北京市清华大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度高二年级第一学期数学期中考试 班级：______姓名：______考号：______ 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 若直线l一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. A､C均有可能 2. 如图所示，三棱柱中，是中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C D. 3. 直线过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 4. 设抛物线顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）． A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线 5. 如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 圆与圆的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 3或 7. 已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 9. 设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下面结论中正确的是（ ） ①存在点，使得平面平面 ②存在点，使得平面 ③对任意点，的面积都不等于 ④分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点， A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 12. 如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________． 13. 已知点在曲线上，则的取值范围是______． 14. 已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若是线段的中点，则的渐近线方程为______. 15. 如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是__________；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是__________. 三、解答题（共85分） 16. 已知以点为圆心圆与直线相切，直线与圆相交于，两点. （1）求圆的方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，且AE=AB． （1）记平面ADE与平面PBC的交线为l，证明：直线l∥平面ABCD； （2）求直线PC与面ADE所成角的正弦． 18. 在中，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题： （1）求角的大小； （2）求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，为棱的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20. 已知圆与圆关于直线对称,且点在圆上． (1)求圆的方程; （2）设为圆上任意一点, ,,与不共线,  为的平分线,且交于.求证: 与的面积之比为定值． 21. 已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． （1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） （2）如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质； （3）若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值． 2025-2026学年度高二年级第一学期数学期中考试 班级：______姓名：______考号：______ 一、单选题（每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（每小题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】##1.5 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（共85分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【18题答案】 【答案】（1）条件选择见解析， （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）存在， 【20题答案】 【答案】（1）；（2）见解析. 【21题答案】 【答案】（1）是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” （2）证明见解析 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $