10.1.2 复数的几何意义-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“复数的几何意义”核心知识点，系统梳理复平面（实轴、虚轴）的概念，复数与复平面内点及向量的一一对应关系，共轭复数的定义及几何对称性质，复数模的代数表达式与几何意义（点到原点距离）。通过类比实数的数轴表示引入复平面，以思考问题、知识点解析、例题及母题探究为学习支架，帮助学生构建复数与几何图形的联系，为后续复数运算奠定基础。 该资料注重数学抽象与直观抽象的结合，通过“实数用数轴点表示”的类比引导学生用数学眼光观察复数的几何表示，例题中根据点的象限位置列不等式培养逻辑推理能力。模的几何意义将代数问题转化为圆或区域图形，体现数学语言表达。课中例题与跟进训练助力教师互动教学，课后分层作业帮助学生巩固知识、查漏补缺。

10.1.2　复数的几何意义 1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(直观抽象、逻辑推理) 2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念，掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(数学抽象、数学运算) 19世纪末20世纪初，德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 思考：实数可用数轴上的点来表示，类比实数，复数该怎样来表示呢？ 知识点1　复平面的概念和复数的几何意义 1．复平面 (1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面． (2)实轴和虚轴：在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴． 2．复数的几何意义 平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量，则 (1)复数z＝a＋bi对应复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi平面向量＝(a，b)． (1)复平面内各象限内的点都表示虚数，点Z所在象限，由a，b的符号决定．特别地，当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上． (2)实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数． 知识点2　共轭复数与复数的模 1．共轭复数 (1)如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示． (2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数． 2．复数的模 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，复数z的模用 |z| 表示，因此|z|＝． |z|＝||． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复平面内的点与复数是一一对应的． (　　) (2)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． (　　) (3)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． (　　) (4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件． (　　) (5)若z1，z2∈C，且z1＋z2＝0，则z1＝z2＝0． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× [提示]　(3)除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． (4)模相等不一定是共轭复数． (5)当z1＝i，z2＝－i时亦满足条件． 2．若复数z满足z－1＝－i，则z在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[因为z－1＝－i，所以z＝1－i，故z在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限．] 3．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________． 5　[因为z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数， 所以 所以z＝－4＋3i， 所以|z|＝＝5．] 类型1　复数与复平面内点的关系 【例1】　已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R．当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限； (3)在直线y＝x上． [思路引导]　根据复数对应的点在复平面内的位置列出方程或不等式求解． [解]　复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i在复平面内对应的点是(a2－1，2a－1)． (1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝，即a的值为． (2)若z对应的点在第三象限，则有 解得－1<a<， 即a的取值范围为． (3)若z对应的点在直线y＝x上，则有 2a－1＝a2－1，解得a＝0或a＝2，即a的值为0或2． [母题探究] (变条件，变结论)在复平面内，将复数改为“z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i”，对应点满足： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y＝x上． 分别求实数m的取值范围(或值)． [解]　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2． (1)由题意得m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1，即m的值为2或－1． (2)由题意得 ∴∴－1<m<1， 即m的取值范围为(－1，1)． (3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2， 即m的值为2． 　利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示． [跟进训练] 1．求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的实轴上方． [解]　(1)点Z在复平面的第二象限内， 则 解得a<－3． (2)点Z在实轴上方，则 即(a＋3)(a－5)>0，解得a>5或a<－3． 类型2　复数的模及其应用 【例2】　(1)(多选)已知复数z＝－1＋2i，则下列关系式中正确的是(　　) A．|z|>2 B．|z|>3 C．|z|≠|1＋2i| D．|z|＝|1－2i| (2)已知复数z＝(1－a)＋ai(a∈R)，则“a＝1”是“|z|＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (3)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围． (1)AD　(2)A　[(1)复数z＝－1＋2i，|z|＝＝，排除B；|1－2i|＝|1＋2i|＝， 故得到|z|＝|1－2i|＝|1＋2i|．故D正确，C错误．故选AD． (2)因为z＝(1－a)＋ai，所以|z|＝，若a＝1，则|z|＝＝1，故充分性成立；若|z|＝1，即|z|＝＝1，即2a2－2a＋1＝1，解得a＝1或a＝0，故必要性不成立，故“a＝1”是“|z|＝1”的充分不必要条件．] (3)[解]　(法一)因为z＝3＋ai(a∈R)， 所以|z|＝， 由已知得32＋a2<42， 所以a2<7，所以a的取值范围为(－)． (法二)利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合． 由图可知，a的取值范围为(－)． 　(1)复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离． (2)求复数的模时，应先确定复数的实部与虚部，再套用复数模的计算公式计算求解． (3)若两个复数相等，它们的模一定相等；反之，两个复数的模相等，这两个复数不一定相等． (4)两个复数不一定能比较大小，但复数的模一定可以比较大小． [跟进训练] 2．(源自苏教版教材)已知复数z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，试比较它们模的大小． [解]　因为|z1|＝＝5， |z2|＝＝， 所以|z1|<|z2|． 类型3　复数的模的几何意义 【例3】　【链接教材P30例2】 试确定在复平面内，满足下列条件的复数z＝x＋yi(x，y∈R)对应的点的集合分别是什么图形． (1)y＝2； (2)1x4； (3)x＝y； (4)|z|5． [解]　(1)复数z对应点的坐标是(x，y)，而y＝2，所以点的集合是一条与实轴平行的直线． (2)复数对应的点为(x，y)，而1x4，所以点的集合是夹在垂直于实轴的两条直线之间的一个带形区域(含两条边界直线)． (3)复数对应的点是(x，y)，而x＝y，所以点的集合是一条直线，它是复平面的第一、三象限的平分线． (4)复数对应的点是(x，y)，而|z|5的集合是一个以原点为圆心，半径等于5的圆的内部，包含圆的边界． 【教材原题·P30例2】 例2　设复数z在复平面内对应的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示． (1)|z|＝2；(2)1<|z|3． [解]　(1)由|z|＝2可知向量的长度等于2，即点Z到原点的距离始终等于2，因此点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆．如图10-1-3(1)所示． (2)不等式1<|z|3等价于不等式组 又因为满足|z|3的点Z的集合，是圆心在原点、半径为3的圆及其内部，而满足|z|>1的点Z的集合，是圆心在原点、半径为1的圆的外部，所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括外边界但不包括内边界)．如图10-1-3(2)所示． 　解决复数的模的几何意义的问题的两个关键点 (1)|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形； (2)利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． [跟进训练] 3．(源自人教A版教材)设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝1；(2)1<|z|<2． [解]　(1)由|z|＝1得，向量的模等于1，所以满足条件|z|＝1的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆． (2)不等式1<|z|<2可化为不等式组 不等式|z|<2的解集是圆|z|＝2的内部所有的点组成的集合，不等式|z|>1的解集是圆|z|＝1外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件1<|z|<2的点Z的集合．容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界(如图)． 1．设复数z＝－1＋2i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[因为z＝－1＋2i，所以在复平面上对应的点的坐标为(－1，－2)，位于第三象限．故选C．] 2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是(　　) A．z1>z2 B．z1<z2 C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2| D　[不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A，B．又|z1|＝，|z2|＝，|z1|<|z2|．故选D．] 3．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________． 9　[∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2，解得m＝9．] 4．若复数z满足|z|，则z在复平面所对应的图形的面积为________． 2π　[满足|z|的点Z的集合是以原点O为圆心，以为半径的圆及其内部所有的点构成的集合，所以所求图形的面积为S＝2π．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．各象限内的点与复数有何对应关系？ [提示]　第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正； 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正； 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负； 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负． 2．复数的几何意义是什么？ [提示]　(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个． 3．复数的模的几何意义是什么？ [提示]　复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则： ①满足条件|z|＝r的点Z的集合为以原点为圆心、r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部； ②满足条件|z－z0|＝r的点Z的集合为以Z0为圆心、r为半径的圆，|z－z0|<r表示圆的内部，|z－z0|>r表示圆的外部． 课时分层作业(五)　复数的几何意义 一、选择题 1．复数z＝1－4i的共轭复数是(　　) A．1＋4i B．－4＋i C．－1＋4i D．－1－4i A　[复数z＝1－4i的共轭复数是＝1＋4i．故选A．] 2．下列是关于复数z＝－1＋i(i为虚数单位)的命题，其中真命题为(　　) A．|z|＝2 B．复数z在复平面内对应的点在直线y＝x上 C．z的共轭复数为－1－i D．z的虚部为－1 C　[对于A，由z＝－1＋i，得|z|＝＝，所以A错误；对于B，复数z＝－1＋i在复平面内对应的点为(－1，1)，不在直线y＝x上，所以B错误；对于C，复数z＝－1＋i的共轭复数为－1－i，所以C正确；对于D，复数z＝ －1＋i的虚部为1，所以D错误．故选C．] 3．已知i为虚数单位，复数z＝sin －icos ，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[因为z＝sin －icos ＝i，所以z在复平面内对应的点的坐标为，该点位于第四象限．故选D．] 4．下列命题中错误的是(　　) A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．若z为纯虚数，则＝－z D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2| D　[任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝0总成立，∴A正确； 由复数相等的条件z＝0⇔⇔|z|＝0，故B正确； 若z是纯虚数，则a＝0且b≠0，可得＝－z，故C正确； 不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错误．] 5．(教材P31练习BT5(2)改编)复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点为Z(a，b)，若|z|1，则点Z的轨迹是(　　) A．直线 B．线段 C．圆 D．单位圆以及圆内的部分 D　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点为Z(a，b)，|z|1，∴点z的轨迹是在以原点为圆心，1为半径的圆上及其内部，故选D．] 二、填空题 6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝______． －2＋3i　[复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2，3)，所以z2＝－2＋3i．] 7．复数z＝2＋i(i为虚数单位)，则z对应的点在第________象限，|z|＝________． 一　　[z＝2＋i，复数z在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，在第一象限；|z|＝＝．] 8．在复平面内，O是坐标原点，向量 对应的复数是－2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数的模为________． 　[因为向量对应的复数是－2＋i，所以A(－2，1)，又点A关于实轴的对称点为点B，所以B(－2，－1)． 所以向量对应的复数为－2－i，该复数的模为|－2－i|＝＝．] 三、解答题 9．在复平面内，复数z＝(m－1)＋(m2－m－2)i表示点Z，求出满足下列条件的复数z． (1)若点Z在虚轴上，求复数z的共轭复数； (2)若点Z在直线y＝2x上，求复数z的模|z|． [解]　(1)因为点Z在虚轴上，所以m－1＝0，解得m＝1， 所以z＝－2i，所以复数z的共轭复数＝2i． (2)因为点Z在直线y＝2x上， 所以m2－m－2＝2(m－1)， 解得m＝0或m＝3， 所以z＝－1－2i或z＝2＋4i， 所以复数z的模|z|＝或2． 10．在复平面内，由z1＝1－2i，z2＝1＋2i，z3＝对应的三个点确定圆P，则以下点在圆P上的是(　　) A．z＝＋i B．z＝1－i C．z＝i D．z＝2－3i C　[因为|z1|＝|1－2i|＝，|z2|＝|1＋2i|＝，|z3|＝|i|＝，即|z1|＝|z2|＝|z3|，所以z1，z2，z3对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，且只有选项C中|z|＝＝，所以其在圆P上． 故选C．] 11．(多选)已知复数z1＝－4＋2i，z2＝2＋i，z3＝－3＋2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，z2的共轭复数在复平面内对应的点为D，则(　　) A．点A在第二象限 B．||＝2 C．|z1|＝2|z2| D．点D的坐标为(2，－1) ACD　[对于A，A(－4，2)，所以点A在第二象限，A正确； 对于B，B(2，1)，C(－3，2)，所以＝(－5，1)， 所以||＝＝，B错误； 对于C，|z1|＝＝2，|z2|＝＝，所以|z1|＝2|z2|，C正确； 对于D，＝2－i，所以D(2，－1)，D正确． 故选ACD．] 12．复数－2＋i与复数1－3i在复平面内对应的点分别为A，B，若O为坐标原点，则钝角∠AOB的大小为________． 　[依题意，A(－2，1)，B(1，－3)，O(0，0)，则AO＝＝，BO＝＝，AB＝＝5， 在△AOB中，由余弦定理得， cos ∠AOB＝＝＝－， 又∠AOB∈，所以∠AOB＝．] 13．若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为和，则△OZ1Z2的面积为________． 　[因为＝(1，2)，＝(3，－1)，＝＝(2，－3)， 所以||＝＝， ||＝＝， ||＝＝． 由余弦定理可得cos ∠Z1OZ2＝＝，因为∠Z1OZ2∈(0，π)， 所以sin ∠Z1OZ2＝， 所以△OZ1Z2的面积S＝|OZ1||OZ2|sin ∠Z1OZ2＝＝．] 14．(教材P31练习BT4、T5改编)已知复数z1＝－i，z2＝－i． (1)求||，||的值并比较大小； (2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2||z||z1|的点Z组成的集合是什么图形？作图表示． [解]　(1)||＝|＋i|＝＝2， ||＝＝＝． 所以||． (2)由|z2||z||z1|，得|z|2． 不等式|z|2等价于不等式组 因为满足|z|2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)， 而满足|z|的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为的圆的外部(包括边界)， 所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示． 15．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求的最小值及取得最小值时m，n的值． [解]　(1)|z|＝＝2，当且仅当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2． (2)当复数z的模最小时，Z(－2，2)． 又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2． 因为mn＞0，所以＝＝，当且仅当n2＝2m2时等号成立． 又2m＋n＝2，mn>0，所以m＝2－，n＝2－2． 所以的最小值为， 此时m＝2－，n＝2－2． 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