2.7.2 抛物线的几何性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质，系统讲解范围、对称性、顶点等性质及焦点弦知识。通过旋转抛物面在太阳灶等中的应用情境导入，对比椭圆双曲线特性，搭建知识支架帮助学生衔接前后内容。 其亮点是融合直观想象与数学运算，如通过通径、参数p影响开口等培养直观想象，结合焦点弦长公式推导提升数学运算能力。采用例题变式和分层练习，学生能深化理解，教师可借助系统资源实施差异化教学，提高教学效率。

第二章 平面解析几何 2.7　抛物线及其方程 2.7.2　抛物线的几何性质 学习任务 1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(直观想象) 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(数学运算) 3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．(数学运算) 2.7.2　抛物线的几何性质 如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点．应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫 星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的 一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线 ——抛物线的几何性质． 必备知识·情境导学探新知 2.7.2　抛物线的几何性质 知识点1　抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图形         课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 性质 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R x∈R， y≥0 x∈R， y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 ________ 离心率 e＝_ (0，0) 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 思考1．抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有哪些不同？ [提示]　抛物线的离心率等于1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线． 思考2．过抛物线焦点F且垂直于对称轴的线段有什么特征？参数p对抛物线开口大小有什么影响？ [提示]　这条线段是抛物线的通径，长度为2p；参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，p越大，开口越大． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 知识点2　焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y2＝2px(p＞0) |AB|＝_________ y2＝－2px(p＞0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p＞0) |AB|＝_________ x2＝－2py(p＞0) |AB|＝p－(y1＋y2) x1＋x2＋p y1＋y2＋p 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 [拓展]　焦点弦的几何性质 如图，已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，点F是抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，过A，B分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，M(x0，y0)为AB的中点，MM′⊥CD于点M′，N为准线l与x轴的交点，可以证明以下结论： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 (1)A，O，D三点共线，且B，O，C三点共线． (2)AM′⊥BM′，CF⊥DF，M′F⊥AB． (3)以AB为直径的圆与准线相切(切点为M ′)， 以CD为直径的圆与AB相切(切点为F)， 以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (4)∠ANF＝∠BNF． (5)|AF|＝＝． (6)|AB|＝x1＋x2＋p＝2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 (7)y1 y2＝－p2，x1x2＝＝． (8)kOA·kOB＝－4，p2． (9)． (10)S△AOB＝． (11)焦点弦长|AB|＝2p． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 × √ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)抛物线y2＝2px(p>0)的p越大，抛物线的开口越小． (　　) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切． (　　) (3)过抛物线y2＝2px的焦点作与对称轴垂直的直线，与抛物线交于A，B两点，则|AB|＝2p． (　　) × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 [提示]　(1)×　抛物线y2＝2px(p>0)的p越大，抛物线的开口越大． (2)×　直线可能与抛物线的轴平行． (3)√　令x＝，则y2＝2p·＝p2，所以y＝±p，所以|AB|＝2p． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 √ 2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　) A．(6，＋∞)　　 B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) 　 D．[3，＋∞) D　[因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以＝3，又抛物线上的点到准线距离的最小值为，所以抛物线上的点到准线距离的取值范围为[3，＋∞)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 3．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为__________ ． 　[AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________． 8　[因为y2＝4x，所以2p＝4，p＝2． 由抛物线定义知：|AF|＝x1＋＝x2＋， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．] 8　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 关键能力·合作探究释疑难 类型1　由抛物线的几何性质求标准方程 【例1】　【链接教材P164例1】 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝＝3，求此抛物线的标准方程． 2.7.2　抛物线的几何性质 [解]　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知M， 因为|AF|＝3，所以y0＋＝3， 因为|AM|＝， 所以＝17， 所以＝8，代入方程＝2py0得，8＝2p， 解得p＝2或p＝4． 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 【教材原题·P164例1】 【例1】　已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点M(－4，2)，求这个抛物线的标准方程． [解]　根据已知条件可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，因为点M在抛物线上，所以2＝－2p×(－4)，因此2p＝3． 从而可知所求方程为y2＝－3x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 反思领悟　利用抛物线性质求方程 (1)首先利用抛物线的定义、对称性等进行转化，得到系数或坐标的关系； (2)利用求出的系数或者列出相应的方程(组)求出系数后写方程． 提醒：焦点在x轴上的抛物线可以设为y2＝mx(m≠0)；焦点在y轴上的抛物线可以设为x2＝my(m≠0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 [跟进训练] 1．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程． [解]　设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点＝2，即y1－y2＝2．由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，解得x1＝±1，所以点在抛物线y2＝2px上，点在抛物线y2＝－2px上，可得p＝．于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 类型2　抛物线的最值问题 【例2】　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． [解]　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的 距离等于它到焦点的距离． 由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 [母题探究] (变条件)若将本例条件中的点(0，2)改为点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值． [解]　将x＝3代入y2＝2x，得y＝±．所以点A在抛物线内部． 设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－＝|PA|＋d． 由图可知，当PA⊥l时，． 即． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 发现规律　抛物线的最值问题 在抛物线中求解与焦点有关的距离和的最小值时，往往用____________进行转化，常常转化为两点间的距离、点到直线的距离解决最值问题． 抛物线的定义 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 [跟进训练] 2．设点A的坐标为，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为(　　) A．1 　B．2 C．3 　D．4 √ C　[由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 类型3　焦点弦问题 【例3】　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝，求AB所在直线的方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 [解]　因为过焦点的弦长|AB|＝， 所以弦所在的直线的斜率存在且不为零， 设直线AB的斜率为k， 且A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为y2＝2px的焦点为F， 所以直线AB方程为y＝k． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 由 整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0， 所以x1＋x2＝， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＝，所以， 所以k＝±2． 所以所求直线方程为y＝2或y＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 [母题探究] 1．(变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离． [解]　设AB中点为M(x0，y0)， 由例题解答可知2x0＝x1＋x2＝， 所以AB的中点M到y轴的距离为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 2．(变条件)本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1． [解]　由例题解析可知AB的方程为y＝k， 即x＝， 代入y2＝2px消x可得y2＝＋p2， 即y2－y－p2＝0，所以y1y2＝－p2， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 由A1点的坐标为，B1点的坐标为＝ －． 所以·＝－1， 所以∠A1FB1＝90°． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 反思领悟　关于抛物线的焦点弦问题 (1)以抛物线y2＝2px(p>0)为例，若过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，点P(x0，y0)是抛物线上任意一点， ①焦半径：|PF|＝x0＋； ②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p． (2)把直线方程与抛物线方程联立，消元得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，代入弦长公式即可求出弦长． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 [跟进训练] 3．(源自人教A版教材例题)斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． [解]　由题意可知，p＝2，＝1，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1．如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB．由抛物线的定义，可知 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 |AF|＝dA＝x1＋1，|BF|＝dB＝x2＋1， 于是|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2． 因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)，所以直线l的方程为y＝x－1． ① 将①代入方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x，化简，得x2－6x＋1＝0． 所以x1＋x2＝6， |AB|＝x1＋x2＋2＝8． 所以线段AB的长是8． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 学习效果·课堂评估夯基础 1．已知过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点且垂直于x轴的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．4　　 　B．2　　 　C．1　　 　D．0 √ B　[由题意可得焦点F，将x＝代入抛物线方程可得y2＝，解得y＝±，所以a＝2．] 2.7.2　抛物线的几何性质 2．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若，则＝(　　) A．2 　 B．2 C．3 　 D．3 √ B　[由题意得，F，则＝2， 即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1， 不妨设点A在x轴上方，代入得A， 所以．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________． 　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得p＝．∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－，故AB的中点的纵坐标是．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 4．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4＝，则C的焦点到准线的距离为________． 4　[由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4＝2，可取A＝＋5，解得p＝4．] 4　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何理解抛物线的几何性质？ [提示]　(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线． (2)抛物线只有一条对称轴，没有对称中心． (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线． (4)抛物线的离心率e是确定的，为1． (5)抛物线的通径为2p，2p越大，抛物线的张口越大． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 2．怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向？ [提示]　一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴． 一次项系数的符号决定开口方向． 如果y是一次项，负时向下，正时向上． 如果x是一次项，负时向左，正时向右． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 阅读材料·拓展数学大视野 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线 我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线．经过本节的学习我们知道，抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．因此，只要能说明二次函数的图象符合抛物线的几何特征，就解决了为什么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线的问题．由抛物线与其方程之间的关系可知，如果能用适当的方式将y＝ax2＋bx＋c转化为抛物线标准方程的形式，那么就可以说明二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 按照这种思路，我们对y＝ax2＋bx＋c的右边配方， 得y＝a． 由函数图象平移的性质可以知道，沿向量m＝平移函数y＝a的图象(如图)，除了位置外，函数图象不发生任何变化．平移后的图象对应的函数解析式为y＝ax2，即x2＝y，这个方程表示的曲线是顶点为原点，焦点为的抛物线． 因此，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(二十四)　抛物线的几何性质 一、选择题 1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，＝6，则点P的横坐标为(　　) A．6　　　　B．5　　　　C．4　　　　D．2 C　[设点P的横坐标为x0，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2， ∵点P在抛物线上，|PF|＝6，∴x0＋2＝6，∴x0＝4．] 2.7.2　抛物线的几何性质 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝(　　) A．2 　 B．3 C．5 　 D．7 √ D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2． 由得x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，∴x1＋x2＋2＝7．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．抛物线x2＝2py的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝(　　) A．3 　 B．6 C．4 　 D．8 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[由题意得：，因为△ABF为等边三角形，所以p，所以B，将B代入方程＝1，得p＝6．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x－2与抛物线C交于A，B两点，则(　　) A．抛物线C的准线方程为x＝－1 B．点F到直线l的距离为 C．∠AOB＝ D．|AB|＝10 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 AB　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，A选项正确． 直线l：y＝x－2，即x－y－2＝0，F(1，0)到x－y－2＝0的距离为，B选项正确； 由解得或 不妨设A，B， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 则＝·＝16－12＋4－12＝－4， 所以∠AOB≠，C选项错误； |AB|＝，D选项错误．故选AB．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　) A．－4 　 B．4 C．p2 　 D．－p2 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[①若焦点弦AB⊥x轴， 则x1＝x2＝，所以x1x2＝， 所以y1＝p，y2＝－p，所以y1y2＝－p2，所以＝－4． ②若焦点弦AB不垂直于x轴， 可设AB的直线方程为y＝k， 联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0， 则x1x2＝，所以y1y2＝－p2，故＝－4．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．已知点A，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|∶|MN|＝1∶2，则抛物线的方程是________． y2＝4x　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 y2＝4x　[依题意F点的坐标为， 如图，设M在准线上的射影为K， 由抛物线的定义知|MF|＝|MK|， 因为|FM|∶|MN|＝1∶2， 所以|KN|∶|KM|＝∶1＝， 所以， 所以p＝2．所以抛物线方程为y2＝4x．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．直线l过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是________． x2＝8y　[由抛物线的方程可得焦点为， 准线方程为y＝－．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以AB的中点的纵坐标为，因为AB的中点到x轴的距离是1，所以＝1，所以y1＋y2＝2，又|AB|＝y1＋y2＋p＝6，故p＝4，所以抛物线方程为x2＝8y．] x2＝8y　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值是________． 32　[设AB的方程为x＝my＋4， 代入y2＝4x， 得y2－4my－16＝0，Δ>0， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16， 所以＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32， 当m＝0时的最小值为32．] 32 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长． [解]　如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝2px2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 又|OA|＝，即＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0． ∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，∴x1＝x2， 由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称． 由此得∠AOx＝30°，∴y1＝x1，与＝2px1联立， 解得y1＝2p．∴|AB|＝2y1＝4p． ∴这个正三角形的边长为4p． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF与y轴交于点M，且＝0，则点P到直线l的距离为(　　) A．3 　 B．4 C．5 　 D．6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 57 C　[由抛物线C：y2＝4x，可知F(1，0)，即|OF|＝1(O为坐标原点)， 过点P作y轴的垂线，垂足为N， 因为＝0，即， 由△MOF∽△MNP，可知， 所以|PN|＝4|OF|＝4， 所以点P到准线l的距离为5．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选题)已知倾斜角为θ的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于P1，P2两点，直线l：x＝，作P1M⊥l于点M，P2N⊥l于点N，则下列结论正确的是(　　) A． B．|P1F|＝ C．|P2F|＝ D．S△MON＝ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 BCD　[设准线l：x＝－如图由抛物线的定义可得，＝|FP1|，|NP2|＝|FP2|，由题意可得， ∠FP1M＝θ，∠FP2N＝π－θ，∠EFM＝，∠EFN＝＝p， 在Rt△EFM中，|MF|＝，在△P1MF中， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 |P1F|＝，同理可得|NF|＝，|P2F|＝， 所以，故A错误，B、C正确；在△MNF中，∠MFN＝∠EFM＋∠EFN＝， 所以|MN|＝，所以S△MON＝＝，故D正确．故选BCD．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”．设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C．若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝，则抛物线的方程为______________． y2＝3x 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 y2＝3x　[由题意可知，|AB|＝3，|BC|＝3， 可得|AC|＝＝6，所以∠CAB＝60°， 由抛物线的定义得|AB|＝|AF|，所以△ABF是等边三角形， 所以＝， 所以抛物线的方程是y2＝3x．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知点A(2，0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝________． 1∶　[因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，点A坐标为(2，0)，所以抛物线的准线方程为l：y＝－1，直线AF的斜率为k＝．过M作MP⊥l于P，根据抛物线的定义得|FM|＝|PM|． 1∶　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 因为Rt△MPN中， tan ∠MNP＝－k＝， 所以， 可得|PN|＝2|PM|， 得|MN|＝． 所以， 可得|FM|∶|MN|＝|PM|∶|MN|＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 65 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P到焦点F的距离为6． (1)求抛物线C的方程； (2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点，并求出定点坐标． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 66 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由题意设抛物线的方程为y2＝2px， 点P在抛物线上且到焦点的距离为6，即点P到准线的距离为6， 即4＋＝6，解得p＝4，即抛物线的标准方程为y2＝8x． (2)证明：由题意知直线l不能与x轴平行，故直线l方程可设为x＝my＋n(n≠0)， 与抛物线联立得 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 67 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 消去x得y2－8my－8n＝0， 设A， 则Δ＝64m2＋32n>0， 则y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n， 由OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0， 所以y1y2＋＝0， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 68 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 即y1y2＝0， 亦即－8n＝0，又n≠0， 解得n＝8， 所以直线方程为x＝my＋8，易得直线l过定点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 69 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，点A(4，－1)，P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，|PA|＋d的最小值为5． (1)求抛物线C的方程； (2)直线y＝kx＋1与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得？若存在，求出λ；若不存在，说明理由． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 70 [解]　(1)设抛物线C的焦点为F，根据抛物线的定义得d＝|PF|，|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝＝5，由于p>0， 解得p＝4， 则抛物线C的方程为x2＝8y． (2)存在．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入抛物线C的方程， 整理得x2－8kx－8＝0，所以x1＋x2＝8k，x1·x2＝－8． 又， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 同理，则＝－4， 又Q(0，1)，A(4，－1)， 所以k3＝， 所以当λ＝2时有． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 2.7.2　抛物线的几何性质 $