专题12.3 频率与概率 随机事件的独立性 (8大题型+能力提升）讲义- 2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题12.3 频率与概率 随机事件的独立性 知识点一、概率的稳定性 1.伯努利实验与独立重复试验 2.伯努利大数定律：当n很大时，频率逼近概率。 3.频率与概率的联系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 4.在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大. 频率也称经验概率。 知识点二、频率估计概率 1. 频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率可能不同;概率是一个确定的数,是客现存在的，与每次试验无关.概率可看作频率 2. 在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率，即事件A发生的频率(A)它以会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的_稳定性.因此，我们可以用频率(A )估计概率P(A). 知识点三、 随机事件的独立性 1、随机事件独立性的定义：一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则. 题型01：频率与概率的关系 【例1】某事件的概率是，下列说法正确的是 ． （1）发生的可能性是； （2）在10000个试验中，事件发生9700次； （3）随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动． 【例2】下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0，即趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有 . 【例3】下列说法中，正确的序号是 ． ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小； ②做n次试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率； ③频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有稳定性的不依赖于试验次数的理论值； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 【例4】关于频率和概率，下列说法中正确的是 ．（填序号） ①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为； ②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005； ③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽； ④将一颗均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次． 题型02：计算频率 【例5】次实验中，由于事件发生的次数至少为0，至多为，因此事件的频率范围为 ． 【例6】“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人． 【例7】投掷硬币的结果如下表： 投掷硬币的次数 200 500 c 正面向上的次数 102 b 404 正面向上的频率 a 0.482 0.505 则 ， ， ． 据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 ． 题型03：用频率估计概率 【例8】一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【例9】在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【例10】某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示． 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 125 176 369 命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是 ． 【例11】某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表： （1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字） 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5544 9013 13520 17191 男婴数 2716 4899 6812 8590 男婴出生频率 （2）这一地区男婴出生的概率约是 . 【例12】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量等级 锻炼人次 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 题型04：独立事件的判断 【例13】同一样本空间下的必然事件与任一事件都互相独立吗？说明理由． 【例14】将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【例15】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立 题型05：独立事件与互斥事件 【例16】连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“2次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“2次结果中最多有1次正面向上”，事件C表示“2次结果中没有正面向上”，有以下说法： ①事件B与事件C互斥；②；③事件A与事件B独立；其中所有正确的说法是 ． 【例17】某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是 ． ①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；   ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立； ③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥；  ④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立． 【例18】已知事件与相互独立，且，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【例19】下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【例20】下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【例21】给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例22】抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【例23】假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（    ） ①        ②    ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【例24】分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 题型6：独立事件的乘法公式 【例25】2023年杭州亚运会篮球比赛中，运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是 ． 【例26】一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，若有放回地从中抽取2个球，则取出1个红球和1个白球的概率是 . 【例27】甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为和，则甲与乙两人同时破译密码的概率为 ． 【例28】在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为，，，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为 ． 【例29】某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ． 【例30】一个不透明的盒子里有4只蝴蝶，其中有3只白蝴蝶、1只花蝴蝶，把盒子打开一个小口，使得每次只能飞出1只蝴蝶且不飞回，蝴蝶争先恐后地往外面光亮处飞，哪只蝴蝶飞出盒子相互独立．如果4只蝴蝶都飞出了盒子，事件表示“第k只飞出盒子的蝴蝶是花蝴蝶”，，则 ． 题型7：独立事件的实际应用 【例31】如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为 ．    【例32】在某项比赛中，两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止．若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见，应该发放给已胜两场者奖金 元． 题型8：两个经典的概率问题(比赛问题和分奖金问题) 【例33】两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同) 【例34】若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？ 【例35】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 一、填空题 1．某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ． 2.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是　　　　　.  3.一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只.某人随意摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有　　　　　只.  4．（2023上·上海宝山·高二上海市行知中学校考阶段练习）假设《孤注一掷》电影里的梁安娜在线为你掷骰子，她将一颗骰子连掷两次，每次结果相互独立，则第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为 . 5．（2023上·上海·高二格致中学校考阶段练习）已知事件与事件相互独立，如果，那么 . 6．甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.7、0.6.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 . 7.某自助银行共有A,B,C三台ATM机,在某段时间内,这三台ATM机被占用的概率分别为,,,若一位顾客到自助银行使用ATM机,则其不需要等待的概率为________.  8．甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为,,,现在三人同时射击目标,且相互不影响,则目标被击中的概率为________. 9.在三角形ABC中,一机器人从三角形ABC上的一个顶点移动到另一个顶点(规定:每次只能从一个顶点移动到另一个顶点),而且按逆时针方向移动的概率为顺时针方向移动的概率的3倍,假设现在机器人的初始位置为顶点A处,则通过三次移动后返回到A处的概率为________.  10．本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是,,两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________. 11．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数： 334 221 433 551 454 452 315 142 331 423 212 541 121 451 231 414 312 552 324 115 据此估计甲获得冠军的概率为 . 12.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表: 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　) A. B. C. D. 二、选择题 13.下列说法正确的是(　　) ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度;②在同一次试验中,每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数;③在同一次试验中,每个试验结果出现的频率之和不一定等于1;④概率=频率. A.①③ B.①②④ C.①② D.③④ 14.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,P(A)与的大小关系是(　　) A.P(A)≈ B.P(A)< C.P(A)> D.P(A)= 15．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 16．（2023秋•长宁区期末）“P（A∩B）＝P（A）P（B）”是“事件A与事件互相独立”（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 三、解答题 17．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为三个等级．加工业务约定：对于级品、级品、级品，厂家每件分别收取加工费80元，50元，30元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为40元/件，乙分厂加工成本费为35元/件．该厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 45 30 25 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 40 10 50 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，该厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 18．为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 19．（2023春•闵行区校级期中）设甲、乙两射手独立地射击同一目标，甲的命中率为，乙的命中率为，求： （1）在甲、乙各一次的射击中，目标被击中的概率； （2）在甲、乙各两次的射击中，甲比乙多击中目标的概率． 20．（2023上·上海虹口·高二校考期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． 21．（2023上·上海·高二格致中学校考阶段练习）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： (1)2个球都是红球； (2)2个球中恰好有1个红球； (3)2个球不都是红球； (4)至少有1个是红球． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题12.3 频率与概率 随机事件的独立性 知识点一、概率的稳定性 1.伯努利实验与独立重复试验 2.伯努利大数定律：当n很大时，频率逼近概率。 3.频率与概率的联系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 4.在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大. 频率也称经验概率。 知识点二、频率估计概率 1. 频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率可能不同;概率是一个确定的数,是客现存在的，与每次试验无关.概率可看作频率 2. 在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率，即事件A发生的频率(A)它以会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的_稳定性.因此，我们可以用频率(A )估计概率P(A). 知识点三、 随机事件的独立性 1、随机事件独立性的定义：一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则. 题型01：频率与概率的关系 【例1】某事件的概率是，下列说法正确的是 ． （1）发生的可能性是； （2）在10000个试验中，事件发生9700次； （3）随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动． 【答案】（1）（3） 【分析】根据频率和概率的定义，依次判断即可． 【解析】事件的概率是，发生的可能性是，（1）正确； 通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则在10000个试验中，应该事件发生9700次左右，不一定发生9700次，（2）错误； 因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大， 频率逐渐趋向于概率的值，随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动．（3）正确； 故答案为：（1）（3）. 【例2】下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0，即趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有 . 【答案】③⑤ 【分析】根据概率、频率的定义逐一分析判断即可. 【解析】概率指的是无穷次试验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，这个固定的值就是概率. ①通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则本题中从该批产品中任取200件，应该是10件次品左右，不一定出现10件次品，错误； ②100次抛硬币的试验并不是无穷多次试验，出现的频率也不是概率，事实上硬币只有两个面，每个面出现的概率是相等的，所以因此出现正面的概率是0.5，错误； ③随机事件的概率是通过多次试验，算出频率后来估计它的概率的，当试验的次数多了，这个频率就越来越接近概率，所以随机事件A的概率是频率的稳定值，正确； ④随机事件A的概率趋近于0，说明事件A发生的可能性很小，但并不表示不会发生，错误； ⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是，正确； ⑥根据概率的定义，随机事件的频率只是这个事件发生的概率的近似值，它并不等于概率，错误； 综上，正确的说法有③⑤. 故答案为：③⑤ 【例3】下列说法中，正确的序号是 ． ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小； ②做n次试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率； ③频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有稳定性的不依赖于试验次数的理论值； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 【答案】①③④ 【分析】根据频率、概率的知识逐一判断即可. 【解析】频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小，故①正确， 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故④正确②错误， 频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有稳定性的，不依赖于试验次数的理论值，故③正确， 故答案为：①③④ 【例4】关于频率和概率，下列说法中正确的是 ．（填序号） ①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为； ②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005； ③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽； ④将一颗均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次． 【答案】②④ 【分析】根据频率和概率的定义对各个选项进行判断即可. 【解析】①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故错误； ②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正确； ③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误； ④出现点数大于2的次数大约为4000次，故正确. 故答案为：②④ 题型02：计算频率 【例5】次实验中，由于事件发生的次数至少为0，至多为，因此事件的频率范围为 ． 【答案】 【分析】根据频率的计算方法即可得到答案. 【解析】根据频率的范围可知事件的频率范围为，即， 故答案为：. 【例6】“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人． 【答案】 【分析】求出在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，即可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数. 【解析】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人， 故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有. 故答案为：. 【例7】投掷硬币的结果如下表： 投掷硬币的次数 200 500 c 正面向上的次数 102 b 404 正面向上的频率 a 0.482 0.505 则 ， ， ． 据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 ． 【答案】 0.51/ 241 800 0.5/ 【分析】由频数、试验次数与频率的关系求，再由频率的稳定性估计概率. 【解析】，， . 三组试验正面向上的频率都在0.5附近， 由频率的稳定性，估计若掷硬币一次，正面向上的概率应为0.5. 故答案为：0.51；241；800；0.5. 题型03：用频率估计概率 【例8】一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】15 【分析】根据频率与概率的关系得出概率，再据此即可列式求红球的个数. 【解析】设盒子中红球的个数为， 由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25， 则， 解得， 即盒子中红球个数大约15个. 故答案为：15 【例9】在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】 【分析】利用频率结合古典概型的计算公式代入即可得出答案. 【解析】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近， 估计袋中红球个数是. 故答案为：. 【例10】某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示． 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 125 176 369 命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是 ． 【答案】 【分析】根据试验中频率与概率的关系，即可求解. 【解析】由题意知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差就越小. 所以使误差较小的可能性大的估计值是. 故答案为：. 【例11】某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表： （1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字） 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5544 9013 13520 17191 男婴数 2716 4899 6812 8590 男婴出生频率 （2）这一地区男婴出生的概率约是 . 【答案】 0.49 0.54 0.50 0.50 0.50 【分析】（1）直接计算频率即可； （2）根据频率估计概率计算即可. 【解析】（1）根据得： 1年内男婴出生频率为； 2年内男婴出生频率为； 3年内男婴出生频率为； 4年内男婴出生频率为； （2）根据频率估计概率，频率的稳定值为， 所以，这一地区男婴出生的概率约是. 故答案为：；；；；. 【例12】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量等级 锻炼人次 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由表格计算频数，直接计算频率，用频率估计概率即可得结果； （2）根据题意结合平均数的计数公式运算求解. 【解析】（1）由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的频数依次为， 则频率依次为， 用频率估计概率，可得概率的估计值如下表： 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 （2）由题意可得：在，，内的人次依次为， 所以一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为． 题型04：独立事件的判断 【例13】同一样本空间下的必然事件与任一事件都互相独立吗？说明理由． 【答案】独立，理由为. 【分析】应用，判断与是否相等即可. 【解析】独立，理由如下：， 所以同一样本空间下的必然事件与任一事件都互相独立. 故答案为：独立，理由为 【例14】将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项. 【解析】由题意知，，，， 由于，所以甲与丁相互独立． 故选：B 【例15】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可． 【解析】依题意可得P(甲)，P(乙)， 两次取出的球的数字之和为8，有，，，，，共5种情况，则P(丙)， 两次取出的球的数字之和为7，有，，，，，共6种情况，则P(丁)， 对于A，P(甲丙)P(甲)·P(丙)，A错误； 对于B，P(甲丁)P(甲)·P(丁)，B正确； 对于C，P(乙丙)P(乙)·P(丙)，C错误； 对于D，P(丙丁)P(丙)·P(丁)，D错误． 故选：B． 题型05：独立事件与互斥事件 【例16】连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“2次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“2次结果中最多有1次正面向上”，事件C表示“2次结果中没有正面向上”，有以下说法： ①事件B与事件C互斥；②；③事件A与事件B独立；其中所有正确的说法是 ． 【答案】② 【分析】有互斥事件的定义、古典概型求概率以及独立事件的乘法公式依次判断即可. 【解析】事件B包括“1次正面向上，1次反面向上”和“2次结果中没有正面向上”，事件B和事件C可以同时发生，①错误； 事件A表示“2次结果中有1次正面向上，有1次反面向上”，则，②正确； ，，，则③错误. 故答案为：②. 【例17】某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，事件N：该家庭中最多有一个女孩，则下列说法正确的是 ． ①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；   ②若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立； ③若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥；  ④若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立． 【答案】②③④ 【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断①②；若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间判断③④作答. 【解析】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)， (男,女),(女,男)(男,男),(男,女),(女,男)，(男,女),(女,男)， 则M与N不互斥，①错误； ，，，则，所以M与N不相互独立，②正确； 若该家庭中有三个小孩， 样本空间为(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)， (男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)， (男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)， (男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)，则M与N不互斥，③正确； ，，，于是，所以M与N相互独立，④正确． 所以说法正确的是②③④. 故答案为：②③④ 【例18】已知事件与相互独立，且，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【分析】根据题意，结合，即可求解. 【解析】由题意，事件与事件相互独立，且， 则. 故选：C. 【例19】下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质逐个分析判断即可. 【解析】对于A，当事件A与B互斥时，A与B不一定相互对立，但A与B相互对立时，A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，若A，B为两个事件，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，，若事件A，B相互独立，则，故事件A，B不互斥，若事件A，B互斥，则，，故事件A，B不独立，故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，故D错误． 故选：B． 【例20】下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可. 【解析】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确； 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误. 故选：B. 【例21】给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据独立事件概率公式可判断①正确；通过反例可说明②③错误；由，结合独立事件概率公式可知④正确. 【解析】对于①，若互斥，则，又， ，不相互独立，①正确； 对于②，，； 扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于一点”， 则，，， 满足，但不是对立事件，②错误； 对于③，扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于六点”， 则，，，，， 满足，此时， 事件不相互独立，③错误； 对于④，，事件与互斥，， 又，， 即，事件相互独立，④正确. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题考查对立事件、独立事件的判断，解题基本思路是能够结合和事件和积事件的定义，利用独立事件概率公式依次验证选项中的事件是否为独立事件. 【例22】抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果. 【解析】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反）， 显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生， 所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误. 又因为，而，， 所以，，故C错误，D正确. 故选：D 【例23】假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（    ） ①        ②    ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的概念和乘法公式，以及互斥事件的概念，逐个判定，即可求解. 【解析】由，，且事件与相互独立，则与相互独立，与相互独立，则，所以①不正确，③正确； 又由，所以④正确； 由，所以⑤不正确； 又由事件与不一定时互斥事件，所以与不一定相等， 所以②不正确. 故选：B. 【例24】分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 【答案】A 【分析】利用互斥事件，独立事件的定义即得. 【解析】由题意得，， 所以. 所以与，与均相互独立，与，与均不互斥. 故选：A. 题型6：独立事件的乘法公式 【例25】2023年杭州亚运会篮球比赛中，运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是 ． 【答案】/ 【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式直接求解. 【解析】运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是. 故答案为：. 【例26】一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，若有放回地从中抽取2个球，则取出1个红球和1个白球的概率是 . 【答案】/ 【分析】利用古典概型概率公式及独立事件乘法公式即可求出概率. 【解析】有放回地抽取，取出取出1个红球和1个白球包括第1次为红球第2次为白球、第1次为白球第2次为红球， 所以所求概率为. 故答案为: . 【例27】甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为和，则甲与乙两人同时破译密码的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式，即可求解. 【解析】设甲独立破解密码为事件，乙独立破解密码为事件， 则， 两人同时破译密码的概率为. 故答案为： 【例28】在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为，，，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为 ． 【答案】 【分析】分别根据独立事件以及对立、互斥事件的概率计算得出恰有两人投篮命中的概率以及三人均命中的概率，相加即可得出答案. 【解析】由已知可得，一次投球中，三人中恰有两人投篮命中的概率； 一次投球中，三人投篮均命中的概率. 所以，在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率. 故答案为：. 【例29】某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ． 【答案】0.236 【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得. 【解析】设为独孤队第局取胜， 由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：，，，， 所以独孤队取胜的概率 ． 故答案为： 【例30】一个不透明的盒子里有4只蝴蝶，其中有3只白蝴蝶、1只花蝴蝶，把盒子打开一个小口，使得每次只能飞出1只蝴蝶且不飞回，蝴蝶争先恐后地往外面光亮处飞，哪只蝴蝶飞出盒子相互独立．如果4只蝴蝶都飞出了盒子，事件表示“第k只飞出盒子的蝴蝶是花蝴蝶”，，则 ． 【答案】/0.25 【分析】利用独立事件的乘法公式求概率即可. 【解析】由题意，. 故答案为： 题型7：独立事件的实际应用 【例31】如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为 ．    【答案】/0.8125 【分析】先计算出灯不亮的概率，进而利用对立事件求概率公式进行计算. 【解析】记开关闭合为事件A，B，C，D， 因为开关断开且开关至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮， 所以灯不亮的概率为, 所以灯亮的概率为. 故答案为： 【例32】在某项比赛中，两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止．若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见，应该发放给已胜两场者奖金 元． 【答案】9000 【分析】根据前3局打成时，利用独立事件乘法公式求出胜2局者和胜1局者获胜的概率，即可得答案. 【解析】甲乙两队水平相当，故任意一局比赛，甲胜概率为，乙胜概率， 不妨设前三局中甲胜2场，乙胜1场，剩下甲获胜的情况是： 第四局甲胜或者第四局甲输同时第五局甲胜， 此情况下,甲获胜的概率为， 所以乙胜的概率为， 所以前3局打成时，2局胜利者与1局胜利者奖金分配应为， 若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见， 应该发放给已胜两场者奖金为（元）， 故答案为：9000. 题型8：两个经典的概率问题(比赛问题和分奖金问题) 【例33】两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同) 提示：甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率p>.采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P3＝p2＋2p2(1－p)． 采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P4＝p3＋3p3(1－p)＋6p3(1－p)2.而P4－P3＝p2(6p3－15p2＋12p－3)＝3p2(p－1)2(2p－1)． 因为p>，所以P4>P3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大． 所以五局三胜制更能选拔出最强的选手． 【例】两人下棋，每局胜的可能性一样，某一天两人要进行一次三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金。第一场比赛胜，后因为有其他要事而中止比赛，问怎样分100元奖金才公平？ 【例34】若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？ 提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为P1＝0.62＋2×0.62×(1－0.6)＝0.648. 【例35】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 解：(1)甲连胜四场的概率为. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛， 至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为； 乙连胜四场的概率为； 丙上场后连胜三场的概率为. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1－－－＝. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，. 因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 一、填空题 1．某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ． 【答案】/0.53 【分析】根据频率的概念进行计算即可. 【详解】事件A出现的频率为. 故答案为： 2.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是　　　　　.  【详解】记“一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎”为事件A,利用频率估计概率可知,事件A发生的概率大约为=0.03. 【答案】0.03 3.一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只.某人随意摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有　　　　　只.  【详解】设x为袋中黄球的只数,根据题意可得 ,解得x≈2. 【答案】2 4．（2023上·上海宝山·高二上海市行知中学校考阶段练习）假设《孤注一掷》电影里的梁安娜在线为你掷骰子，她将一颗骰子连掷两次，每次结果相互独立，则第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为 . 【答案】 【分析】设第一次点数小于3的事件为，，设第二次点数大于3的事件为，，再根据独立事件的概率公式得到答案. 【详解】设第一次点数小于3的事件为，， 设第二次点数大于3的事件为，， . 故答案为：. 5．（2023上·上海·高二格致中学校考阶段练习）已知事件与事件相互独立，如果，那么 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式和对立事件的概率公式计算作答. 【详解】因为，所以，又，且A，相互独立， 所以. 故答案为： 6．甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.7、0.6.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 . 【答案】/ 【分析】利用相互独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式，结合对立事件概率公式即可求解. 【详解】记甲乙两人中靶分别为事件，则有，，所求的事件可表示为， 所以. 故答案为： 7.某自助银行共有A,B,C三台ATM机,在某段时间内,这三台ATM机被占用的概率分别为,,,若一位顾客到自助银行使用ATM机,则其不需要等待的概率为________.  【解析】设事件A,B,C分别为“ATM机A,B,C被占用”,则P(A)=,P(B)=,P(C)=. 记事件D:“顾客不需要等待”,则为“顾客需要等待”,所以P()=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=,于是P(D)=1-P()=1-=. 答案: 8．甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为,,,现在三人同时射击目标,且相互不影响,则目标被击中的概率为________. 【解析】目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率,故目标被击中的概率是1-=. 答案: 9.在三角形ABC中,一机器人从三角形ABC上的一个顶点移动到另一个顶点(规定:每次只能从一个顶点移动到另一个顶点),而且按逆时针方向移动的概率为顺时针方向移动的概率的3倍,假设现在机器人的初始位置为顶点A处,则通过三次移动后返回到A处的概率为________.  【解析】设顺时针方向移动的概率为p, 则逆时针方向移动的概率为3p, 所以3p+p=1⇒p=,所以顺时针方向移动的概率为,则逆时针方向移动的概率为,初始位置为顶点A处,则通过三次移动后返回到A处,共有两种情况:三次都逆时针的概率为=,三次都顺时针方向移动的概率为=,所以通过三次移动后返回到A处的概率为=. 答案: 10．本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是,,两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________. 【解析】由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为,,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则 P(A)=×+×+×=. 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为. 答案: 11．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数： 334 221 433 551 454 452 315 142 331 423 212 541 121 451 231 414 312 552 324 115 据此估计甲获得冠军的概率为 . 【答案】 【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率. 【解析】20组数据中，共13组数据表示甲获得冠军， 故估计甲获得冠军的概率为. 故答案为： 12.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表: 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　) A. B. C. D. 【详解】由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C. 【答案】C 二、选择题 13.下列说法正确的是(　　) ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度;②在同一次试验中,每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数;③在同一次试验中,每个试验结果出现的频率之和不一定等于1;④概率=频率. A.①③ B.①②④ C.①② D.③④ 【详解】由频率、频数、概率的定义,易知①②正确.故选C. 【答案】C 14.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,P(A)与的大小关系是(　　) A.P(A)≈ B.P(A)< C.P(A)> D.P(A)= 【详解】在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,越来越接近P(A),因此我们可以用近似地代替P(A). 【答案】A 15．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得. 【解析】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”， 所以，则. 由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立， 法一：，且两两互互斥， 则 . 法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即， 则. 故选：B. 16．（2023秋•长宁区期末）“P（A∩B）＝P（A）P（B）”是“事件A与事件互相独立”（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据事件互斥，对立，独立的关系得出即可． 【解答】解：因为对于任意两个事件A，B， 如果P（A∩B）＝P（A）P（B）， 则事件A与事件B相互独立， 若事件A与事件B相互独立，则事件A与事件也互相独立，所以充分性成立； 若事件A与事件互相独立，则事件A与事件B也相互独立， 则P（A∩B）＝P（A）P（B）成立，所以必要性成立． 故选：C． 【点评】本题主要考查事件的独立性、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题． 三、解答题 17．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为三个等级．加工业务约定：对于级品、级品、级品，厂家每件分别收取加工费80元，50元，30元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为40元/件，乙分厂加工成本费为35元/件．该厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 45 30 25 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 频数 40 10 50 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，该厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 【答案】(1)0.45；0.4 (2)厂家应选甲分厂承接加工业务 【分析】（1）用频率来估算概率，然后求解即可； （2）根据题意计算平均利润即可. 【解析】（1）解：（1）由表可知，甲分厂加工出来的一件产品为级品的概率为， 乙分厂加工出来的一件产品为级品的概率为． （2）甲分厂加工100件产品的总利润为元， 所以甲分厂加工100件产品的平均利润为18.5元， 乙分厂加工100件产品的总利润为元， 所以乙分厂加工100件产品的平均利润为17元． 故该厂家应选甲分厂承接加工业务． 18．为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件概率即可得到答案； （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件的概率即可， 【解析】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件， 则. 因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件， 则所求的概率为. （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件， 则. 所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为， 所以所求的概率为 19．（2023春•闵行区校级期中）设甲、乙两射手独立地射击同一目标，甲的命中率为，乙的命中率为，求： （1）在甲、乙各一次的射击中，目标被击中的概率； （2）在甲、乙各两次的射击中，甲比乙多击中目标的概率． 【分析】（1）设甲击中目标事件为A，乙击中目标为事件B，利用对立事件概率计算公式能求出在一次射击中，目标未被击中的概率即可． （2）甲比乙多击中目标分三种情况，再利用相互独立事件的概率乘法公式分别求出即可． 【解答】解：（1）设甲击中目标事件为A，乙击中目标为事件B， 则P（A）＝，P（B）＝， 则目标被击中的概率为1﹣P（）＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝． （2）甲比乙多击中目标包含以下三种情况， ①甲击中1次，乙击中0次，概率为××（1﹣）×＝， ②甲击中2次，乙击中0次，概率为×＝， ③甲击中2次，乙击中1次，概率为×××（1﹣）＝， ∴甲比乙多击中目标的概率为×3＝． 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，是中档题． 20．（2023上·上海虹口·高二校考期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件即可. 【详解】（1）设甲命中为事件，概率为，乙罚球时命中为事件，概率为， 则设甲和乙同时命中为事件,则. （2）设甲和乙都不命中为事件，则. （3）甲和乙至少一人命中为事件，. 21．（2023上·上海·高二格致中学校考阶段练习）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： (1)2个球都是红球； (2)2个球中恰好有1个红球； (3)2个球不都是红球； (4)至少有1个是红球． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用独立事件、互斥事件以及对立事件的概率求法求各事件对应概率即可. 【详解】（1）甲乙各摸一个球相互独立，2个球都是红球概率为； （2）2个球中恰好有1个红球概率为； （3）由（1），根据对立事件概率求法，2个球不都是红球概率为； （4）由（1）（2）知：根据互斥事件概率求法，至少有1个是红球概率为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $