第十一章 微专题5 立体几何中的截面及球的切、接问题-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学立体几何中的截面及球的切接问题，先以直角圆锥轴截面（截面问题）为切入点，再系统梳理外接球（如正四棱柱、正三棱台）、内切球（如圆锥、四棱台）问题类型，通过例题构建从定义理解到空间结构分析的学习支架，配套选择、填空、解答题强化练习，形成完整知识链。 该资料特色在于融合数学文化（如《几何原本》直角圆锥、《九章算术》“阳马”），引导学生用数学眼光观察经典问题的空间形式。通过构造正方体转化正四面体外接球问题，培养数学思维中的空间观念与推理能力，例题解析步骤严谨，练习分层设计，课中辅助教师突破难点，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达空间关系的能力。

微专题5　立体几何中的截面及球的切、接问题 与球有关的内切与外接问题是立体几何中的热点之一，综合化倾向尤为明显，其求解过程需要有较强的空间想象能力及准确的运算能力．下面对球几何体的切接问题展开探究，以求更好地把握此类问题的解决思路． 类型1　立体几何中的截面问题 【例1】　《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为36π，则它的体积为(　　) A．18π B．72π C．64π D．216π B　[设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以h＝r，l＝r，所以πrl＝πr2＝36π，解得r＝6，所以该直角圆锥的体积为πr2h＝πr3＝×63＝72π，故选B．] 类型2　外接球问题 【例2】　(1)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各个顶点均在同一个球的球面上，则该球的体积为(　　) A． B．4π C．2π D． (2)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π (1)D　(2)A　[(1)如图， 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面为边长为1，侧棱长为，设H，I分别为下、上底面中心，HI的中点为O，所以O为外接球的球心，所以外接球半径R＝AO＝＝1，所以外接球体积V＝． (2)由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A．] 类型3　内切球问题 【例3】　已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． π　[圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r．作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2，△PEO∽△PDB，故，即，解得r＝，故内切球的体积为π×π． ] 微专题强化练(五)　立体几何中的截面及球的切、接问题 一、选择题 1．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′．剩下的几何体是(　　) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 C　[由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．] 2．将直径为的球削成一个体积最大的正方体，则这个正方体的表面积为(　　) A．3 B．6 C．3π D．6π B　[依题意，当正方体为球的内接正方体时，该正方体的体积最大，令此时正方体的棱长为a，则，解得a＝1，所以正方体的表面积为6a2＝6．故选B．] 3．已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离是(　　) A． B． C． D．2 A　[如图，构造正方体，则球心为正方体的中心O，易求得正方体棱长为2，设点O到平面ABC的距离为d，作CH垂直MN交MN于H， 由VO-ABC＝VC-ABO， 得S△ABC·d＝S△ABO·CH， 所以d＝．] 4．若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面面积分别为S1，S2，侧面积为S，则(　　) A．S2＝S1S2 B．S＝S1＋S2 C． D．S＝2 C　[设小球半径为R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，所以四棱台的体积等于以球心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，其高都是球的半径R，且棱台的高是2R，则四棱台的体积为V＝·2R， 得S＝S1＋S2＋2＝2， 即．故选C．] 5．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D-ABC体积的最大值为(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 B　[设等边三角形ABC的边长为x，则x2sin 60°＝得x＝6．设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值Vmax＝S△ABC×6＝．] 二、填空题 6．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P-ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的最长棱长为________；外接球表面积为________． 3　9π　[由题意得“阳马”P-ABCD可以看作是棱长为2，2，1的长方体的一部分，则该“阳马”的最长棱为长方体的体对角线，长度为＝3，该“阳马”的外接球为长方体的外接球，其表面积为4π×＝9π．] 7．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，且内接于球O，若正三棱柱ABC-A1B1C1的体积是则球O的表面积为________． 　[设AA1＝A1B1＝a，则正三棱柱ABC-A1B1C1的体积是，解得a＝2，则底面正三角形的外接圆半径r＝，所以球的半径R＝，所以球O的表面积为4πR2＝．] 8．已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为40π，则该三棱柱的体积为________． 12　[如图，设正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球O的半径为R，则4πR2＝40π，解得R＝， 因三棱柱ABC-A1B1C1有内切球，设内切球半径为r，则正三棱柱的高为2r， 连接△ABC，△A1B1C1的中心O2，O1，则线段O2O1的中点即为球心O， 依题意，△ABC内切圆半径为r，得O2C＝2r，AB＝2r， 则(2r)2＋r2＝R2，解得r＝，故三棱柱的体积为V＝2×2．] 三、解答题 9．为了求一个棱长为的正四面体体积，小明同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图①，则四面体ACB1D1为棱长是的正四面体，且有＝正方体＝． (1)如图②，一个四面体三组对棱长分别为，求此四面体外接球表面积； (2)若四面体ABCD每组对棱长分别相等，求证：该四面体的四个面都是锐角三角形． [解]　(1)由于四面体的对棱分别相等，结合长方体的面对角线性质，可以将其置于长方体中，使其顶点与长方体顶点重合，如图所示， 设此四面体所在长方体的棱长分别为a，b，c， 令解得得(2R)2＝a2＋b2＋c2＝6， ∴外接球的表面积为6π． (2)在四面体ABCD中，AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，如图，将四面体放置长方体中，使其顶点与长方体顶点重合． ∴四面体ABCD的四个面为全等三角形， 即只需证明一个面为锐角三角形即可． 设长方体的长、宽、高分别为a，b，c， 则AB2＝a2＋b2，BC2＝a2＋c2，AC2＝b2＋c2， ∴AB2＋BC2>AC2，AB2＋AC2>BC2，AC2＋BC2>AB2， ∴△ABC为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $