第十一章 探究课 祖暅原理的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦祖暅原理及其应用这一核心知识点，先阐释“幂势既同，则积不容异”的原理内涵，再通过构造底面半径为r、高为r的圆柱挖去同底等高圆锥的几何体，推导半球体积公式，最后结合“四脚帐篷”“正六棱台”典例巩固应用，形成原理理解、公式推导到实际问题解决的学习支架。 资料亮点在于以几何直观培养数学眼光，通过构造几何体展现空间形式，以逻辑推理发展数学思维，推导中严格依据截面面积相等推出体积相等，以典例应用强化数学语言，将不规则体积转化为规则几何体体积差。课中辅助教师直观教学，课后帮助学生巩固原理应用，查漏补缺。

　祖暅原理的应用 “幂势既同，则积不容异”即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则两个几何体的体积相同． 高中数学教材对球的体积公式V球＝πr3(r为球的半径)作了要求，但只是简单地说“利用祖暅原理和圆柱、圆锥的体积公式”可得出此公式． 下面利用祖暅原理简单证明，为方便起见，现只计算半球的体积，正如教材中所说的方法，利用祖暅原理的关键是要构造一个和半球等高且横截面面积处处相等的几何体． 如图． 在一个底面半径为r、高为r的圆柱中挖去一个底面半径为r、高为r的圆锥， 则距离下底面h的横截面为一圆环，面积为πr2－πh2． 又半球距离下底面h的横截面为一个圆，由勾股定理，半径为，面积也为π(r2－h2)． 因此，所构造几何体的体积与半球的体积相等，为圆柱的体积减去圆锥的体积， 即πr2·r－πr2·r＝πr3， 所以球的体积为V球＝πr3． 【典例】　我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差．图①是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥(如图②)，从而求得该帐篷的体积为(　　) A． B． C． D． B　[根据题意，底面正方形的边长为，高为1，根据题意，可知该帐篷的体积为V＝，故选B．] 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之和他的儿子祖暅总结了魏晋时期数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，即：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理称为“祖暅原理”．一个上底面边长为1，下底面边长为2，侧棱长为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为(　　) A． B．16 C．18 D．21 D　[由“祖暅原理”知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，因为正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，设上底面面积为S1，下底面面积为S2，高为h， 则S1＝6×， S2＝6×， 所以V＝h＝＝21，所以该不规则几何体的体积为21．故选D．] 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $