原则是什么？ [提示]　先特殊后一般，先选后排，先分类后分步． 3．“分组”问题与“分配”问题是一回事吗？ [提示]　不是，分组属于组合问题，分配属于排列问题． 中国古代的排列组合 我国古代有许多与排列组合有关的有趣例子． 古老的《周易》中有一种叫作“易卦”的图形．它是由两种不同的线条每次取6条由下至上重叠而成(如图①)，连续的线条叫作阳爻，断开的线条叫作阴爻，阳爻与阴爻统称为爻．每一个易卦都由6个爻组成，每一爻都有取阳爻或取阴爻两种方法．所以，易卦共有2×2×2×2×2×2＝26＝64(个)． 《史记》里记载了一个“田忌赛马”的故事．齐王经常和他的大臣田忌赛马，双方各有上马、中马、下马一匹，每次比赛时三匹马各出场一次，一对一地进行比赛，共赛三场，每场赌注为一千金．田忌的马与齐王的马相比略有逊色．田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马和下马；田忌的中马不敌齐王的上马和中马，但胜过齐王的下马．开始，田忌总是用自己的上马、中马和下马分别去对齐王的上马、中马和下马，屡战屡败．后来田忌的谋士孙膑分析了比赛共有3！＝6(种)可能的结果，其中只有一种对田忌有利．于是孙膑让田忌用下马对齐王的上马，用中马对齐王的下马，用上马对齐王的中马，结果两胜一负，反而赢得一千金． 唐代科学家僧一行(683—727)和宋代科学家沈括(1031—1095)都曾经讨论过围棋可能出现的局势总数问题，其结果是一个天文数字．围棋盘纵横各有19路，共19×19＝361(个)格．每个格点都有“黑子”“白子”“无子”3种可能，因而有3361种不同的棋局．当然这只是理论上的，有些棋局不合棋理，不大可能出现在实际对弈中．但世事无绝对，图②展现的人工智能程序AlphaGo与人对弈的一盘棋，它的很多下法让专业棋手大吃一惊．这说明在“大数据”面前，人类的计算力处于劣势，因此不能仅凭经验去否定掉一些看似价值不大的数据． 课时分层作业(五)　组合数的性质及应用 一、选择题 1．方程＝的解为(　　) A．1，3 B．3，5 C．1，－7 D．5，－7 A　[因为Cx2－x16＝，所以x2－x＝5x－5 ①，或(x2－x)＋(5x－5)＝16 ②，解①可得x＝1或x＝5(舍)，解②可得x＝3或x＝－7(舍)，所以该方程的解是1，3．] 2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　) A．14 B．24 C．28 D．48 A　[用间接法得不同选法有－1＝14(种)，故选A．] 3．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(　　) 种 种 种 种 D　[每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有种选法；第二步，选男工，有种选法．故共有种不同的选法．] 4．(多选题)下列结论正确的是(　　) ＋＋＋…＋＝ －＋＝0 ＋＝2 ACD　[＝280，故A正确；＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝，故B错误；－＋＝＋－＝－＝0，故C正确；对于D，n应满足解得n＝2，所以＋＝＋＝2，故D正确．] 5．三名同学到五个社区参加社会实践活动，要求每个社区有且只有一名同学，每名同学至多去两个社区，则不同的派法共有(　　) A．90种 B．180种 C．125种 D．243种 A　[由题可把五个社区分为1，2，2三组，有＝15(种)分法， 然后将三组看作三个不同元素进行全排列，有种排法， 所以不同的派法共有＝90(种)．故选A．] 二、填空题 6．计算：＋＋＋…＋＝________． 124　[由题意，得n需满足即所以n＝6， 原式＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＋－ ＝－＝124．] 7．3个大人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船最多装3人，2号船最多装2人，3号船最多装1人，可从中任选2只或3只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有________种不同的分乘方法． 27　[选2只船游玩，1号船坐2大人，1小孩有；1号船坐1大人，2小孩有.选3只船游玩，每只船各坐1大人，1号船坐1小孩有；每只船各坐1大人，1号船坐2小孩有，由分类加法计数原理得不同的分乘方法种数是＝27．] 8．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种． 180　[6位游客选2人去A风景区，有种，余下4位游客选2人去B风景区，有种，余下2人去C，D风景区，有种，所以分配方案共有＝180(种)．] 三、解答题 9．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球． (1)现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数． (2)若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E不相邻，则有多少种不同的排法？ (3)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？ [解]　(1)将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，摸出的3个球中全是红球的不同摸法有 种，则摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为＝9(种)． (2)先把A安放在中间位置，从A中的两侧各选一个位置插入D，E，其余小球任意排列，方法有＝16(种)． (3)先把5个小球分成3组，再放入3个盒子中， 若按3个盒子分别3，1，1个小球分配，有＝60(种)． 若按3个盒子分别2，2，1个小球分配，有＝90(种)． 故共有60＋90＝150(种)． 10．《数术记遗》是我国古代的一部数学著作，该书记述了筹算、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算等十三种计算器械的使用方法．某研究性学习小组的6人(4男2女)分成两组，分别收集整理八卦算、九宫算的相关资料．若两个女生不单独成组，且每组至多4人，则不同的分配方法共有(　　) A．20种 B．24种 C．28种 D．48种 D　[①分3，3的两组时，不会出现两个女生单独成组的情况，有 种分组方法，再对应到八卦算、九宫算的收集整理，有种情况，此时共有＝20(种)安排方式；②分2，4的两组时，有＝15(种)分组方法，除去1种两个女生单独成组的情况，则有种14种符合条件的分组方法，再对应到八卦算、九宫算的收集整理，有种情况，此时共有＝28(种)安排方式．综上，共有20＋28＝48(种)安排方式．故选D．] 11．(多选题)将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是(　　) A．共有＝24(种)放法 B．恰好有一个空盒，有＝144(种)放法 C．每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有＝24(种)放法 D．把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有＝12(种)放法 BD　[将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(种)放法，A项错误； 恰好有一个空盒，分三步进行：第一步选择一个空盒，有＝4(种)方法；第二步4个小球中选择两个小球进行捆绑，有＝6(种)方法；第三步将球放入三个盒子中，有＝6(种)放法，则有＝144(种)放法，B项正确； 每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，分2步进行：第一步先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有＝4(种)情况，假设4号球放在4号盒子里，其余三个球的放法为共2种，则有恰好有一个球的编号与盒子的编号相同的放法有4×2＝8(种)，C项错误； 把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，分2步进行：第一步从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，有＝4(种)选法，再将其余3个盒子装球，3个盒子分别装2，1，1个球，只要选一个盒子装2个球，另外2个盒子一定是每个装一个球，有＝3(种)选法，所以总方法数为＝12(种)，D项正确．故选BD．] 12．如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有________个． 312　[有一个点在圆内的有＝248(个)，有两个点在圆内的有＝60(个)，有三个点在圆内的有＝4(个)．所以共有248＋60＋4＝312(个)．] 13．在一次去敬老院献爱心活动中，有甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加，若将这五位同学分到三个不同的敬老院，且每个敬老院至少一名同学，则共有______种不同的安排方法；若除这5位同学外还有一名带队老师参加这次活动，在活动中同学比老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为实话，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为________种． 150　48　[当按2，2，1分组时，有＝90(种)不同的安排方法； 当按3，1，1分组时，有＝60(种)不同的安排方法，所以共有90＋60＝150(种)不同的安排方法． 按乙到达的名次顺序分类： 乙第二个到达有＝4(种)； 乙第三个到达有＝8(种)； 乙第四个到达有＝12(种)； 乙最后到达有＝24(种)， 所以共有4＋8＋12＋24＝48(种)．] 14．(源自人教A版教材)在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ [解]　(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为＝161 700． (2)从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为＝9 506． (3)(法一)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为＋＝9 506＋98＝9 604． (法二)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即－＝161 700－＝9 604． 15．规定，其中x∈R，m是正整数，且＝1，这是组合数(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广． (1)求的值． (2)组合数的两个性质：①＝＋＝是否都能推广到(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给出证明，若不能，说明理由． [解]　＝ ＝－＝－11 628． (2)性质①不能推广，例如当x＝时， 有意义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是 ＋＝，x∈R，m为正整数． 证明：当m＝1时，有＋＝x＋1＝； 当m≥2时＋ ＝＋ ＝ ＝＝. 综上，性质②的推广得证． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $