3.1.2 第1课时 排列与排列数-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“排列与排列数”核心知识点，从师生合影排队等生活实例引入排列概念，明确排列与排列数的区别，系统讲解排列数公式（乘积式、阶乘式）及应用条件，通过思考辨析、例题解析和分层练习构建学习支架，帮助学生逐步深化理解。 资料以生活实例激发学习兴趣，通过“思考辨析”环节引导学生抽象排列本质培养数学抽象能力，利用树形图辅助排列列举过程发展逻辑推理，设计不同梯度练习题提升数学运算能力。课中助力教师高效引导概念建构，课后学生可借助资料回顾公式推导、练习典型例题，有效查漏补缺。

3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(数学抽象) 2．会用排列数公式进行求值和证明．(逻辑推理、数学运算) 在数学竞赛颁奖仪式上，老师和甲、乙两名特等奖获得者合影留念，师生三人站成一排，老师站在正中间． 问题：(1)甲在左边和乙在左边是相同的排列吗？ [提示]　不是． (2)有几种排法？ [提示]　2种． 知识点1　排列的概念 (1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． (2)特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 1．两个排列相同的条件是什么？ [提示]　两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同． 知识点2　排列数及排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数的表示 排列数公式 乘积式 ＝n(n－1)…(n－m＋1) 阶乘式 ＝ 阶乘 ＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1＝1 性质 排列数公式的特征： (1)是m个连续正整数的乘积． (2)最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1． (3)m，n∈N*，m≤n，当m>n时不成立． 2．排列与排列数有何区别？ [提示]　“排列”是指从n个不同对象中任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，是一个数． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列． (　　) (2)从6名学生中选3名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题． (　　) (3)有12名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题． (　　) (4)从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题． (　　) (5)从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ [提示]　(1)因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同． (2)因为3名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题． (3)因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)因为任取的两个数进行指数运算，底数不同，指数不同，结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题． 2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A B C． D． C　[] 3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有________ 种． 6　[由排列的定义可知，共有＝3×2×1＝6(种)排列方法．] 类型1　排列的概念 【例1】　判断下列问题是否为排列问题． (1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格有多少种(假设来回的票价相同)? (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ (4)从10名同学中任选2名同学去学校参加座谈会，有多少种不同的选取方法？ (5)有红球、黄球、白球各一个，现从这3个小球中任取2个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的方法？ [思路导引]　与“顺序”有关的是排列问题，与“顺序”无关的不是排列问题． [解]　(1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的两个数做加法时，与两个数的位置无关，所以不是排列问题． (2)不是．因为票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (3)是．因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． (4)不是．因为从10名同学中选取2名同学去学校参加座谈会，不需要考虑2个人的顺序，所以不是排列问题． (5)是．任取2个球分别放入甲、乙两个盒子里，是有顺序的，所以是排列问题． 　1．解决排列问题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”． 2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． [跟进训练] 1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和；②相除可得多少个不同的商；③作为椭圆＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程；④作为双曲线＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程．这四个问题中属于排列问题的是________．(填序号) ②④　[因为加法运算满足交换律，所以①不是排列问题；因为除法运算不满足交换律，如≠，所以②是排列问题；若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小一定，故③不是排列问题； 在双曲线＝1中不管a>b，还是a<b，均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，④是排列问题．] 类型2　排列的列举问题 【例2】　【链接教材P10例1】 写出下列问题的所有排列． (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． [思路导引]　(1)直接列举数字． (2)先画树形图，再结合树形图写出所有情况． [解]　(1)所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数． (2)由题意作树形图，如图． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个． 【教材原题P10例1】 例1　求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列． [解]　所求排列数为＝3×2×1＝6． 所有的排列可用图3-1-7表示． 由图3-1-7可知，所有排列为ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA． 　在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，最后按树形图写出排列． [跟进训练] 2．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票． (2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________种不同的排列方法． (1)12　(2)14　[(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有： 北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种． (2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图． 所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种．] 类型3　排列数的计算、化简与证明 【例3】　【链接教材P11例2】 (1)计算：； (2)求中的x. [解]　(1)(法一). (法二). (2)原方程可化为 ， 即，化简， 得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13． 由题意知解得1≤x≤8． 所以原方程的解为x＝6． 【教材原题P11例2】 例2　求证：＝. [证明]　由排列数公式可知 ＝ ＝ ＝＝. 　1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． 2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量. [跟进训练] 3．(1)(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋，且n＜55)用排列数可表示为________． (2)不等式的解集为________． 　(2){2，3，4，5，6，7}　[(1)由(69－n)－(55－n)＋1＝15可知，(55－n)(56－n)…(69－n)＝. (2)原不等式可化为＞， 化简得x2－21x＋104＞0，解得x＜8或x＞13． 又 得2≤x≤9且x∈N， 所以2≤x<8且x∈N， 所以原不等式的解集为{2，3，4，5，6，7}．] 1．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A．6 B．4 C．8 D．10 B　[列树形图如下： 故所求排列种数共4种．] 2．已知下列问题： ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组； ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动； ③从a，b，c，d四个字母中取出两个字母； ④从1，2，3，4四个数字中取出两个数字组成一个两位数． 其中是排列问题的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　[①是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排列．] 3．若，则n＝(　　) A．1 B．8 C．9 D．10 B　[由，得2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)， 又n≥3，n∈N*，所以2(2n－1)＝5(n－2)，解得n＝8，所以正整数n为8．故选B．] 4．若＝16×15×14×…×4，则正整数m＝________． 13　[由排列数的计算公式，可得＝16×15×…×(16－m＋1)， 因为＝16×15×14×…×4，所以16－m＋1＝4，解得m＝13．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．如何判断一个问题是否为排列问题？ [提示]　判断一个问题是否为排列问题的关键是看该问题中的元素是否与顺序有关，有关为排列问题，否则，不是排列问题． 2．你是如何理解排列数公式的？ [提示]　排列数公式＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适合已知m的排列数计算，而常用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．求解时务必注意隐含条件：n，m∈N＋，m≤n. 课时分层作业(二)　排列与排列数 一、选择题 1．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有(　　) A．180种 B．360种 C．15种 D．30种 B　[由排列定义知选派方案有＝6×5×4×3＝360(种)．] 2．计算＝(　　) A．12 B．24 C．30 D．36 D　[原式＝＝7×6－6＝36．] 3．下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作logab中的底数与真数． A．①④ B．①② C．④ D．①③④ A　[根据排列的概念知①④是排列问题．] 4．不等式－n<7的解集为(　　) A．{n|－1<n<5} B．{1，2，3，4} C．{3，4} D．{4} C　[由－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1<n<5．又因为n∈N＋，且n－1≥2，所以n＝3，4．故选C．] 5．(多选题)下列各式中与排列数一定相等的是(　　) A． B．n(n－1)(n－2)…(n－m) C． D． AD　[易知A正确；对于B，n(n－1)(n－2)…(n－m)＝与不一定相等，B错误；对于C，，C错误；对于＝，D正确．故选AD．] 二、填空题 6．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同排列． 12　[画出树形图(图略)，可知共12个．] 7．集合P＝{x|x＝，m∈N＋}，则集合P中共有______个元素． 3　[因为m∈N＋，且m≤4，所以P中的元素为＝＝24，即集合P中有3个元素．] 8．某项目要安排5名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆，且每个场馆只能安排一名志愿者，则不同的分配方法有________种． 120　[从5名志愿者中选4人到4个不同场馆的排列有＝120(种)．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)计算： ；；(3)；. [解]　＝7×6×5＝210． ＝7×6×5×4＝840． (3)＝7×6×5＝210． ＝6×5×4×3×2×1＝6！＝720． 10．(多选题)下列选项中正确的是(　　) A．n！＝ AB　[∵＝n！，∴A正确； ∵＝，∴B正确；∵，∴C错误； ∵，∴D错误．故选AB．] 11．若S＝1！＋2！＋3！＋…＋2 026！，则S的个位数是(　　) A．0 B．3 C．5 D．9 B　[因为1！＝1，2！＝2，3！＝6，4！＝24．而5！＝120，其个位数是0，6！＝720，其个位数为0，…，2 026! 的个位数也是0，所以S的个位数就是1！＋2！＋3！＋4！的个位数．因为1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24＝33，所以S的个位数是3．] ．－(n∈N*)的值为________． 696　[由已知可得解得n＝3，所以－＝－＝720－24＝696．] 13．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则不同的分配方法有________种． 576　[司机、售票员各有种安排方法，由分步乘法计数原理知共有＝576(种)不同的安排方法．] 14．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备多少种不同的车票？ [解]　对于两个大站A和B，从A到B的车票与从B到A的车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站．因此，每张车票对应从6个不同对象(大站)中取出2个对象(起点站和终点站)的一种排列， 所以问题归结为从6个不同对象中取出2个不同对象的排列数＝6×5＝30． 故一共需要为这六个大站准备30种不同的车票． 15．对任意正整数n，定义n的双阶乘n！！：当n为偶数时，n！！＝n××…×6×4×2；当n为奇数时，n！！＝n××…×5×3×1． (1)计算209！！×208！！； (2)求208！！的个位数字； (3)求209！！的个位数字． [解]　(1)由根据双阶乘的定义可得209！！＝209×207×…×3×1，208！！＝208×206×…×4×2， 所以209！！×208！！＝×(208×206×…×4×2)＝209×208×207×…×3×2×1＝209！. (2)因为208！！＝208×206×…×10×8×6×4×2能被10整除，所以208！！的个位数字为0． (3)因为209！！＝209×207×…×5×3×1能被5整除，所以209！！个位数字为5或0，又209！！是奇数，所以209！！的个位数字为5． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $