10.2.1 复数的加法与减法-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦复数加减法，涵盖代数运算法则、运算律及几何意义。通过达朗贝尔历史情境与问题导入，衔接数系扩充知识，为运算学习构建认知支架。 亮点是融合数学运算与直观想象素养，设运算、几何意义、模的最值等类型例题，配母题探究与分层作业。学生提升运算能力与空间观念，教师可实现分层教学，优化教学效果。

第十章　复数 10.2　复数的运算 10.2.1　复数的加法与减法 学习任务 1．掌握复数代数形式的加、减法运算法则，能熟练地运用复数的加、减运算法则进行复数的运算．(数学运算) 2．了解复数代数形式的加、减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(直观想象) 10.2.1　复数的加法与减法 随着虚数的产生，数系得到了进一步的扩充．同时，随着科学技术的进步，逐步建立起来的复变函数理论在研究堤坝渗水问题、建设大型水电站等领域也有广泛的应用．而复变函数理论中离不开复数的加、减、乘、除运算．1747年，法国数学家达朗贝尔(1717—1783)指出，如果按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算，那么运算的结果总是a＋bi的形式，其中a，b都是实数．他开创了复数四则运算的先河． 思考：复数中的加法、减法应如何规定，也能满足类似于实数加法的交换律与结合律吗？ 必备知识·情境导学探新知 10.2.1　复数的加法与减法 知识点1　复数代数形式的加、减法 1．运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝________________，z1－z2＝________________． (2)两个共轭复数的和一定是实数． (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 提醒(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算类似于多项式的加、减法运算，只需“合并同类项”就可以了． (2)复数的加(减)法可以推广到多个复数相加(减)的情形，即各复数的实部分别相加(减)，虚部分别相加(减)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 2．加法运算律 设z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝______， (2)(z1＋z2)＋z3＝______________． z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 知识点2　复数加、减法的几何意义 (1)若复数z1，z2所对应的向量分别为． 复数加 法的几 何意义 复数z1＋z2是以为邻边的平行四边形的对角线_____所对应的复数 复数减 法的几 何意义 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 (2)|z1＋z2||z1|＋|z2|； |z1－z2||z1|＋|z2|． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的加法运算符合实数加法的运算律． (　　) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数． (　　) (3)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立． (　　) (4)＋＝． (　　) × √ × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于________． －1＋i　[原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i．] －1＋i 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||等于________． 2　[(法一)易知A(1，1)，B(1，3)，故||＝＝2． (法二)||＝||＝|2i|＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 类型1　复数的加、减法运算 【例1】　【链接教材P35例1】 (1)(多选)若z－＝－14i，||＝5，则z可能为(　　) A．1－7i B．1＋7i C．－1－7i D．－1＋7i (2)计算：(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)＝________． (3)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝____． 关键能力·合作探究释疑难 √ √ －2＋2i 3 10.2.1　复数的加法与减法 (1)AC　(2)－2＋2i　(3)3　[(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 由题意可得 解得或 所以z＝1－7i或－1－7i． (2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i． (3)由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i， 又z1＋z2是纯虚数， 所以解得a＝3．] 【教材原题·P35例1】 例1　计算(2－5i)＋(3＋7i)－(5＋4i)． [解]　根据定义有 (2－5i)＋(3＋7i)－(5＋4i) ＝(2＋3－5)＋(－5＋7－4)i ＝－2i． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 发现规律　复数代数形式的加、减法运算的技巧 (1)复数的加、减法运算类似于合并同类项，实部与____合并，虚部与____合并． (2)复数的加、减法运算结果仍是____． (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算． (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用． 实部 虚部 复数 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 [跟进训练] 1．(1)计算：(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝_____________(a，b∈R)． (2)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________． －a＋(4b－3)i －4＋3i 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 (1)－a＋(4b－3)i　(2)－4＋3i　[(1)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i． (2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝， 所以|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i， 所以解得 所以z＝－4＋3i．] 类型2　复数加、减法的几何意义 【例2】　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i．求： (1)表示的复数； (2)对角线表示的复数； (3)对角线表示的复数． [思路引导]　利用复数的几何意义以及向量的运算求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 [解]　(1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i． (2)因为＝，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i． (3)因为对角线＝，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i． [母题探究] (变条件，变结论)将例题条件变为“已知平行四边形ABCD的顶点A，B，D对应的复数分别为1＋i，4＋3i，－1＋3i．”试求： (1)对应的复数； (2)点C对应的复数． [解]　(1)设坐标原点为O，则有＝， 所以对应的复数为(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 (2)由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝． 由(1)知＝－2＋2i，而＝， 所以对应的复数为(－2＋2i)＋(4＋3i)＝2＋5i， 所以点C对应的复数为2＋5i． 反思领悟　 1．复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的． (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 2．运用复数加、减法运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 [跟进训练] 2．已知▱ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O．求： (1)对应的复数； (2)对应的复数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 [解]　(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以＝，于是＝，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i． (2)因为＝， 而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即对应的复数是5． 类型3　复数的模的最值问题 【例3】　若z∈C，i为虚数单位，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值． [思路引导]　根据|z＋2－2i|＝1，结合复数减法的模的几何意义，判断出z对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得|z－2－2i|的最小值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 [解]　由|z＋2－2i|＝1得|z－(－2＋2i)|＝1，因此复数z对应的点Z在以z0＝－2＋2i对应的点Z0为圆心，1为半径的圆上，如图所示．设y＝ |z－2－2i|，则y是Z点到2＋2i对应的点A的距离． 又|AZ0|＝4，所以由图知ymin＝|AZ0|－1＝3． 所以|z－2－2i|的最小值为3． 反思领悟　两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r(r>0)表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数的模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 [跟进训练] 3．若复数z满足|z＋＋i|1，求|z|的最大值和最小值． [解]　由|z＋＋i|1得|z－(－－i)|1，因此复数z对应的点Z在以－－i对应的点M为圆心，1为半径的圆及其内部，如图所示， ||＝＝2． 所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 1．已知复数z满足z－2i＝1(其中i为虚数单位)，则|z|＝(　　) A．1 B． C． D． 学习效果·课堂评估夯基础 √ D　[由z－2i＝1，得z＝1＋2i， ∴|z|＝＝．故选D．] 10.2.1　复数的加法与减法 2．已知复数z满足|z－3＋4i|＝1，当z的虚部取最大值时，z＝(　　) A．3＋3i B．3－3i C．－3＋5i D．－3－5i √ B　[令z＝x＋yi(x，y∈R)，|z－3＋4i|＝1，则(x－3)2＋(y＋4)2＝1， y＋4∈[－1，1]， ∴y∈[－5，－3]， ∴ymax＝－3，x＝3， ∴z＝3－3i．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 3．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝___，y＝___． 6　11　[x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i， ∴ 解得] 6 11 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 4．若在复平面上的▱ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数是________． －1－7i　[由复数加、减法的几何意义可得＝)，其对应的复数为(－6－8i＋4－6i)＝－1－7i．] －1－7i 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ [提示]　是复数，唯一确定． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 2．复平面内两点间距离公式及复数形式的基本图形有哪些？ [提示]　(1)设复数z1，z2对应的两点Z1，Z2的距离为d，由复数减法的几何意义，可得复平面内两点间的距离公式d＝|z1－z2|． (2)|z－z1|＝r(r>0)表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆． (3)|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1－z2＝(　　) 课时分层作业(六)　复数的加法与减法 A．－1＋2i B．－2－2i C．1＋2i D．1－2i 35 B　[由题意知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i，故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．设z1＝x2－i，z2＝－1＋xi，x∈R，若z1＋z2为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．1或－1 A　[由z1＝x2－i，z2＝－1＋xi，则z1＋z2＝x2－i＋(－1＋xi)＝x2－1＋(x－1)i，若z1＋z2为纯虚数，则解得x＝－1．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 37 3．复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由题意得||＝|2i－1|＝，||＝|4＋2i|＝2，||＝5，∴||2＝||2＋||2．则△ABC是直角三角形．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 38 √ 4．设向量对应的复数分别为z1，z2，z3，那么(　　) A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0 C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[∵＝，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 39 √ 5．(多选)对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i为虚数单位，则下列结论中正确的是(　　) A．z－＝2a B．|z|＝|| C．z＋＝2a D．z＋＝2bi 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 BC　[因为z＝a＋bi(a，b∈R)， 所以|＝＝，所以B正确； z＋＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a，所以C正确，D错误．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 40 二、填空题 6．已知复平面上有点C(2，4)和点D，使得向量所对应的复数是1＋i，则点D的坐标为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (3，5)　[设O为坐标原点，因为＝(1，1)，＝(2，4)，＝， 所以＝＝(1，1)＋(2，4)＝(3，5)，即D点的坐标为(3，5)．] (3，5) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 41 7．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 42 3　[∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4， 由复数相等的条件知 解得∴a＋b＝3．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 43 8．(教材P42习题10-2AT7改编)已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2＋1　[如图所示，因为|z|＝1，所以z所对应点的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|的最大值为2＋1． 2＋1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 44 三、解答题 9．计算： (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a－bi)－(2a＋2bi)－3i(a，b∈R)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i． (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i． (3)(a－bi)－(2a＋2bi)－3i＝(a－2a)＋(－b－2b－3)i＝－a－3(b＋1)i(a，b∈R)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 45 √ 10．已知复数z＝i(i为虚数单位)，则|z－1|＝(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[因为z＝i，则z－1＝i－1＝i，故|z－1|＝ ＝．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 46 √ 11．(多选)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是(　　) A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上 B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 47 CD　[满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，A错误； 在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝．由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i，所以解得所以z＝－15＋8i，B错误； 由复数的模的定义知C正确； 由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 12．复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为________，最小值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　2　[|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i| ＝＝ ＝，当sin 2θ＝－1时，得最大值， 当sin 2θ＝1时，得最小值2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 49 13．已知复数z0＝i2＋(k＋1)i＋k(k∈R)是纯虚数，复数z满足|z＋z0|＝3，则复数z的模的最大值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5　[z0＝i2＋(k＋1)i＋k＝(k－1)＋(k＋1)i，由复数z0是纯虚数，得 所以k＝1，所以z0＝2i， 所以|z＋2i|＝3，所以在复平面内复数z对应的点在以(0，－2)为圆心，3为半径的圆上．故|z|max＝5．] 5 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 50 14．已知复数z满足|z|2＋2z－2i＝0． (1)求z； (2)比较|z|＋|z＋3i|与|2z＋3i|的大小． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则由|z|2＋2z－2i＝0，得a2＋b2＋2(a＋bi)－2i＝0，即a2＋b2＋2a＋ (2b－2)i＝0，所以 解得a＝－1，b＝1，所以z＝－1＋i． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 51 (2)|z|＋|z＋3i|＝|－1＋i|＋|－1＋4i|＝， |2z＋3i|＝|－2＋5i|＝， 因为()2－()2＝19＋2－29＝－10>0， 所以>， 所以|z|＋|z＋3i|>|2z＋3i|． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 15．已知|z1|＝|z2|＝1，z1＋z2＝i，求复数z1，z2及|z1－z2|． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　由于|z1＋z2|＝＝1． 设z1，z2，z1＋z2对应的向量分别为， 则||＝||＝||＝1，故A，B，C三点均在以原点为圆心，半径为1的圆上，如图． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 10.2.1　复数的加法与减法 53 易得cos ∠AOC＝，故∠AOC＝60°， 又由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形， ∴平行四边形OACB为菱形，且△BOC，△COA都是等边三角形，即∠AOB＝120°． 又与x轴正半轴的夹角为60°， ∴点A在x轴上，即A(1，0)． 而xB＝||cos 120°＝－， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 yB＝||sin 120°＝， ∴点B的坐标为． ∴或 ∴|z1－z2|＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 $