3.1.3 第1课时 组合与组合数-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦组合与组合数核心知识点，先通过对比排列概念引出组合的无序性本质，系统讲解组合的概念、组合数公式及推导过程，构建从排列到组合的计数知识体系，为解决无序选取问题提供学习支架。 以高考选科情境引入激发兴趣，通过对比辨析排列与组合的异同培养数学思维，结合球队比赛、选代表等实例强化数学应用意识。分层作业设计兼顾基础与提升，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识查漏补缺。

3.1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 1．理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(数学抽象) 2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(数学运算) 高考改革之后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学这6大科目是选考的，如果考生任选3科作为自己的考试科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况？ 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有几种？ [提示]　选物理不选历史和选历史不选物理分别有6种，6种．(这几个问题都与顺序无关，学完本节内容便能顺利求解) 知识点1　组合的概念 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 1．组合的特点：组合要求n个对象是不同的，取出的m个对象也是不同的，即从n个不同对象中取出m个不同对象． 2．组合的特征：对象的无序性．取出的m个对象不讲究顺序，即对象没有位置的要求． 排列与组合的异同 排列 组合 相同点 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象 不同点 按照一定的顺序排成一列 不管顺序地并成一组 知识点2　组合数的概念、公式 定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数 表示 (n∈N*，m∈N，且m≤n)，规定＝1 组合数公式 乘积式 ＝＝ 阶乘式 ＝ “组合”与“组合数”是同一个概念吗？ [提示]　同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．例如，从3个不同对象a，b，c中每次取出2个对象的所有组合为ab，ac，bc，共3种，其中每一种情况都是一个组合，而组合数是3． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同． (　　) (2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题． (　　) (3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ ．＝－＝________． (1)15　(2)9　[＝15． －＝12－3＝9．] 3．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________． ab，ac，ad，bc，bd，cd　[可按a→b→c→d顺序写出，即 所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.] 类型1　组合的概念 【例1】　判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ [思路导引]　要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关． [解]　(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别． (2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，有顺序的区别． (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表有顺序的区别． 　判断一个问题是不是组合问题的方法技巧 区分排列与组合的关键是看结果是否与对象的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题． [跟进训练] 1．判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？ [解]　(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关． (2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的． (3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序． 类型2　组合数公式的应用 【例2】　【链接教材P18例2】 (1)若，则m＝(　　) A．7　　　　B．6　　　　C．5　　　　D．4 (2)已知，则＝________． (1)D　(2)28　[(1)因为，所以(m－1)(m－2)＝6×，且m≥4， 解得m＝4或m＝－1(舍去)．故选D． (2)因为，所以，可化为1－，m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2，所以＝＝28．] 【教材原题P18例2】 例2　计算： ＋； －. [解]　＋＝35＋35＝70． －×1－1＝252－1＝251． 　关于组合数计算公式的选取 (1)涉及具体数字的可以直接用公式计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式计算． [跟进训练] 2．(1)计算：－； (2)求证：. [解]　－－7×6×5＝210－210＝0． (2)证明：右边＝＝＝左边，即等式成立． 类型3　简单的组合问题 【例3】　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ [解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即＝45(种)． (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有种方法； 第2类，选出的2名是女教师有种方法． 根据分类加法计数原理，共有＋＝15＋6＝21(种)不同选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法＝15×6＝90(种)． [母题探究] (变结论)本例的条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？ [解]　至少有1名男教师可分两类：1男1女有种，2男0女有种， 由分类加法计数原理知有＋＝39(种)． 最多有1名男教师包括两类：1男1女有种，0男2女有种， 由分类加法计数原理知有＋＝30(种)． 　解简单的组合应用题的策略 要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用． 提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． [跟进训练] 3．(源自湘教版教材)从4台标清彩电和5台高清彩电中选购3台，要求至少有标清彩电与高清彩电各1台，共有多少种不同的选法？ [解]　选法可分为两类： 第一类，从4台标清彩电中选1台，从5台高清彩电中选2台，共有种不同的选法； 第二类，从4台标清彩电中选2台，从5台高清彩电中选1台，共有种不同的选法． 根据分类加法计数原理，共有 ＋＝4×10＋6×5＝70(种)不同的选法． 1．下列问题属于组合问题的是(　　) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 C　[A，B，D项均为排列问题，只有C项是组合问题．] 2．可表示为(　　) D　[＝.] 3．若，则n＝________． 3　[由，得2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝120×， 即n2－2n－3＝0，解得n＝－1或n＝3， 因为n≥2，所以n＝3．] 4．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同的选法． 84　[由题意可知共有＝84(种)．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 试比较排列与组合的区别与联系． [提示]　 名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复 不同点 1．排列与顺序有关． 2．两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 1．组合与顺序无关． 2．两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 联系 ＝ 课时分层作业(四)　组合与组合数 一、选择题 1．以下四个命题，属于组合问题的是(　　) A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任意选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 C　[从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．] 2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) 种 种 种 种 D　[根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取60×＝40(人)，高中部共抽取60×＝20(人)，所以不同的抽样结果共有种．故选D．] 3．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为(　　) －－ ＋＋ C　[任选4人的方法数为，减去其中全部为男生或全部为女生的方法数＋，故选法总数应为－－.] 4．若，则m等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 C　[由已知得m(m－1)(m－2)＝6×，解得m＝7．] 5．现安排5名工作人员去A，B等4个场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为(　　) A．48 B．60 C．120 D．240 B　[分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果；第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为＝60．故选B．] 二、填空题 6．已知，则正整数n的值是________． 9　[由，得，即，即， 所以，化简可得n2－3n－54＝0，解得n＝9(负值舍去)．] 7．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个． 10　[从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有＝10(个)子集．] 8.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答) 210　[从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有＝210(种)分法．] 三、解答题 9．(源自苏教版教材)房间里有5盏电灯，分别由5个开关控制，至少开1盏灯用以照明，有多少种不同的方法？ [解]　(法一)因为开灯照明，与开灯的先后顺序无关，而只与开灯的多少有关，所以可分成开1盏、2盏……5盏灯五种情况． 开1盏灯有种方法，开2盏灯有种方法……5盏灯全开有种方法．根据分类加法计数原理，不同的开灯方法有＋＋…＋＝31(种)． (法二)因为对任何1盏电灯都有“开”或“不开”两种处理方法，所以开灯照明这件事可分成对每盏灯逐个处理的5个步骤来进行． 根据分步乘法计数原理，5盏电灯就有2×2×2×2×2＝25种处理方法，其中1盏都不开的情况应除外．所以不同的开灯方法有2×2×2×2×2－1＝25－1＝31(种)． 10．将标号为A，B，C，D，E，F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A，B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有(　　) A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 B　[由题意，不同的放法共有＝18(种)．] 11．(多选题)如图，小明、小红分别从街道的E，F处出发，到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则下列说法正确的是(　　) A．小红到老年公寓的最短路径条数为3 B．小明到老年公寓的最短路径条数为35 C．小明不经过F处到老年公寓的最短路径条数为32 D．若小明先到F处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓的最短路径条数为18 ABD　[要使小明、小红到老年公寓的路径最短，则小明、小红只能向上或向右移动．对于A，小红到老年公寓需要向上移动1格、向右移动2格，所以最短路径条数为＝3，故A正确；对于B，小明到老年公寓需要向上移动3格、向右移动4格，所以最短路径条数为＝35，故B正确；对于D，小明到F处的最短路径条数为＝6，再从F处和小红一起到老年公寓的最短路径有3条，所以小明到F处和小红会合后再一起到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18，故D正确；对于C，结合选项B，D，可知小明不经过F处到老年公寓的最短路径条数为35－18＝17，故C错误．故选ABD．] 12．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种． 96　[甲选2门有种选法，乙选3门有种选法，丙选3门有种选法，所以共有＝96(种)选法．] 13．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________． 6　[∵1≤m<n≤5，∴可以是，其中＝＝＝＝，∴方程x2＋y2＝1能表示的不同椭圆有6个．] 14．若＝4，求n的值． [解]　原方程可化为20×＝4(n＋4)×＋15(n＋3)(n＋2)， 即 ＝ 所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90， 即5(n＋4)(n＋1)＝90， 所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7． 注意到n≥1且n∈N*，所以n＝2． 15．在A，B，C，D四位候选人中． (1)如果选正、副班长各一人，共有多少种选法？写出所有可能的选举结果． (2)如果选两人负责班级工作，共有多少种选法？写出所有可能的结果． (3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数与组合数间的等量关系吗？ [解]　(1)从四位候选人中选正、副班长各一人是排列问题，有＝12(种)选法，所有可能的结果为：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC． (2)从四位候选人中选两人负责班级工作是组合问题，有＝6(种)选法，所有可能的结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD． (3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应个排列，即＝.类比可知，从n个不同对象中选出m个对象的排列数与组合数间的等量关系为＝. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $