10.2.2 复数的乘法与除法-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦复数的乘法与除法核心知识点，从实数运算律引入复数乘法定义，系统梳理运算律、i的周期性、除法法则及实系数一元二次方程解集，构建从定义到应用的完整学习支架。 资料融合数学抽象、运算与推理素养，通过思考辨析纠正认知误区，例题链接教材并设母题探究，分层作业兼顾基础与提升。课中助力教师高效授课，课后学生可借训练与总结查漏补缺，深化复数运算及方程求解理解。

10.2.2　复数的乘法与除法 1．掌握复数代数形式的乘法与除法运算，并会简单应用．(数学抽象) 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．(数学运算、逻辑推理) 3．掌握共轭复数的运算性质，并能运用其解决实系数一元二次方程在复数范围内的解集问题．(逻辑推理、数学运算) 我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有(a＋b)c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，其中m，n均为正整数．那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？ 知识点1　复数的乘法 1．复数乘法的定义 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数乘法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3．复数乘法的运算性质 zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝ (其中m，n∈N*)． 4．i的乘方运算性质 i4n+1＝i；i4n+2＝－1；i4n+3＝－i；i4n＝1． (1)利用i的幂的周期性可解决i的高次幂问题． (2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z×|2＝a2＋b2． (3)＝． 知识点2　复数的除法 1．复数除法的定义 如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝ (或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数． 2．复数除法的意义 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积，显然，利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0)．当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝． 3．复数倒数运算 设z＝a＋bi，则＝，且＝． 4．复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)， ＝＝． ＝(z2≠0)． 知识点3　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若z是复数，则z20． (　　) (2)若z∈C，则z2＝|z|2． (　　) (3)若z1，z2∈C，且＝0，则z1＝z2＝0． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m＝ (　　) A．1 B．－1 C． D．－ B　[由(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，得m3＋1＝0，即m＝－1．] 3．在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　[因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i， 则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限． 故选A．] 4．复数＝________． i　[原式＝＝－＝－＝i．] 5．在复数范围内，方程2x2－2x＋3＝0的根为________． 　[∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0， ∴原方程无实数根，有两个虚数根， 即x＝＝．] 类型1　复数代数形式的乘法运算 【例1】　【链接教材P37例1、P38例2】 (1)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i (2)设z＝i(2＋i)，则＝(　　) A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i (3)计算： ①(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； ②(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i． (1)D　(2)D　[(1)(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i． (2)因为z＝i(2＋i)＝－1＋2i， 所以＝－1－2i．] (3)[解]　①(1－i)(1＋i)＋(－1＋i) ＝1－i2－1＋i＝1＋i． ②(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i ＝53＋23i． 【教材原题·P37例1、P38例2】 例1　已知a，b∈R，求证： (a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2． [证明]　根据复数乘法的定义有 (a＋bi)(a－bi)＝a2－abi＋bai－b2i2 ＝a2＋b2． 例2　计算(1＋i)2与(1－i)2的值． [解]　(1＋i)2＝12＋2i＋i2＝2i． (1－i)2＝12－2i＋i2＝－2i． 　复数乘法运算的方法与常用公式 (1)两个复数代数形式乘法运算方法 ①首先按多项式的乘法法则展开． ②再将i2换成－1． ③然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)． ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． ③(1±i)2＝±2i． [跟进训练] 1．已知z1＝a＋2i，z2＝3－4i(a∈R，i为虚数单位)． (1)若z1z2是纯虚数，求实数a的值； (2)若z1z2在复平面上对应的点在第二象限，且|z1|，求实数a的取值范围． [解]　(1)z1z2＝(a＋2i)(3－4i)＝(3a＋8)＋(－4a＋6)i， 根据题意z1z2是纯虚数，故解得a＝－． 所以a的值为－． (2)由|z1|，得a2＋413，即a29，从而－3a3， 由于z1z2在复平面上对应的点在第二象限， 故解得a<－． 综上，实数a的取值范围为． 类型2　复数代数形式的除法运算 【例2】　【链接教材P39例3】 (1)(多选)下面关于复数z＝，正确的是(　　) A．|z|2＝2 B．z2＝－2i C．z的虚部为－i D．z的共轭复数为1＋i (2)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 (1)ABD　(2)A　[(1)因为z＝＝＝1－i，所以|z|＝，|z|2＝2，故A正确；z2＝(1－i)2＝－2i，故B正确；z的虚部为－1，故C错误；z的共轭复数为1＋i，故D正确． (2)因为z＝＝＝＝－i，所以z－＝－i．故选A．] 【教材原题·P39例3】 例3　求(1＋2i)÷(3－4i)的值． [解]　(1＋2i)÷(3－4i)＝ ＝ ＝＝－i． 　复数除法运算的方法与常用公式 (1)两个复数代数形式的除法运算方法 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． (2)常用公式 ①＝－i．②＝i．③＝－i． [跟进训练] 2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　) A．i　　　　　　　 B．i C．－i D．－i (2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　) A．1　　　 B．2 C．　　　 D． (1)B　(2)C　[(1)因为＝i，所以z＋i＝zi， 所以i＝z(i－1)． 所以z＝＝＝＝i． (2)因为z(1＋i)＝2i，所以z＝＝＝1＋i，所以|z|＝＝．] 类型3　in的周期性及应用 【例3】　计算：(1)； (2)i＋i2＋…＋i21． [思路引导]　可利用in的周期性进行化简计算． [解]　(1)原式＝ ＝i(1＋i)＋(－i)10 ＝i＋i2＋(－1)10×i10 ＝i－1－1 ＝i－2． (2)原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋i4(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋i21． ∵i＋i2＋i3＋i4＝0， ∴原式＝i21＝i20×i＝i． [母题探究] (变条件)将例题中的(1)改为“i1 003＋(i)8－＋”，试计算其结果． [解]　原式＝i4×250+3＋[2(1＋i)2]4－＋＝i3＋(4i)4－＋i＝－i＋256＋＋i＝256＋＝256－i． 　i的运算性质的应用 (1)i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n＝1(n∈N*)． (2)in＋in+1＋in+2＋in+3＝0(n∈N*)． (3)记住以下结果，可提高运算速度 ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i； ②＝－i，＝i； ③＝－i． [跟进训练] 3．计算：×…×． [解]　因为＝i， 所以原式＝i×i2×i3×…×i10＝i1+2+3+…+10＝i55＝i3＝－i． 类型4　在复数范围内解方程 【例4】　【链接教材P39例4】 已知x＝1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断x＝1－i是不是方程的根． [解]　(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， 所以(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0， 所以解得 故b的值为－2，c的值为2． (2)由(1)知方程可化为x2－2x＋2＝0， 把x＝1－i代入方程左边得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0， 显然方程成立，所以x＝1－i也是方程的根． 【教材原题·P39例4】 例4　在复数范围内求方程x2＋2x＋3＝0的解集． [解]　因为x2＋2x＋3＝x2＋2x＋1＋2＝(x＋1)2＋2， 所以原方程可以化为(x＋1)2＝－2，从而可知 x＋1＝i或x＋1＝－i， 因此x＝－1＋i或x＝－1－i，所求解集为 {－1＋i，－1－i}． 　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为 (1)当Δ0时，x＝(两个实数根)； (2)当Δ＜0时，x＝(两个共轭虚数根)． 提醒：当Δ<0时，根与系数的关系仍成立． [跟进训练] 4．已知关于x的实系数一元二次方程x2－mx＋1＝0有两个虚根α，β． (1)求m的取值范围； (2)若α＝，求m的值及β3＋β． [解]　(1)由已知得Δ＝m2－4<0，则－2<m<2． 所以m的取值范围为(－2，2)． (2)由α＝知β＝，则m＝α＋β＝1． 由β2－β＋1＝0，得β2＝β－1，则β3＝β(β－1)＝β2－β＝－1，故β3＋β＝． 1．(2025·全国二卷)已知z＝1＋i，则＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 A　[＝＝－i，故选A．] 2．若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C　[因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2， 所以解得a＝1， 故选C．] 3．复数z＝(i为虚数单位)，则复数的虚部为________，模为________． 　[∵z＝＝＝－i， ∴复数的虚部为， |z|＝＝．] 4．已知复数x满足x2－2x＝－2，则x＝________． 1±i　[由x2－2x＝－2，得x2－2x＋2＝0， ∴x＝＝1±i．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何规定两复数相乘？ [提示]　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i． 2．如何规定两复数相除？ [提示]　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c－di，化简后可得结果，即＝＝＝i(c＋di≠0)． 3．in(n∈N*)有怎样的性质？ [提示]　根据复数乘法法则，容易得到i的n次幂的计算法则，即当n∈N*时，i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，其中i0＝1，i－n＝(n∈N*)．另外，i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0． 代数基本定理 借助计算器或计算机，我们可以发现这样一个现象：对于随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数(包括重复因式)就是被分解的多项式的次数．设想一下，如果这是一个普遍规律，那么它揭示了复数集怎样的优越性？ 代数基本定理：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0至少有一个复数根． 代数基本定理的证明方法有很多种，因为每种证法都要涉及高等数学知识，此处不作介绍．有兴趣的同学可以查阅相关资料． 下面我们从代数基本定理出发，看看能得到一些怎样的结论． 你能说明下面结论成立的理由吗？ (1)任何一元n(n∈N*)次复系数多项式f (x)在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式有n个复数根(重根按重数计)． (2)如果虚数a＋bi是实系数一元n次方程anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0＝0的根，那么它的共轭虚数a－bi也是方程的根(“虚根成对”)． (3)根与系数之间的关系 设实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的根为x1，x2，容易得到 设实系数一元三次方程a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a3≠0)， ① 在复数集C内的根为x1，x2，x3，方程①可变形为a3(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0，展开得a3x3－a3(x1＋x2＋x3)x2＋a3(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－a3x1x2x3＝0， ② 比较①②可以得到 如果实系数一元四次方程a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a4≠0)在复数集C内的根为x1，x2，x3，x4，那么它们与方程的系数之间有什么关系？对上述方程，如果系数是复数，那么根与系数的这些关系仍然成立吗？ 课时分层作业(七)　复数的乘法与除法 一、选择题 1．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i B　[(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i．] 2．已知复数z＝3－i3，则下列结论错误的是(　　) A．|z|＝ B．z在复平面内对应的点位于第二象限 C．z(1－i)的虚部为－2 D．z是方程x2－6x＋10＝0的根 B　[因为z＝3－i3＝3＋i，所以|z|＝，A正确；z在复平面内对应的点为(3，1)，位于第一象限，B错误；z(1－i)＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，虚部为－2，C正确；由z＝3＋i得(z－3)2＝－1，即z2－6z＋10＝0，所以z是方程x2－6x＋10＝0的根，D正确．故选B．] 3．若z1＝(2－mi)(3－2i)(m∈R)是纯虚数，则在复平面内复数z2＝所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[∵z1＝(2－mi)(3－2i)＝(6－2m)－(3m＋4)i为纯虚数，则解得m＝3，∴z2＝＝＝＝i，因此，复数z2在复平面内对应的点在第四象限．] 4．(教材P42习题10-2BT1(4)改编)若复数z满足z(1－i)＝1＋i，i为虚数单位，则z2 025＝(　　) A．－2i B．i C．－i D．2i B　[由z(1－i)＝1＋i，得z＝＝＝i，∴z2 025＝i2 025＝i4×506+1＝i．故选B．] 5．(多选)已知复数z＝，则下列结论正确的是(　　) A．z的虚部为1 B．|z|2＝2 C．z2为纯虚数 D．＝1＋i ABC　[因为z＝＝＝＝1＋i，所以复数z的虚部为1，故A正确； |z|2＝()2＝2，故B正确； z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，故C正确； ＝1－i，故D不正确． 故选ABC．] 二、填空题 6．已知i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是________． －2　[(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2．] 7．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z×＝________． 1　[由题可知z＝＝i，所以＝－i，所以z×＝i×(－i)＝1．] 8．已知a∈R，复数z＝(i是虚数单位)，若z∈R，则a＝________，|z＋i|＝________． －1　　[z＝＝i， 因为z∈R，所以＝0，得a＝－1，z＝－1， 故|z＋i|＝|－1＋i|＝．] 三、解答题 9．(源自北师大版教材)计算： (1)；(2)；(3)． [解]　(1)＝＝． (2)＝＝＝－i． (3)＝＝＝i6＝－1． 10．“a＝1”是“复数(a∈R)为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[＝＝＝i．a＝1时，是纯虚数，充分性成立；是纯虚数，则a＝±1，必要性不成立．故选A．] 11．(多选)对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，在复数范围内的解是x1，x2，下列结论中正确的是(　　) A．若b2－4ac＝0，则x1，x2∈R且x1＝x2 B．若b2－4ac<0，则x1∉R，x2∉R且＝ C．一定有x1＋x2＝－，x1x2＝ D．一定有(x1－x2)2＝ ACD　[对于A，当b2－4ac＝0时，x1＝x2＝－∈R，故正确；对于B，当b2－4ac<0时，则x1＝，x2＝，则x1∉R，x2∉R，且≠，故错误；对于C，由一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝，故正确；对于D，(x1－x2)2＝，故正确．故选ACD．] 12．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则的值为________． －i　[因为复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，得解得a＝1，所以＝＝＝－i．] 13．复数z在复平面内对应的点为(2，－1)，则的共轭复数的模为________． 　[由题意可得z＝2－i，所以＝＝＝＝－1＋2i，故共轭复数为－1－2i，|－1－2i|＝＝．] 14．若定义一种运算：(a，b)＝ac＋bd．已知z为复数，且(2，＝6－4i． (1)求复数z； (2)设t，x为实数，若(t＋cos x，i)－(1，1)为纯虚数，求t的最大值． [解]　(1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则＝a－bi， 因为(2，＝2z＋4＝2(a＋bi)＋4(a－bi)＝6a－2bi＝6－4i，解得a＝1，b＝2，所以z＝1＋2i． (2)(t＋cos x，i)－(1，1)＝t＋cos x＋2i－sin x－i＝t＋cos x－sin x＋i， 由题意可得t＋cos x－sin x＝0，所以t＝sin x－cos x＝sin ， 当sin ＝1时，t取最大值． 所以t的最大值为． 15．在①复平面上表示复数z的点在直线x－y＝0上；②z×＝2(a>0)；③z(1－i)>0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 已知复数z＝a＋i(a∈R，i为虚数单位)，满足________，若z是实系数一元二次方程x2＋mx＋4＋m＝0的根，求实数m的值． [解]　若选条件①：复平面上表示复数z的点在直线x－y＝0上，则a－1＝0，解得a＝1，所以z＝1＋i． 因为z是实系数一元二次方程x2＋mx＋4＋m＝0的根，所以(1＋i)2＋m(1＋i)＋4＋m＝0， 即4＋2m＋(m＋2)i＝0， 所以由复数相等的充要条件得所以m＝－2． 若选条件②：z×＝2(a>0)． 因为z＝a＋i，所以z×＝a2＋1＝2，解得a2＝1． 又a>0，所以a＝1，所以z＝1＋i． 因为z是实系数一元二次方程x2＋mx＋4＋m＝0的根，所以(1＋i)2＋m(1＋i)＋4＋m＝0， 即4＋2m＋(m＋2)i＝0， 所以由复数相等的充要条件得所以m＝－2． 若选条件③：z(1－i)>0． 因为z＝a＋i， 所以z(1－i)＝(a＋i)(1－i)＝(a＋1)＋(1－a)i>0，所以 解得a＝1，所以z＝1＋i． 因为z是实系数一元二次方程x2＋mx＋4＋m＝0的根，所以(1＋i)2＋m(1＋i)＋4＋m＝0， 即4＋2m＋(m＋2)i＝0， 所以由复数相等的充要条件得所以m＝－2． 学科网（北京）股份有限公司 $