第九章 微专题1 三角形解的个数的判断策略-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“已知三角形两边及一边对角解的个数判断”核心知识点，系统梳理A为钝角或直角、锐角时的解的情况，通过“一解、两解、参数求解”三类例题搭建学习支架，衔接正弦定理应用与解三角形综合问题。 该资料以分类讨论为核心设计亮点，结合例2多选结合面积、外接圆半径判断两解等实例，培养学生逻辑推理（数学思维）和从数学角度分析问题（数学眼光）的能力。强化练习覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升解三角形问题的分析与表达（数学语言）能力。

微专题1　三角形解的个数的判断策略 在已知三角形中两边及一边的对角解三角形时，有时会遇到解的个数不确定的情况，这时应根据给出的已知条件进行合理的判断．已知a，b，A，△ABC解的情况如图所示． (1)A为钝角或直角时，解的情况如下： (2)A为锐角时，解的情况如下： 类型1　三角形有一个解 【例1】　在△ABC中，若b＝3，c＝，B＝45°，则此三角形解的情况为(　　) A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不能确定 C　[由正弦定理＝， 得sin C＝＝＝<＝sin B， 因为c<b，则C<B，故C为锐角，故满足条件的△ABC只有一个． 故选C．] 类型2　三角形有两个解 【例2】　(多选)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S和R分别为△ABC的面积和外接圆半径．若b＝2，c＝3，则选项中能使△ABC有两解的是(　　) A．B＝30° B．C＝30° C．S＝3 D．R＝2 AD　[对于A，由b＝2，c＝3，B＝30°，由于c sin B＝3×＝，且c sin B<b<c，因此有两个解； 对于B，b＝2，c＝3，C＝30°，则由正弦定理，得sin B＝＝<，且b<c，因此B只能是锐角，故只有一解； 对于C，由b＝2，c＝3，S＝3得S＝bc sin A⇒sin A＝＝1⇒A＝，故只有一解； 对于D，由R＝2得sin B＝＝，所以B＝或B＝，由于b＝2，c＝3⇒B<C，所以B＝，由选项A可知有两解． 故选AD．] 类型3　根据三角形解的个数求解参数的值 【例3】　在△ABC中，已知cos A＝，sin B＝a，若cos C有唯一值，则实数a的取值范围为(　　) A． B．∪{1} C．∪{1} D． C　[由cos A＝可得A∈，且sin A＝＝，若0<a，则sinBsin A，由正弦定理可得ACBC，则BA，所以B为锐角，此时B唯一，则C也唯一，所以cos C有唯一值． 当sin B＝a＝1时，B＝，则此时B唯一，则C也唯一，所以cos C有唯一值． 当<a<1时，因为sin B＝a，根据正弦函数图象易知，方程sin B＝a在(0，π)上存在两个根，所以B存在两个值满足sin B＝a，所以不成立．故选C．] 微专题强化练(一)　三角形解的个数的判断策略 一、选择题 1．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝8，B＝．若△ABC有两解，则b的值可以是(　　) A．4 B．5 C．7 D．10 BC　[如图，要使△ABC有两个解，则c sin B<b<c， 即8sin <b<8，解得4<b<8．故选BC．] 2．在△ABC中，b＝，a＝2，B＝，则此三角形(　　) A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 C　[因为b＝，a＝2，B＝，所以顶点C到AB的距离d＝a sin B＝2sin ＝3， 因为b＝，d<<a，所以此三角形有两解．故选C．] 3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　) A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 A　[因为b<a，A＝30°，所以B<30°，故三角形有一解．] 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，A＝30°，b＝x，则(　　) A．当x＝时，B＝45° B．当x>1时，△ABC有两个解 C．当0<x<1时，△ABC只有一个解 D．对一切x>0，△ABC都有解 C　[因为a＝1，A＝30°，b＝x，所以由正弦定理可得＝，即sin B＝x． 当x＝时，sin B＝，此时b>a，故30°<B<150°，所以B＝45°或B＝135°，故A错误； 当x＝4时，sin B＝2，又0<sin B1，此时△ABC无解，故B、D错误； 当0<x<1时，b<a，则B<A＝30°，此时B只有一解，即△ABC只有一个解，故C正确．故选C．] 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°，c＝，a＝x，若满足条件的三角形只有1个，则x的取值范围是(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|0<x或x＝2} C．{x|0<x} D．{x|<x<2} B　[由正弦定理得＝＝＝2， 则sin A＝，又满足条件的三角形只有1个， 则0<或＝1，解得0<x或x＝2．故选B．] 二、填空题 6．在△ABC中，b＝10，A＝，若角B有两个解，则a的取值范围是________． 　[由正弦定理＝，则sin B＝＝，因为角B有两个解，又A＝，所以<B<且B≠，所以<sin B<1，即<<1，解得5<a<10， 即a的取值范围是．] 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝120°，c＝10，如果△ABC可解，则a的取值范围是________． (10，＋∞)　[由正弦定理＝，得a＝＝， 因为A＝120°，所以0°<C<60°， 所以0<sin C<，所以>， 所以a>10． 所以a的取值范围是(10，＋∞)．] 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝30°，b＝2，且△ABC有两解，设边a的所有可能取值构成集合D，则函数f (x)＝(x∈D)的值域为________． 　[由题意得，当△ABC有两解时，b sin 30°<a<b，即1<a<2，所以对于x∈D有2<2x<4，所以<<1，即函数f (x)(x∈D)的值域为．] 三、解答题 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形． [解]　在△ABC中，由正弦定理＝， 得＝，解得sin B＝， 又因为B∈，B>C＝30°，所以B＝60°或120°， 当B＝60°时，A＝180°－30°－60°＝90°， a＝＝2． 当B＝120°时，A＝180°－30°－120°＝30°， 所以△ABC为等腰三角形， 所以a＝c＝． 综上，B＝60°，A＝90°，a＝2或B＝120°，A＝30°，a＝． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $