9.1.1 正弦定理-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦正弦定理核心知识点，以三角形面积公式为基础推导定理，系统梳理定理变形（边角转化、比例关系），应用于解三角形（两角一边、两边一角）、判断三角形形状及面积计算，构建完整知识链。 以“险峰海拔测量”情境引入，培养数学眼光，通过例题分层与母题变式发展逻辑推理、数学运算素养，课时作业分层设计，课中助教师高效授课，课后帮学生巩固提升。

9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.1　正弦定理 1．掌握正弦定理的内容及证明方法．(数学抽象、逻辑推理) 2．能利用正弦定理解决三角形度量和边角转化问题，会判断三角形的形状．(数学运算) 3．掌握三角形的面积公式及其应用．(数学运算) 4．能根据正弦定理及题目条件，判断三角形解的个数．(逻辑推理) “无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的慨叹跃然纸上．对于难以到达的险峰，应如何测出其海拔呢？在本节中，我们将学习正弦定理，借助已学的三角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题． 思考：如何才能测量出险峰的海拔？ 知识点1　三角形的面积公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高)． (2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A． (3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)． 知识点2　正弦定理 (1)使用正弦定理的前提是在同一三角形中． (2)正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的相互转化． 1．正弦定理的常用变形 在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，则 (1)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A； (2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (3)＝＝＝＝2R； (4)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(可以实现边到角的转化) (5)sin A＝，sin B＝，sin C＝．(可以实现角到边的转化) 2．三角形中边角的不等关系 (1)若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C(在任意三角形中，大角对大边)； (2)若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞C(在任意三角形中，大边对大角)． 知识点3　解三角形 (1)习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素． (2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． 1．利用正弦定理解三角形需要哪些条件？ [提示]　需要两角和一边或两边和其中一边的对角． 知识点4　对三角形解的个数的判断 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度 由正弦定理得sin B＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解； ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解； ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2． (2)几何角度 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①　　　　　② ①a＝b sin A；②ab 一解 b sin A<a<b 两解 a<b sin A 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 ab 无解 2．在△ABC中，若A>B，一定有sin A>sin B吗？反之，若sin A>sin B，一定有A>B吗？ [提示]　由A>B，得a>b， 所以2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B． 由sin A>sin B，得2R sin A>2R sin B，即a>b， 所以A>B． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形． (　　) (2)在△ABC中，等式b sin A＝a sin B总能成立． (　　) (3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　 [提示]　(1)正弦定理适用于任意三角形． (2)由正弦定理知＝，即b sin A＝a sin B． (3)在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的其中之一，具体情况由a，b，A的值来定． 2．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝120°，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于(　　) A．6 B．6 C．12 D．12 B　[由题意得，△ABC的面积S＝bc sin A＝×3×8sin 120°＝×3×8×＝6，故选B．] 3．不解三角形，判断下列△ABC解的个数． (1)若a＝5，b＝4，A＝120°，则三角形解的个数为________；________ (2)若a＝7，b＝14，A＝150°，则三角形解的个数为________； (3)若a＝9，b＝10，A＝60°，则三角形解的个数为________． (1)1　(2)0　(3)2　[(1)∵A为钝角且a>b， ∴△ABC有一解． (2)∵A为钝角且a<b， ∴△ABC无解． (3)∵A为锐角，b sin A<a<b， ∴△ABC有两解．] 类型1　利用正弦定理解三角形 【例1】　【链接教材P4例1、P5例2】 (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，B＝，tan A＝，则a的值是(　　) A．10 B．2 C． D． (2)在△ABC中，a＝，b＝1，B＝30°，则A＝(　　) A．30° B．60° C．60°或120° D．120° (3)在△ABC中，已知B＝，c＝，C＝，求A，a，b的值． (1)B　(2)C　[(1)由已知tan A＝＝，sin2A＋cos2A＝1，且A为锐角，得sinA＝．由正弦定理＝， 得a＝·sin A＝＝2． (2)因为a＝，b＝1，B＝30°， 所以根据正弦定理＝， 得sin A＝＝＝， 又a>b，得到A>B，即30°<A<180°， 则A＝60°或120°．] (3)[解]　由三角形内角和定理知A＝π－＝． 由＝，得b＝＝＝2． 又＝，得a＝＝＝＋1．所以A＝，a＝＋1，b＝2． 【教材原题·P4例1、P5例2】 例1　已知△ABC中，B＝75°，C＝60°，a＝10，求c． [解]　由已知可得 A＝180°－B－C＝180°－75°－60°＝45°． 由正弦定理可知＝， 所以c＝＝＝5． 例2　已知△ABC中，a＝2，b＝2，A＝30°，求解这个三角形． [解]　因为＝， 所以sin B＝＝＝． 由于0°<B<180°，所以B＝60°或B＝120°． 当B＝60°时，有 C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°， 此时△ABC是直角三角形，且c为斜边，从而有 c＝＝＝4； 当B＝120°时，有 C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°， 此时△ABC是等腰三角形，从而由等角对等边可知c＝a＝2． 1．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理的变形，求另外的两条边． 2．已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边所对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角、大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． 提醒：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差)，再根据上述思路求解． [跟进训练] 1．(源自人教A版教材)在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解这个三角形． [解]　由三角形内角和定理，得 C＝180°－(A＋B)＝180°－(15°＋45°)＝120°． 由正弦定理，得 a＝＝ ＝ ＝ ＝＝， b＝＝ ＝＝． 类型2　三角形的面积公式及应用 【例2】　【链接教材P5例3】 在△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，b＝4． (1)求a和sin C的值； (2)求c和△ABC的面积． [解]　(1)因为cos B＝，B∈(0，π)， 所以sin B＝，又sin A＝，b＝4， 所以由正弦定理可得，a＝＝＝， 由b＝4>a＝， 可知B>A，故A为锐角，故cos A＝， sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝＝． (2)由正弦定理可得，c＝＝＝， 所以S△ABC＝bc sin A＝×4×＝． 【教材原题·P5例3】 例3　已知△ABC中，b＝3，c＝6，B＝120°，求A，C及三角形的面积． [解]　由＝得 sin C＝＝＝． 由于0°<C<180°，所以C＝45°或C＝135°． 当C＝45°时， A＝180°－B－C＝180°－120°－45°＝15°， 而sin 15°＝sin (60°－45°)＝＝， 所以三角形的面积为 S＝bc sin A＝×3×6×＝． 当C＝135°时， A＝180°－B－C＝180°－120°－135°＝－75°， 不合题意，应舍去． 1．三角形面积问题的求解方法 对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． 2．与三角形面积有关的公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc(其中ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl(其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长)． (3)S△ABC＝2R2sin A sin B sin C＝ (其中R为△ABC的外接圆的半径)． (4)海伦公式：S△ABC＝． [跟进训练] 2．在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2，AC＝2．求△ABC的面积． [解]　由正弦定理，得sin C＝＝， 又AB·sin B＜AC＜AB，故该三角形有两解：C＝60°或120°． 当C＝60°时，A＝90°， S△ABC＝AB·AC＝2； 当C＝120°时，A＝30°， S△ABC＝AB·AC·sin A＝． 所以△ABC的面积为2或． 类型3　利用正弦定理判断三角形的形状 【例3】　【链接教材P6例5】 在△ABC中，已知＝，且sin2A＋sin2B＝sin2C．求证：△ABC为等腰直角三角形． [思路引导]　利用正弦定理，将已知条件＝化为边，将sin2A＋sin2B＝sin2C也化为边的形式证明． [证明]　因为＝，所以＝， 又因为＝，所以＝， 所以a2＝b2，即a＝b， 设＝＝＝k(k≠0)， 则sin A＝，sin B＝，sin C＝， 又因为sin2A＋sin2B＝sin2C， 所以＝，即a2＋b2＝c2， 所以△ABC为等腰直角三角形． [母题探究] (变条件)若将题设中的条件变为“若sinA＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”，试判断△ABC的形状． [解]　(法一)在△ABC中，根据正弦定理，得 ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 因为sin2A＝sin2B＋sin2C， 所以＝＋， 即a2＝b2＋c2， 所以A＝90°，所以B＋C＝90°， 由sinA＝2sin B cos C， 得sin 90°＝2sin B cos (90°－B)， 所以sin2B＝． 因为B是锐角，所以sinB＝， 所以B＝45°，C＝45°， 所以△ABC是等腰直角三角形． (法二)在△ABC中，根据正弦定理，得 sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)． 因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2＝b2＋c2， 所以△ABC是直角三角形且A＝90°． 因为A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin B cos C， 所以sin (B＋C)＝2sin B cos C． 所以sin B cos C－cos B sin C＝0， 即sin (B－C)＝0．所以B－C＝0，即B＝C． 所以△ABC是等腰直角三角形． 【教材原题·P6例5】 例5　在△ABC中，已知sin2A＋sin2B＝sin2C，求证：△ABC是直角三角形． [证明]　设＝＝＝k，则k≠0，且sin A＝，sin B＝，sin C＝． 又因为sin2A＋sin2B＝sin2C， 所以＝， 即a2＋b2＝c2，因此由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形． 　判断三角形形状的方法 (1)判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而做出准确判断． (2)判断三角形的形状，主要看其是不是等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别． [跟进训练] 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB sin C＝，tan B tan C＝． (1)试判断△ABC的形状； (2)若a＝4，求△ABC的周长C和面积S． [解]　(1)△ABC是等腰三角形，理由如下： 因为sin B sin C＝，tan B tan C＝， 所以cos B cos C＝， 则cos (B＋C)＝cos B cos C－sin B sin C＝， 因为B＋C∈(0，π)， 所以B＋C＝，A＝， 又因为cos (B－C)＝cos B cos C＋sin B sin C＝1， 因为0<B<，0<C<， 所以－<B－C<， 所以B－C＝0，所以B＝C＝， 所以△ABC是等腰三角形． (2)因为＝＝，a＝4，A＝，B＝C＝， 所以b＝c＝4， 所以△ABC的周长C＝4＋4＋4＝8＋4， △ABC的面积S＝bc sin A＝×4×4×＝4． 类型4　正弦定理的综合应用 【例4】　在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b sin A，求cos A＋sin C的取值范围． [解]　因为a＝2b sin A，所以由正弦定理得sin A＝2sin B sin A，又sin A≠0， 所以sin B＝．因为B为锐角，所以B＝． 令y＝cos A＋sin C＝cos A＋sin [π－(B＋A)]＝cos A＋sin ＝cos A＋sin cos A＋cos sin A＝cos A＋ sin A＝sin ． 由锐角三角形ABC知 所以 所以<A<．所以<A＋<， 所以<sin <， 所以<sin <，即<y<． 所以cos A＋sin C的取值范围是． 　三角综合问题的求解策略 利用正弦定理求三角函数式的最值或范围的关键是根据已知条件，灵活运用正弦定理及三角基本关系式，对边角关系进行相互转化，借助三角恒等变换解决问题． [跟进训练] 4．已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． [解]　(1)∵A＋B＝3C，∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin (A－C)＝sin B＝sin (A＋C)， ∴2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos Asin C， ∴sin A cos C＝3cos A sin C，∴sin A＝3cos A， 即tan A＝3，∴0＜A＜， ∴sin A＝＝． (2)由(1)知，cos A＝＝， ∴sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C ＝＝． 由正弦定理＝， 可得AC＝＝2， ∴AB·h＝AB·AC·sin A， ∴h＝AC·sin A＝2＝6． ∴AB边上的高为6． 1．在△ABC中，若a＝2，b＝，A＝，则B＝(　　) A． B． C． D．或 A　[由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝， 又a>b，所以A>B，故B＝．] 2．(教材P12习题9-1AT1改编)在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能确定 D．等腰三角形 B　[由正弦定理，得＝＝， ∴sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B．又A，B∈(0，π)，且A，B不可能同时为钝角，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．] 3．在△ABC中，A＝60°，a＝5，b＝6，则满足条件的△ABC的个数为(　　) A．无数个 B．2 C．1 D．0 D　[因为A＝60°，a＝5，b＝6，由正弦定理＝，即＝，所以sin B＝， 又sin B＝>1，由正弦函数的性质可得角B不存在，所以满足条件的△ABC不存在．故选D．] 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若b sin A＝a sin C，c＝1，则b＝__________，△ABC面积的最大值为__________． 1　　[因为b sin A＝a sin C，所以由正弦定理可得ba＝ac，所以b＝c＝1；所以S△ABC＝bc sin A＝sin A，当sin A＝1，即A＝90°时三角形面积最大．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．利用正弦定理，我们可以解决哪些类型的解三角形问题？ [提示]　利用正弦定理，可以解决： (1)已知两边和其中一边的对角解三角形； (2)已知两角和一边解三角形． 2．判断三角形形状通常有哪两种方法？ [提示]　(1)边化角．考查角的关系主要有： 两角是否相等；三个角是否相等；是否有直角等． (2)角化边．考查边的关系主要有： 两边是否相等；三边是否相等；是否满足勾股定理等． 课时分层作业(一)　正弦定理 一、选择题 1．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是(　　) A．a>b sin A B．a＝b sin A C．a<b sin A D．ab sin A D　[由正弦定理＝，所以a＝． 在△ABC中，0<sin B1，故1，所以ab sin A．] 2．在△ABC中，已知b＝3，c＝8，A＝，则△ABC的面积为(　　) A．6 B．12 C．6 D．12 C　[S△ABC＝bc sin A＝×3×8×sin ＝6．故选C．] 3．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B　[由题意有＝b＝，则sin B＝1，即B为直角，故△ABC是直角三角形．] 4．在△ABC中，a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝(　　) A．105° B．15° C．105°或15° D．45°或135° C　[由a＜c，得A＜C，又由sin C＝＝，得C＝45°或135°，所以B＝105°或15°．] 5．在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝2，则AC＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 A　[在△ABD中，由正弦定理，得＝， 所以sin ∠ADB＝＝＝， 所以∠ADB＝45°，则∠BAD＝180°－45°－120°＝15°， 所以∠BAC＝30°，C＝∠ADB－∠DAC＝45°－15°＝30°， 所以BC＝AB＝2． 在△ABC中，由正弦定理，得＝， 所以AC＝＝＝2．故选A．] 二、填空题 6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________． 2　[由正弦定理及sin C＝2sin A得AB＝2BC＝2．] 7．已知在△ABC中，BC＝15，AC＝10，A＝60°，则cos B＝________． 　[由正弦定理得＝， 所以sin B＝＝＝， 因为AC<BC， 所以B<A＝60°，则B为锐角， 所以cos B＝＝．] 8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边．若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝________，△ABC的面积为________． 2　＋1　[由题得C＝180°－105°－45°＝30°． 根据正弦定理＝，可知＝，解得c＝2．故△ABC的面积为S＝bc sin A＝×2×2×sin 105°＝2＝＋1．] 三、解答题 9．在△ABC中，cos A＝－，cos B＝． (1)求sin C的值； (2)设BC＝5，求△ABC的面积． [解]　(1)因为cos A＝－，cos B＝，A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以sin A＝，sin B＝， 所以sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B) ＝sin A cos B＋cos A sin B＝＝． (2)由正弦定理得AC＝＝＝， 所以S△ABC＝AC·BC sin C＝×5×＝． 10．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列正确的判断是(　　) A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰直角三角形 B．若a＝b sin C＋c cos B，则C＝ C．若a＝12，b＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个 D．若C为钝角，则sin A<cos B BD　[A选项，sin 2A＝sin 2B，A＋B∈(0，π)，故2A＝2B或2A＋2B＝π，解得A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，A错误；B选项，a＝b sin C＋c cos B，由正弦定理得sin A＝sin B sin C＋sin C cos B，因为sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 所以sin B sin C＋sin C cos B＝sin B cos C＋cos B sin C，故sin B sin C＝sin B cos C，因为B∈(0，π)， 所以sin B≠0，故sin C＝cos C，tan C＝1， 因为C∈(0，π)，故C＝，B正确； C选项，若a＝12，b＝10，B＝60°，则a sin B＝6>10＝b，则符合条件的△ABC有0个，C错误； D选项，若C为钝角，则A＋B<，0<A<， 0<B<，所以0<A<－B<， 因为y＝sin x在上单调递增， 所以sin A<sin ＝cos B，故D正确． 故选BD．] 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a cos B＝(c－b)cos A，则角A的大小为(　　) A． B． C． D． B　[由正弦定理及题意得sin A cos B＝(sin C－sin B)·cos A，即sin (A＋B)＝sin C cos A，即sin C＝sin C cos A，所以cos A＝，故A＝．故选B．] 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． C　[由题意结合正弦定理可得sin A cos B－sin B cos A＝sin C， 即sin A cos B－sin B cos A＝sin (A＋B) ＝sin A cos B＋sin B cos A， 整理可得sin B cos A＝0，由于B∈(0，π)， 故sin B＞0， 据此可得cos A＝0，A＝， 则B＝π－A－C＝π－＝．故选C．] 13．在△ABC中，a＝2，c＝，sin A＋cos A＝0，则角B的大小为________． 　[因为角A是三角形的内角，所以A∈(0，π)．又因为sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1．所以A＝π，由正弦定理＝，则＝，所以sin C＝．因为A＝π，所以C∈，所以C＝．由三角形内角和定理可知B＝π－A－C＝．] 14．在①＝，②b(2－cos A)＝a sin B中选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题． 已知△ABC中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若________， (1)求内角A的大小； (2)设a＝4，b＝4，求△ABC的面积． [解]　(1)若选①：由正弦定理及＝得，＝， 则＝，得tan A＝＝． 因为A∈(0，π)， 所以A＝． 若选②：由b(2－cos A)＝a sin B和正弦定理， 得2sin B＝sin A sin B＋sin B cos A． 因为在三角形内，sin B>0， 所以sin A＋cos A＝2． 即sin ＝1， 因为0<A<π， 所以<A＋<， 所以A＋＝， 所以A＝． (2)由正弦定理＝， 得＝， 则sin B＝，因为A<B<π，则B＝或， 若B＝，则C＝，则S△ABC＝ab sin C＝8； 若B＝，则C＝，则S△ABC＝ab sin C＝4． 所以△ABC的面积为8或4． 15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2． (1)求A； (2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长． [解]　(1)由sin A＋cos A＝2，得 sin A＋cos A＝1，即sin ＝1， 由于A∈(0，π)，所以A＋∈，故A＋＝， 所以A＝． (2)由题设条件和正弦定理得 sin B sin C＝2sin C sin B cos B， 又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，所以cos B＝，所以B＝，所以C＝π－A－B＝， sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝， 由正弦定理＝＝，可得＝＝，解得b＝2，c＝， 故△ABC的周长为2＋＋3． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $