10.1.1 复数的概念-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“复数的概念”核心知识点，梳理数系从自然数到复数的扩充脉络（N→Z→Q→R→C），构建复数代数形式z=a+bi（a,b∈R）的实部虚部、分类（实数、虚数、纯虚数）及相等条件的学习支架，衔接历史背景与概念应用。 资料通过数系扩充历史情境培养数学抽象，例题与辨析题强化数学运算，母题探究和分层作业形成“观察-抽象-应用”思维闭环。课中助力教师引导逻辑推理，课后学生可回顾巩固，有效弥补知识盲点。

10.1　复数及其几何意义 10.1.1　复数的概念 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．(数学抽象) 2．理解在数系的扩充中由实数扩展到复数出现的一些基本概念，明确复数的分类．(数学抽象) 3．掌握复数代数形式的表示方法，掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(数学运算) 远古时期，人类常用结绳计数或堆石计数或刻痕计数，逐步产生了自然数的概念；在分配劳动成果的过程中，产生了“正分数”的概念；随着人类商品交换时代的来临，为了表示相反意义的量，又引入了“负数”的概念，至此人们认为所有的数都可以用两个互质的整数的比值来表示．然而，随着人类种植活动的兴盛，在丈量土地、计算长度、计算产量过程中产生了经验几何学，其中在勾股定理使用中发现：在求两直角边长度都是“1”的直角三角形斜边的时候，其斜边长度不能用任何有理数来表示，于是引入了无理数，把数集扩充为实数集．数集发展的动力和原因是什么？还有没有比实数集范围更大的数集呢？ 知识点1　复数的概念 (1)数系的扩充及对应的集合符号表示 自然数→整数→有理数→实数→复数 　↓　 　↓　 　↓　 　↓　　↓ 　N———→Z——→Q―――→R——→C (2)复数的有关概念 ①一般地，为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位． ②一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b． 1．如何在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25? [提示]　在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)．在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋)(x－)． 在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋)(x－)＝(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)． 知识点2　复数的分类 (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2)集合表示 2．两个实数可以比较大小，复数集中不全是实数的两个数能否比较大小？ [提示]　不能比较大小． 知识点3　两个复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (　　) (2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． (　　) (3)bi是纯虚数． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× [提示]　(1)当b＝0时，z＝a＋bi为实数． (3)当b＝0时，bi＝0为实数． 2．1＋i的实部与虚部分别是(　　) A．1，　　　　　　　 B．1＋，0 C．0，1＋ D．0，(1＋)i A　[1＋i＝a＋bi，a，b∈R，所以实部a＝1，虚部b＝．] 3．已知a∈R，若2a＋1＋(a－1)i∈R，则a＝________． 1　[因为2a＋1＋(a－1)i∈R，所以a－1＝0，解得a＝1．] 类型1　复数的概念 【例1】　(1)(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．i的平方等于1 (2)(1＋)i的实部与虚部分别是(　　) A．1， B．1＋，0 C．0，1＋ D．0，(1＋)i (3)以3－i的虚部为实部，以－3i的实部为虚部构成新的复数是________． (1)BC　(2)C　(3)－i　[(1)对于A，当a＝b＝0时，a＋bi＝0为实数，故错误； 对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则 解得故正确； 对于C，若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故正确； 对于D，i的平方为－1，故错误． (2)由(1＋)i＝0＋(1＋)i，知(1＋)i的实部为0，虚部为1＋． (3)因为3－i的虚部为－－3i的实部为，所以构成的新的复数为 －i．] 　复数概念的几个关注点 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b． (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． [跟进训练] 1．判断以下说法是否正确． (1)复数由实数、虚数、纯虚数构成； (2)复数m＋ni中，实部和虚部分别是m和n； (3)在复数a＋bi(a，b∈R)中，若a≠0，则a＋bi一定不是纯虚数； (4)满足x2＝－1的数x只能是i． [解]　(1)不正确．复数是由实数和虚数构成的，虚数中包含纯虚数． (2)不正确．对于复数m＋ni，由于没有条件“m，n∈R”，所以其实部和虚部不一定是m和n． (3)正确．在复数a＋bi(a，b∈R)中，只要a≠0，不论b＝0还是b≠0，它一定不是纯虚数． (4)不正确．满足x2＝－1的数x＝±i． 类型2　复数的分类 【例2】　【链接教材P27例1】 当m取何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i： (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ [思路引导]　根据复数的标准形式结合复数的分类的概念求解． [解]　(1)由条件得 ∴ ∴当m＝5时，z是实数． (2)由条件得 ∴ ∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数． (3)由条件得 ∴ ∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． [母题探究] (变条件)若将本例条件中的复数z改为z＝＋(m－3)i，其结果如何呢？ [解]　由题意， 复数z＝＋(m－3)i． (1)当即m＝3时，z是实数． (2)当即m≠3且m≠－3时，z是虚数． (3)当即m＝－2时，z是纯虚数． 【教材原题·P27例1】 例1　分别求实数x的取值，使得复数z＝(x－2)＋(x＋3)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数． 分析　因为x是实数，所以z的实部是x－2，虚部是x＋3．然后由复数z＝a＋bi是实数、虚数与纯虚数的条件可以确定x的值． [解]　(1)当x＋3＝0， 即x＝－3时，复数z是实数． (2)当x＋3≠0， 即x≠－3时，复数z是虚数． (3)当x－2＝0且x＋3≠0， 即x＝2时，复数z是纯虚数． 　利用复数的分类求参数的方法及注意事项 (1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解． (2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解． (3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0． [跟进训练] 2．(源自人教A版教材)当实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． [解]　(1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数． (2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数． (3)当m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1时，复数z是纯虚数． 类型3　复数相等的充要条件 【例3】　【链接教材P27例2】 (1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________． (2)(源自苏教版教材)已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，求实数x，y的值． (1)－3　[因为z<0，所以 解得m＝－3．] (2)[解]　根据两个复数相等的充要条件，可得 解得 【教材原题·P27例2】 例2　分别求满足下列关系的实数x与y的值． (1)(x＋2y)－i＝6x＋(x－y)i； (2)(x＋y＋1)－(x－y＋2)i＝0． [解]　(1)根据复数相等的定义，得 解这个方程组，得x＝，y＝． (2)由复数等于0的充要条件，得 解这个方程组，得x＝－，y＝． 　复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． [跟进训练] 3．(1)若复数(m－2)＋m(m－2)i＝0，则实数m＝(　　) A．2 B．3 C．0 D．1 (2)(源自北师大版教材)设x，y∈R，(x＋2)－2xi＝－3y＋(y－1)i，求x，y的值． (1)A　[因为复数(m－2)＋m(m－2)i＝0， 则有 解得m＝2．故选A．] (2)[解]　由复数相等的定义， 得 解这个方程组，得 1．设i是虚数单位，m，n为实数，复数z＝m＋ni为虚数，则(　　) A．m＝0 B．n≠0 C．m＝0且n≠0 D．mn≠0 B　[若复数是虚数，则n≠0，故选B．] 2．(教材P28练习AT3改编)复数z＝1－i(i为虚数单位)的虚部是(　　) A．1 B．i C．－1 D．－i C　[复数z＝1－i(i为虚数单位)的虚部是－1．故选C．] 3．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________． －4　[由复数相等的充要条件知∴a＝－4．] 4．已知m∈R，设复数z＝(m2－2m－3)＋(m2－1)i．若复数z为纯虚数，则实数m＝________． 3　[依题意，复数z为纯虚数， 所以解得m＝3．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？ [提示]　不一定，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部才是a，虚部才是b． 2．你是如何理解两个复数相等这一概念的？ [提示]　(1)根据复数相等的定义，知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di(a，b，c，d∈R)． (2)若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必须都是实数(即虚部均为0)． (3)若两个复数不全是实数，则不能比较大小． 3．复数是如何分类的？ [提示]　复数a＋bi(a，b∈R) 课时分层作业(四)　复数的概念 一、选择题 1．“b≠0”是“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若b≠0，a≠0，则复数a＋bi不是纯虚数，则正向无法推出；若复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则b≠0，a＝0，则反向可以推出，则“b≠0”是“复数a＋bi(a，b∈R )为纯虚数”的必要不充分条件．故选B．] 2．已知复数z＝2a＋1＋(a－2)i(其中i是虚数单位，a∈R)的实部与虚部相等，则a＝(　　) A．－2 B．－3 C．2 D．3 B　[因为复数z＝2a＋1＋(a－2)i的实部与虚部相等，所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3．故选B．] 3．下列命题是真命题的是(　　) A．若x，y∈R，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1 B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0 D．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数 A　[A项中，由复数相等的充要条件知，A是真命题． B项中，由于两个虚数不能比较大小，B是假命题． C项中，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，C是假命题． D项中，当b＝0时，a＋bi不是虚数，D是假命题．] 4．以2i－的虚部为实部，以i－2的实部为虚部的新复数是(　　) A．2＋i B．2－2i C．－i D．i B　[以2i－的虚部为实部，以i－2的实部为虚部的新复数是2－2i．故选B．] 5．下列命题一定成立的是(　　) A．若z∈C，则z20 B．若x，y，z∈C，(x－y)2＋(y－z)2＝0，则x＝y＝z C．若a∈R，则(a＋2)i是纯虚数 D．若p，q∈C，p>0且q>0，则pq>0且p＋q>0 D　[对于A，当z＝i时，z2＝－1<0，故选项A错误；对于B，当x－y＝i，y－z＝1时，(x－y)2＋(y－z)2＝0，但x，y，z并不相等，故选项B错误；对于C，若a＋2＝0，则(a＋2)i并不是纯虚数，故选项C错误；对于D，因为p，q∈C，p>0且q>0，所以p，q为正实数，则pq>0且p＋q>0，故选项D正确． 故选D．] 二、填空题 6．若复数z＝(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为________． 3　[由于复数z＝(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，所以解得a＝3．] 7．(教材P28练习BT3(2)改编)已知x－2y＋3＋(x＋y)i＝0(x，y∈R)，则x＝________，y＝________． －1　1　[因为x－2y＋3＋(x＋y)i＝0， 所以所以] 8．如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1，则实数m的值为________． 2　[由题意得解得m＝2．] 三、解答题 9．设复数z＝ (m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R)． (1)若z是虚数，求m的取值范围； (2)若z是纯虚数，求m的值． [解]　(1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是解得1＜m＜5，且m≠4． (2)因为z是纯虚数，故其实部 (m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0， m应满足的条件是解得m＝2． 10．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　) A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b C．a>0且a≠b D．a0 D　[复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a0．] 11．(多选)下列说法正确的是(　　) A．纯虚数的平方不小于0 B．i是一个无理数 C．1－ai(a∈R)是一个复数 D．复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等 CD　[纯虚数的平方，如i2＝－1＜0，故A错误；∈R，故i是纯虚数，故B错误；C正确；D中两个复数的虚部不相等，故两个复数不可能相等，D正确．故选CD．] 12．若z＝sin θ－＋i是纯虚数，则tan (θ－π)的值为(　　) A． B． C．－ D．－ C　[∵z＝sin θ－＋i是纯虚数， ∴sin θ－＝0且cos θ－≠0， 即sin θ＝且cos θ≠，即cos θ＝－， 则tan θ＝＝－， 则tan (θ－π)＝tan θ＝－，故选C．] 13．已知集合M＝{1，2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1，3}，若M∩N＝{3}，则实数a＝______． －1　[由M∩N＝{3}知，3∈M，即有(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，所以解得a＝－1．] 14．(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值． (2)已知关于x的方程x2＋kx＋2＋(2x＋k)i＝0有实根x0，求x0以及实数k的值． [解]　(1)因为x2－y2＋2xyi＝2i， 所以解得或 (2)由x＝x0是方程的实根，代入方程，得＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0， 由复数相等的充要条件，得 解得或 所以x0＝，k＝－2或x0＝－，k＝2． 15．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为(　　) A． B． C．[－1，1] D． D　[由z1＝z2，得 消去m得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4－， 由于－1sin θ1，故－λ7．] 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $