11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦“祖暅原理与几何体的体积”核心知识点，前承几何体结构特征与表面积，通过祖暅原理推导柱体、锥体、台体、球体的体积公式，构建“原理—公式—应用”学习支架，系统衔接体积计算方法。 资料融入祖暅原理历史背景渗透数学文化，以矩形卷圆柱等实例培养数学抽象与数学运算素养，通过割补法、等体积法强化解题思维。课中助力教师高效授课，课后分层作业与跟进训练帮助学生巩固提升，弥补知识盲点。

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 1．了解祖暅原理，并会进行简单应用．(数学抽象) 2．了解柱体、锥体、台体、球体的体积公式和计算方法．(数学运算) 3．能够选择合理的方法，求解柱体、锥体、台体、球体的体积．(数学运算) 祖暅(ɡènɡ)，祖冲之之子，是我国古代南北朝时期的数学家，他在总结前人研究的基础上，总结出祖暅原理．在欧洲直到17世纪，才由意大利的卡瓦列里提出这个事实． 知识点1　祖暅原理 (1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等”． (2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等． 知识点2　柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径． 名称 体积(V) 柱体 棱柱 Sh 圆柱 πr2h 锥体 棱锥 圆锥 πr2h 台体 棱台 圆台 πh(r2＋rr′＋r′2) 球 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差． (　　) (2)锥体的体积等于底面面积与高之积． (　　) (3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ [提示]　(1)由台体的定义可知台体的体积可转化为两个锥体的体积之差． (2)锥体的体积等于底面面积与高之积的． (3)沿着三棱柱的三个面对角线，其中有两对共点，将三棱柱割开，则这三个三棱锥的体积相等，所以该命题正确． 2．圆锥底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的体积为________． 12π　[V圆锥＝πr2h， 由r＝3，l＝5得h＝4(其轴截面如图)，所以V圆锥＝×π×9×4＝12π．] 3．已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为________． 28　[因为S上底＝4，S下底＝16，h＝3， 所以台体＝×3＝28．] 4．球的体积是，则此球的表面积是________． 16π　[设球的半径为R，则V＝π，所以R＝2，所以表面积S＝4πR2＝16π．] 类型1　求柱体的体积 【例1】　用一块长4 m，宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒，如何制作可使铁筒的体积最大？ [解]　①若以矩形的长为圆柱的母线l， 则l＝4 m，此时圆柱底面周长为2 m， 即圆柱底面半径R＝ m， 所以圆柱的体积V＝πR2l＝π(m3)． ②若以矩形的宽为圆柱的母线，同理可得V＝(m3)， 所以第二种方法可使铁筒体积最大． 　柱体体积问题的处理方法 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高．圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素． [跟进训练] 1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1，若AB⊥AC，AB＝4 cm，AC＝3 cm，AA1＝5 cm，BD＝2 cm，则剩余部分的体积为______cm3． 24　[由题图可知所求的体积V＝×3×4×3＝24．] 类型2　求锥体的体积 【例2】　【链接教材P84例1】 如图，三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥的体积之比． [思路引导]　 [解]　设棱台的高为h，S△ABC＝S，因为AB∶A1B1＝1∶2，所以＝4S． 所以＝S△ABC·h＝Sh， Sh． 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， 所以VB-A1B1C＝V ＝Sh， 所以三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1的体积比为1∶2∶4． 【教材原题·P84例1】 例1　如图11-1-55所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，求棱锥D′-A′CD的体积与长方体的体积之比． [解]　已知的长方体可以看成直四棱柱ADD′A′-BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则长方体的体积为 VADD′A′-BCC′B′＝Sh． 因为棱锥D′-A′CD可以看成棱锥C-A′DD′，且△A′DD′的面积为S，棱锥C-A′DD′的高是h，所以VD′-A′CD＝VC-A′DD′＝Sh． 因此所求体积之比为1∶6． 　割补法与等体积法求锥体体积 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等体积法也是常用的求锥体体积的一种方法． [跟进训练] 2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥，求剩余部分的体积． [解]　＝S△ABD·A1A＝ ＝a3－a3． 类型3　求台体的体积 【例3】　【链接教材P85例2】 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2．求正四棱台的体积． [思路引导]　可以尝试借助四棱台内的直角梯形，求出棱台底面积和高，从而求出体积． [解]　如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm．取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形． 由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13 cm，在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm， 所以O1O＝＝12 (cm)， V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3)． 故正四棱台的体积为2 800 cm3． [母题探究] (变条件)本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，”求该棱台的体积． [解]　如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm， 则O1B1＝cm， OB＝2cm， 过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中， BB1＝2 cm，MB＝2(cm)． 根据勾股定理得 MB1＝(cm)． S上＝22＝4(cm2)， S下＝42＝16(cm2)， 所以V正四棱台＝ ＝ (cm3)． 【教材原题·P85例2】 例2　已知四棱台上、下底面面积分别为S1，S2，而且高为h，求这个棱台的体积． [解]　如图11-1-56所示，将四棱台看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥P-A1B1C1D1所得到的，且设两个棱锥的高分别为PO与PO1． 由已知有 ， 再由PO－PO1＝OO1＝h，因此可得 PO1＝ h，PO＝ h． 从而可知棱台的体积为 V＝×S1×PO1 ＝ ＝ ＝ ＝． 　求台体体积的技巧 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系． [跟进训练] 3．圆台轴截面等腰梯形的腰长为a，下底边长为2a，对角线长为a，则这个圆台的体积是(　　) A．πa3 B．πa3 C．πa3 D．πa3 D　[如图，取CD，AB的中点分别为E，F，由AD＝a，AB＝2a，BD＝a知∠ADB＝90°，分别过D点、C点作DH⊥AB，CG⊥AB， 知DH＝a，所以HB＝a，所以DE＝HF＝a，所以V圆台＝πa3．] 类型4　求球的体积 【例4】　(1)阿基米德是古希腊的数学家、物理学家和天文学家，他推导出的结论“圆柱内球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径．如图所示，若球的体积为12π，则圆柱的体积为(　　) A．8π B．12π C．18π D．24π (2)若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为________． (1)C　(2)　[(1)设球半径为R，依题意，R3＝12π，解得R3＝9，显然，圆柱的底面圆半径为R，高h＝2R，所以圆柱的体积为πR2h＝2πR3＝18π． (2)设球的半径为R，V圆锥＝πR2·2R＝πR3， V球＝πR3，．] 　计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径R，一般题目不直接给出球的半径，而是隐藏在某些条件中，解题过程中，一定要注意挖掘隐含条件． [跟进训练] 4．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积． [解]　因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5， 所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°． 又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心， 也是Rt△ABC的外接圆的圆心， 所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)， 设O′C＝r，OC＝R， 则球半径为R，截面圆半径为r， 在Rt△O′CO中， 由题设知sin ∠O′CO＝， 所以∠O′CO＝30°，所以＝cos 30°＝， 即R＝r，(*) 又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝10． 所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝1 200π． 球的体积为V＝πR3＝π×3＝π． 1．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 A　[由题意，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3，即圆台的高为3．] 2．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π B　[设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2，故r＝3， 故圆锥的体积为π×9×π．故选B．] 3．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________． π　[易知圆锥的母线长为l＝2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π·2，∴r＝1，则高h＝． ∴V圆锥＝πr2·h＝π×12×π．] 4．(2025·上海卷)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BD＝4，DB1＝9，则该正四棱柱的体积为________． 112　[在△BB1D中，BB1＝＝7．在△ABD中，AB2＋AD2＝BD2，因为AB＝AD，BD＝，所以AB＝AD＝4，则该正四棱柱的体积为4×4×7＝112．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等，需要几个条件？分别是什么？ [提示]　需要三个条件，分别是： ①这两个几何体夹在两个平行平面之间． ②平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面． ③两个截面的面积总相等． 2．柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系？ [提示]　 3．将球的表面积公式S球＝4πR2和球的体积公式V球＝πR3从公式结构上进行比较，你能发现S球和V球的关系吗？ [提示]　半径为R的球，其体积V球和表面积S球有以下关系：V球＝S球·R． 4．不规则几何体的体积问题的求解策略是怎样的？ [提示]　若几何体是组合体，可将其分解为若干个“柱、锥、台、球”的基本型，再根据相关公式求解．还有很多的题型主要应用化归与转化的思想化不规则为规则，以“分割”“补形”为工具将不规则图形转化为常见的几何体的形式． 祖暅原理与柱体、锥体的体积 下面我们用祖暅原理推导柱体和锥体的体积公式． 设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一平面内(图①)．根据祖暅原理，可知它们的体积相等．由于长方体的体积等于它的底面积乘高，于是我们得到柱体的体积公式V柱体＝Sh．其中S是柱体的底面积，h是柱体的高． 设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体(例如一个棱锥和一个圆锥)，使它们的底面在同一平面内(图②)．根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等．这就是说，等底面积等高的两个锥体的体积相等． 如图③，设三棱柱ABC-A′B′C′的底面积(即△ABC的面积)为S，高(即A′到平面ABC的距离)为h，则它的体积为Sh，沿平面A′BC和平面A′B′C，将这个三棱柱分割为3个三棱锥．其中三棱锥1，2的底面积相等(S△A′AB＝S△A′B′B)，高也相等(点C到平面ABB′A′的距离)，三棱锥2，3也有相等的底面积(S△B′BC＝S△B′C′C)和相等的高(点A′到平面BCC′B′的距离)．因此，这3个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是Sh． 如果三棱锥A′-ABC(即三棱锥1)以△ABC为底，那么它的底面积是S，高是h，而它的体积是Sh．这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘高的积的三分之一． 事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积，即这个锥体的体积为V锥体＝Sh． 这就是锥体的体积公式． 柱体和锥体是两种基本几何体，它们的体积公式有着广泛的应用． 课时分层作业(十四)　祖暅原理与几何体的体积 一、选择题 1．充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行．现有一个飞艇，若要它的半径扩大为原来的4倍，那么它的体积应增大到原来的　(　　) A．4倍 B．8倍 C．64倍 D．16倍 C　[设气球原来半径为R，则现在半径为4R，此时体积V＝π(4R)3＝64×．] 2．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为(　　) A．1 B． C． D． D　[设圆柱底面半径为R，圆锥底面半径r，高都为h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R． 故V柱∶V锥＝πR2h∶πr2h＝． 故选D．] 3．阿基米德发现的“圆柱容球”．设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆(球大圆为过球心的平面和球面的交线)为底，以球的直径为高，球位于圆柱内．则球的表面积与圆柱的体积的数值之比为(　　) A．4∶3 B．3∶2 C．2∶1 D．8∶3 C　[由题意知球的直径为2，即球半径R＝1，则球的表面积S＝4πR2＝4π． 圆柱底面圆半径r＝R＝1，高h＝2，则圆柱体积V＝πr2h＝2π．故球的表面积与圆柱的体积的数值之比S∶V＝4π∶2π＝2∶1．故选C．] 4．据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2 cm、下底面半径为3 cm 且母线为cm 的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍(圆台与半球均为实心)，圆台的质量为190 g，则该不倒翁的总质量为(　　) A．370 g B．490 g C．650 g D．730 g D　[如图，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，且过点A作AH⊥BC，垂足为H， 则由题意得，AB＝ cm，AD＝4 cm，BC＝6 cm， 所以BH＝(BC－AD)＝1(cm)， AH＝＝3(cm)， 故圆台的体积V1＝×3×＝19π(cm3)， 又半球的体积V2＝×33＝18π(cm3)， 因为半球的密度为圆台密度的3倍，所以半球的质量为×190×3＝540(g)， 故该不倒翁的总质量为190＋540＝730(g)．故选D．] 5．(多选)如图是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且∠ABC＝120°，则该圆台的(　　) A．高为4 B．体积为π C．表面积为34π D．上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶22 AC　[设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝×2π×3，2πR＝×2π×9，解得r＝1，R＝3．圆台的母线长l＝6，圆台的高为h＝，则选项A正确； 圆台的体积＝π×4π，则选项B错误； 圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为×6＝24π，则圆台的表面积为π＋9π＋24π＝34π，则C正确； 由前面可知上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶24，则选项D错误．故选AC．] 二、填空题 6．已知正六棱锥的底面面积为6，侧棱长为，则这个棱锥的体积为________． 2　[如图所示的正六棱锥S-ABCDEF中，O是底面中心，SC＝，SO为六棱锥的高， 设底面边长为a，则正六边形的面积为6×解得a＝2，所以OC＝2， 在Rt△SOC中，SO＝＝1， 所以这个棱锥的体积V＝．] 7．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是________． 54　[设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，所以πr2h1＝12．令原圆锥的高为h，由相似知识得，所以h＝h1，所以V原圆锥＝×h＝3πr2××12＝54．] 8．边长为3的正方形ABCD的四个顶点都在球O上，OA与对角线AC的夹角为45°，则球O的体积为________． 36π　[因为边长为3的正方形ABCD的四个顶点都在球O上，则正方形ABCD的外接圆是球O的截面小圆，其半径为r＝， 令正方形ABCD的外接圆圆心为O1，由球面的截面小圆性质知△OO1A是直角三角形，且有OO1⊥AC，而OA与对角线AC的夹角为45°，即△OO1A是等腰直角三角形，球O半径R＝r＝3，所以球O的体积为V＝πR3＝36π．] 三、解答题 9．已知在圆锥SO中，底面⊙O的直径AB＝12，△SAB的面积为48． (1)求圆锥SO的表面积； (2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间的体积． [解]　(1)设圆锥SO的母线长为l，底面⊙O的直径为2r，所以2r＝12，r＝6． 因为△SAB的面积为48，所以S△SAB＝·2r·SO＝48，解得SO＝8， 由勾股定理，可得母线l＝＝10， 由圆锥的表面积公式得，S表＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝60π＋36π＝96π． (2)如图所示，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为D， 则DE⊥SB于E，DE＝OD＝R(其中R为球的半径)， 则△SED∽△SOB， 可得DE∶BO＝SD∶SB， 即，解得R＝3， 所以球的体积V1＝πR3＝×π×33＝36π，圆锥的体积V2＝πr2h＝π×62×8＝96π， 故圆锥体剩余的空间体积为V＝V2－V1＝60π． 10．将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为2π，则该几何体的体积为(　　) A． B． C． D． C　[由题意，该几何体是以等腰直角三角形斜边上的高为底面圆半径，两条直角边分别为母线的两个共底面的圆锥组合而成．设其中的一个圆锥底面圆半径为r，则每个圆锥的高为r，母线为r，则该几何体的表面积为2πr·π，解得r＝1．所以该几何体的体积为2·πr2·r＝．故选C．] 11．白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑(蒸锅)，蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图①是某白酒杯，可将它近似地看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图②是其直观图(图中数据的单位：cm)，则该组合体的体积为(　　) A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 D　[由题可知圆柱部分的底面半径r1＝ cm，高为h1＝6 cm， 所以圆柱的体积为V1＝h＝π×， 圆台部分上底面半径为r1＝ cm，下底面半径为r2＝1 cm，高为h2＝4 cm， 所以圆台部分的体积为V2＝＝π×4×(cm3)， 则该组合体的体积为V＝V1－V2＝(cm3)．故选D．] 12．如图①，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体．当这个几何体如图②水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图③水平放置时，液面高度为28 cm，则这个几何体的总高度为________ cm． 29　[设半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱的高分别为h1 cm和h2 cm，则由题意知π·32·h2＋π·12·(20－h2)＝π·12·h1＋π·32·(28－h1)，整理得8π(h1＋h2)＝232π，所以h1＋h2＝29．] 13．已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________． 　[由题意可得两个圆台的高分别为h甲＝(r2－r1)， h乙＝(r2－r1)， 两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比， 所以．] 14．如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积． [解]　由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面． 过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝4，EC＝3，所以DC＝5， S半球＝8π cm2， S圆台侧＝π(2＋5)×5＝35π(cm2)， S圆台底＝25π cm2， 故所求几何体的表面积为 8π＋35π＋25π＝68π(cm2)． 因为V圆台＝×4＝52π(cm3)， V半球＝π×23×π(cm3)， 所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3)． 15．在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭．在方亭ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为12，则该方亭的体积为(　　) A． B． C． D． B　[如图，过A1作A1E⊥AB，垂足为E， 由四个侧面的面积之和为12知，侧面ABB1A1的面积为3， 所以(AB＋A1B1)·A1E＝3(梯形的面积公式)，则A1E＝． 由题意得，AE＝(AB－A1B1)＝1， 在Rt△AA1E中，AA1＝． 连接AC，A1C1，过A1作A1F⊥AC，垂足为F， 易知四边形ACC1A1为等腰梯形且AC＝4， 则AF＝，所以A1F＝＝1， 所以该方亭的体积V＝×1＝．] 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $