10.3 复数的三角形式及其运算-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“复数的三角形式及其运算”核心知识点，从复数几何意义切入，通过复平面内点与向量关系引入三角形式，系统讲解模、辐角、辐角主值概念及代数形式与三角形式转化，进而阐述乘除法运算规则（模乘除、辐角加减）及几何意义，构建从概念到运算再到应用的学习支架。 该资料以数学抽象为核心，通过问题链引导学生从代数形式联想三角形式，结合几何意义（如乘法对应向量旋转与模相乘）培养数学思维，例3用复数乘法证明角度关系体现学科特色。课中助力教师通过例题突破难点，课后分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用与数学语言表达能力。

*10.3　复数的三角形式及其运算 1．通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．(数学抽象) 2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．(数学抽象) 1．如图①，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y? 2．我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量＝(a，b)也是一一对应的，如图②，你能用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？ 知识点1　复数的三角形式 一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝． 根据任意角余弦、正弦的定义可知 cos θ＝，sin θ＝． 因此a＝r cos θ，b＝r sin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(r cos θ)＋(r sin θ)i＝r(cos θ＋isinθ)． 上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角． 显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0，2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z． 1．复数0的辐角是多少，辐角主值是多少？ [提示]　0的辐角是任意角，辐角主值是[0，2π)内任一角． 2．把一个复数表示成三角形式时，辐角θ一定要取主值吗？ [提示]　不一定，例如也是1－i的三角形式． 知识点2　复数三角形式的乘除法 若复数z1＝r1(cos θ1＋isinθ1)，z2＝)，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isinθ1)×r2(cos θ2＋isinθ2) ＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)＝ ＝ [cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](z2≠0)． (3)[r(cos θ＋isinθ)]n＝rn[cos (nθ)＋isin(nθ)](n∈N)． 1．(多选)复数－－i的辐角可能是(　　) A． B． C．－ D． BCD　[因为复数－－i的辐角为＋2kπ，且当k＝0时，为；当k＝－1时，为－，当k＝1时，为，不存在的情况．] 2．“两个复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2成立”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，一定可以推出z1＝z2，充分性成立；但当z1＝z2时，不一定非要z1，z2的辐角相等，它们可以相差2π的整数倍，故必要性不成立．综上，“两个复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2成立”的充分不必要条件．故选A．] 3．复数z＝1＋i的三角形式为z＝________． 　[r＝，cos θ＝＝， 又因为1＋i对应的点位于第一象限， 所以arg(1＋i)＝， 所以z＝．] 类型1　复数的代数形式与三角形式的互化 【例1】　【链接教材P44例1】 将下列复数化为三角形式： (1)－1－i；(2)ai(a∈R)． [解]　(1)－1－i＝2 ＝2． (2)当a0时，ai＝a； 当a<0时，ai＝－a． 【教材原题·P44例1】 例1　把下列复数的代数形式改写成三角形式． (1)1－i；　(2)2i；　(3)－1． [解]　(1)由题意可知1－i ＝＝ ＝． (2)因为2i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以易知 |2i|＝2，arg(2i)＝， 从而可知2i＝2． (3)因为－1在复平面内所对应的点在x轴负半轴上，所以易知 |－1|＝1，arg(－1)＝π， 从而可知－1＝cos π＋isinπ． 　复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)确定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式． 提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的辐角主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式的辐角不一定取辐角主值． [跟进训练] 1．将下列复数化为三角形式： (1)－cos ＋； (2)sin θ＋icos θ． [解]　(1)－cos ＋＝cos ＋＝cos ＋． (2)sin θ＋icos θ＝cos ＋． 类型2　复数三角形式的乘、除运算 【例2】　【链接教材P46例2】 计算： (1)8×4； (2)(cos 225°＋isin225°)÷[(cos 150°＋isin150°)]． [解]　(1)8×4 ＝32 ＝32 ＝32 ＝32 ＝16＋16i． (2)(cos 225°＋isin225°)÷[(cos 150°＋isin150°)] ＝[cos (225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝(cos 75°＋isin75°) ＝ ＝i ＝i． 【教材原题·P46例2】 例2　求的值． [解]　因为 1＋i＝， －i＝2， 1＋i＝2， 所以 原式＝ ＝2＝2＋2i． 　复数三角形式的乘除法 (1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减． (3)复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍． [跟进训练] 2．(1)已知z1＝，z2＝2，求z1z2． (2)(源自北师大版教材)计算，并把结果化为代数形式． [解]　(1)z1z2＝×2 ＝×2 ＝3 ＝－i． (2)原式＝2 ＝2＝2(0＋i)＝2i． 类型3　复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例3】　【链接教材P47例3】 把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数式和它的辐角主值． [解]　由复数乘法的几何意义得 z1＝z2， 又z2＝－1－i＝2， ∴z1＝ ＝2 ＝－i， ∴z1的辐角主值为． 【教材原题·P47例3】 例3　如图10-3-5所示，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明α＋β＋γ＝． [证明]　假设每个正方形的边长为1，建立如图10-3-5所示平面直角坐标系，确定复平面．由平行线的内错角相等可知，α，β，γ分别等于复数3＋i，2＋i，1＋i的辐角主值，因此α＋β＋γ应该是(3＋i)(2＋i)(1＋i)的一个辐角．又因为 (3＋i)(2＋i)(1＋i)＝(5＋5i)(1＋i)＝10i， 而arg(10i)＝，所以存在整数k，使得α＋β＋γ＝＋2kπ．注意到α，β，γ都是锐角，于是k＝0，从而 α＋β＋γ＝． 　设z1，z2对应的向量分别为，z1，z2的模分别为r1，r2，辐角分别为θ1，θ2． (1)复数乘法的几何意义：绕原点O逆时针方向旋转θ2，得到，再将的模变为原来的r2倍，如果所得向量为，则对应的复数为z1z2． (2)复数除法的几何意义：绕原点O顺时针方向旋转θ2，得到，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为，则对应的复数为． [跟进训练] 3．如图，复平面内的等边△OBC，B的坐标为(1，1)，求点C的坐标． [解]　因为B的坐标为(1，1)，所以|OB|＝， 所以＝(1，1)对应的复数为1＋i， 又1＋i＝＝， 将绕点O顺时针方向旋转得 ＝ ＝ ＝ ＝i， 所以点C的坐标为． 1．复数1－i的辐角主值是(　　) A． B． C． D． A　[因为1－i＝2＝2， 所以复数1－i的辐角主值为．] 2．(教材P48习题10-3AT5(1)改编)＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i C　[ ＝ ＝cos ＋ ＝i． 故选C．] 3．(教材P48习题10-3AT7改编)将复数i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是(　　) A．i B．－i C．－i D．i B　[i＝cos ＋，将绕原点按逆时针方向旋转得到＝＝cos ＋＝－i．] 4．8i÷[2(cos 45°＋isin45°)]＝________． 2＋2i　[8i÷[2(cos 45°＋isin45°)] ＝8(cos 90°＋isin90°)÷[2(cos 45°＋isin45°)] ＝4[cos (90°－45°)＋isin(90°－45°)] ＝4(cos 45°＋isin45°) ＝2＋2i．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．每一个复数都有唯一的模与辐角主值吗？ [提示]　不一定，复数0的辐角主值有无数个，每一个不等于零的复数才有唯一的模与辐角主值． 2．使用复数的三角形式进行运算的条件是什么？辐角要求一定是主值吗？ [提示]　使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值． 3．两个复数的积仍然是一个复数吗？任意多个复数的积呢？ [提示]　两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数． 4．复数除法运算的几何意义是什么？ [提示]　两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量 绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的(r2>1，应缩短；0<r2<1，应伸长；r2＝1，模长不变)，得到向量表示的复数就是商z1÷z2．这是复数除法的几何意义． 课时分层作业(八)　复数的三角形式及其运算 一、选择题 1．复数sin 4＋icos 4的辐角主值为(　　) A．4 B．－4 C．2π－4 D．－4 D　[sin 4＋icos 4＝cos ＋．] 2．复数2÷的三角形式是(　　) A．2 B． C． D． C　[2÷ ＝ ＝ ＝． 故选C．] 3．9(cos 3π＋isin3π)÷[3(cos 2π＋isin2π)]＝(　　) A．3 B．－3 C．i D．－i B　[9(cos 3π＋isin3π)÷[3(cos 2π＋isin2π)] ＝3[cos (3π－2π)＋isin(3π－2π)] ＝3(cos π＋isinπ)＝－3． 故选B．] 4．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝(　　) A．1＋i　 B．1－i C．－i　 D．＋i D　[由复数z的模为2，辐角为， 可得z＝2＝－1＋i． 所以＝＝＝＋i． 故选D．] 5．复数z＝(cos 40°＋isin40°)6的结果是(　　) A．i B．i C．－i D．－i D　[z＝(cos 40°＋isin40°)6＝cos 240°＋isin240°＝－i．故选D．] 二、填空题 6．已知z＝cos ＋，则arg z2＝________． π　[因为arg z＝，所以arg z2＝2arg z＝2×＝．] 7．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角主值是________． 　[由题知，z1＝2， z2＝2， 所以的辐角主值为＝．] 8．设z＝1－2i对应的向量为，将绕原点按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数的虚部为________． －　[所得向量对应的复数为 (1－2i)×[cos (－30°)＋isin(－30°)]＝(1－2i)＝i， 故虚部为－．] 三、解答题 9．(源自苏教版教材)计算下列各式，并把结果化成代数形式： (1)2×3； (2)÷． [解]　(1)原式＝6 ＝6＝6＝3＋3i． (2)原式＝ ＝＝＝i． 10．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是(　　) A．±i B．－±i C．±i D．±i D　[∵－i＝cos ＋， ∴－i的立方根为cos ＋(其中，k＝0，1，2)．当k＝0时，得cos ＋＝i． 当k＝1时，得cos ＋＝－i． 当k＝2时，得cos ＋＝i． 故选D．] 11．复数都可以表示为z＝|z|(cos θ＋isinθ)(0θ<2π)，其中|z|为复数z的模，θ称为复数z的辐角主值．已知复数z满足＝1＋i，则z的辐角主值为(　　) A． B． C． D． C　[由＝1＋i，得z＝＝＝－1－i，故z＝－1－i＝＝，所以z的辐角主值为．故选C．] 12．设＝f (x)＋ig (x)，其中f (x)，g (x)均为实系数多项式，则f (x)的系数之和是(　　) A．－ B．1 C．－ D． D　[因为＝f (x)＋ig (x)，取x＝1， 所以＝f (1)＋ig (1)， 所以cos ＋＝f (1)＋ig (1)＝i． 则f (1)＝，故选D．] 13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈，则z的三角形式为________． 2　[由z2＋2z＋4＝0， 得z＝(－2±2i)＝－1±i． 因为arg z∈，所以z＝－1－i应舍去， 所以z＝－1＋i＝2．] 14．已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2． [解]　由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝， 所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg z2＝， 所以z2＝＝i， z1＝z2＝(1＋i)z2＝＝2＝－＋i． 15．已知复数z＝i，ω＝i，复数，z2ω3在复平面上所对应的点分别为P，Q．求证：△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)． [证明]　z＝i＝cos ＋， ω＝i＝cos ＋， ∴zω＝cos ＋ ＝cos ＋， ∴＝cos ＋． 又z2ω3＝＝cos ＋， 因此OP，OQ的夹角为＝． ∴OP⊥OQ，又|OP|＝||＝1，|OQ|＝|z2w3|＝1， ∴|OP|＝|OQ|， ∴△OPQ为等腰直角三角形． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $