6.1.4-6.1.5 数乘向量 向量的线性运算-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“数乘向量”与“向量的线性运算”核心知识点，承接向量加减运算，系统阐述数乘向量的定义、几何意义、运算律及向量线性运算的性质，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 以生活情境（如闪电雷声、自由落体速度）引入，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过思考辨析、例题解析（如三点共线证明）发展逻辑推理与数学抽象能力，分层作业设计兼顾课中教学引导与课后学生查漏补缺，助力核心素养落地。

6.1.4　数乘向量 6.1.5　向量的线性运算 学习任务 1．掌握数乘向量的定义并理解其几何意义．(直观想象) 2．理解数乘向量的运算律．(数学抽象) 3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(直观想象、逻辑推理) 在疾风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一时空中光速远远大于声速． 一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式vt＝gt可知，它在1 s末和2 s末的速度大小分 别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s．显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下． 问题：在上述情景中的速度有什么关系？ [提示]　有倍数关系． 知识点1　数乘向量 1．定义：实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量，记作λa． 2．规定：(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，且λa的方向如下： ①当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； ②当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 实数与向量可以进行数乘运算，结果仍是向量，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义． 3．几何意义 把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小． 数乘向量λa中，λ的符号与λa的方向有关，|λ|的大小与λa的模有关． 当λ＞0时，沿着向量a的方向放大(λ＞1)或缩小(0＜λ＜1)到原来的λ倍； 当λ＜0时，沿着向量a的反方向放大(|λ|＞1)或缩小(0＜|λ|＜1)到原来的|λ|倍． 4．运算律 设λ，μ为实数，则λ(μa)＝(λμ)a； 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)． 知识点2　向量的线性运算 1．向量的加法与数乘向量的混合运算 规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算数乘向量，再算向量加法． 运算律：设对于实数λ与μ，以及向量a，b，有 (1)λa＋μa＝(λ＋μ)a． (2)λ(a＋b)＝λa＋λb． 2．向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算． 数乘向量与实数的乘法有什么区别？ [提示]　数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)a＝0，则λa＝0． (　　) (2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反． (　　) (3)对于非零向量a，当λ＝时，λa表示与a同向的单位向量． (　　) (4)λa＋μa与(λ＋μ)a的方向都与a的方向相同． (　　) [提示]　(1)正确． (2)正确． (3)正确． (4)只有当λ＋μ是正数时，λa＋μa与(λ＋μ)a的方向才都与a的方向相同． [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．(2a－b)－(2a＋b)等于(　　) A．a－2b　　　　　　　　 B．－2b C．0 D．b－a B　[原式＝2a－2a－b－b＝－2b．] 3．已知|a|＝1，|b|＝3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b＝________a． －3　[由于|a|＝1，|b|＝3，则|b|＝3|a|，又两向量反向，故b＝－3a．] 4．点C在线段AB上，且＝，则＝________＝________． 　－　[由点C在线段AB上，且＝，可画出图形，如图所示， 设AC＝5，则CB＝2，所以AB＝7， 所以和同向，且＝， 和反向，且＝－．] 类型1　数乘向量有关概念辨析 【例1】　(1)设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是(　　) A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a (2)(多选)λ，μ∈R，下列关系中不正确的是(　　) A．若λ＝0，则λa＝0 B．若a＝0，则λa＝0 C．|λa|＝|λ|a D．λ(μ＋a)＝λμ＋λa (1)C　(2)ACD　[(1)当λ<0时，a与－λa的方向相同，当λ>0时，a与－λa的方向相反，故A不正确；当|λ|<1时，|－λa|＝|λ||a|＜|a|，故B不正确；由λ是非零实数，可得λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故C正确；|－λa|是实数，|λ|a是向量，不可能相等，故D不正确． (2)根据数乘向量的定义知，λa仍为一个向量，其模|λa|＝|λ||a|，∴A，C均不正确；显然B正确；∵向量a与实数μ相加没有意义，∴λ(μ＋a)＝λμ＋λa是一个不存在的式子，∴D不正确．] 　对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识： λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍； λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍； λ＝0时，λa＝0． 提醒：当λ＝0或a＝0时，λa＝0．注意是0，而不是0． [跟进训练] 1．(1)(多选)设a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是(　　) A．－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的2倍 B．3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的 C．－6×4a＝－24a D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 (2)下列说法正确的是(　　) A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| (1)ABC　(2)D　[(1)∵－2＜0，∴－2a与a方向相反，又|－2a|＝2|a|，∴A正确． ∵3＞0，∴3a与a方向相同，∵5＞0，∴5a与a方向相同，∴3a与5a方向相同． ∵|3a|＝3|a|，|5a|＝5|a|， ∴3a的模是5a的模的，B正确．C显然正确． ∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b， ∴a－b与－(b－a)为相等向量，D错误． (2)当λ＝0，a≠0时，λa与a的方向不能确定，A错误．当a≠0时，结论才成立，B错误；若|b|＝2|a|时，b与a不一定共线，C错误；显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|．] 类型2　向量的线性运算 【例2】　【链接教材P152例1、P153例2】 (1)(多选)设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使＝0成立的是(　　) A．a＝－2b B．a＝2b C．a＝b D．a＝－b (2)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x； (3)已知其中a，b为已知向量，求x，y． (1)AD　[因为与a同向的单位向量为，与b同向的单位向量为，所以若＝0，则a，b方向相反．故选AD．] (2)[解]　原方程可化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0，即2x＋a－4b＝0， ∴x＝2b－a． (3)[解]　由②得y＝x－b， 代入①，得3x＋4＝a， ∴3x＋x－b＝a，即17x＝4b＋3a， ∴x＝b＋a， ∴y＝b＝b＋a－b＝a－b． 【教材原题·P152例1、P153例2】 例1　化简：5a＋b＋2(a＋b)． [解]　原式＝5a＋b＋2a＋2b＝5a＋2a＋b＋2b ＝(5＋2)a＋(1＋2)b＝7a＋3b． 例2　化简下列各式： (1)2(a＋b)－2(a－b)； (2)－(a＋b－c)＋2(a－b＋c)； (3)2a－×3b＋×4a； (4)(λ＋μ)(a－b)＋(λ－μ)(a＋b)． [解]　(1)原式＝2a＋2b－2a＋2b＝2a－2a＋2b＋2b＝4b． (2)原式＝－a－b＋c＋2a－2b＋2c＝a－3b＋3c． (3)原式＝2a－b＋2a＝4a－b． (4)原式＝(λ＋μ)a－(λ＋μ)b＋(λ－μ)a＋(λ－μ)b ＝[(λ＋μ)＋(λ－μ)]a＋[(λ－μ)－(λ＋μ)]b ＝2λa＋(－2μ)b ＝2λa－2μb． 　向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． [跟进训练] 2．(1)如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则等于(　　) A．－ B．－ C． D． (2)若已知向量a，b满足(3a－2c)＋4＋(a＋6b)＝0，则c＝________． (1)A　(2)－6a－6b　[(1)∵D是△ABC的边AB的中点，∴＝)．∵＝， ∴＝)＝－． (2)(3a－2c)＋4＋(a＋6b) ＝a－c＋c－4b＋a＋6b＝2a＋2b＋c＝0， 所以c＝－2a－2b，c＝－6a－6b．] 类型3　向量平行、三点共线问题 【例3】　【链接教材P154例6】 (1)已知两个非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线． (2)(源自北师大版教材)如图，已知点O是△ABC所在平面内一点，点D为边BC的中点，且＝0，说明向量与的关系． [解]　(1)∵＝＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6， ∴向量与共线． 又和有共同的起点A， ∴A，B，D三点共线． (2)因为点D为BC边的中点，所以＝2． 又＝0，所以＋2＝0， 也就是2＝－＝． 所以＝＝， 即向量与共线且方向相同，长度是向量长度的倍． 【教材原题·P154例6】 例6　已知A，B，C是三个不同的点，＝a－b，＝2a－3b，＝3a－5b．求证：A，B，C三点共线． 证明：因为 ＝＝(2a－3b)－(a－b)＝a－2b， ＝＝(3a－5b)－(a－b)＝2a－4b， 所以＝2，因此A，B，C三点共线． 　1．证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ或＝λ，即使得一个点(公共点)出现两次，另外两点各出现一次)即可． 2．利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． [跟进训练] 3．(1)已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝(　　) A．2 B．－2 C．－ D． (2)设a，b是不共线的两个向量．若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线． (1)C　[因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以ka＝b，k≠0，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2． 因为向量e1，e2是两个不共线的向量， 所以解得λ＝－．] (2)证明：因为＝＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，所以与共线，且有公共点B，所以A，B，C三点共线． 1．(教材P154练习AT1(1)改编)将[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为(　　) A．2a－b B．2b－a C．a－b D．b－a B　[原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝[(4－16)a＋(16＋8)b]＝(－12a＋24b)＝2b－a．] 2．“实数λ＝0”是“λa＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 A　[当λ＝0时，λa＝0显然成立，当λa＝0时，此时λ＝0不一定成立，例如a＝0时λ可取任意实数， 所以“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件，故选A．] 3．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________＝________． 2　2　[因为－3＋2＝0，所以＝2()，所以＝2，所以＝2．] 4．已知M，N分别是线段OA，OB上的点，且＝＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________． 　[根据题意，由＝＝2，得＝＝，因此＝＝，因为＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．如何理解数乘向量的几何意义？ [提示]　把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．即 当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到原来的|λ|倍； 当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短到原来的|λ|倍． 特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即－a＝(－1)a． 2．数乘向量的运算律有哪些？ [提示]　设λ，μ是实数，a，b是向量，则 (1)结合律：λ(μa)＝(λμ)a； (2)λa＋μa＝(λ＋μ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 3．如何证明三点共线？ [提示]　一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线． 课时分层作业(二十五)　数乘向量　向量的线性运算 一、选择题 1．点M在AB上，且＝，则等于(　　) A．－3 B． C．－ D．3 B　[如图，＝，所以＝． ] 2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n AB　[对于A：根据数乘向量的原则可得：m(a－b)＝ma－mb，故A正确； 对于B：根据数乘向量的原则可得：(m－n)a＝ma－na，故B正确； 对于C：由ma＝mb可得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，所以不能推出a＝b，故C错误； 对于D：由ma＝na可得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，所以不能推出m＝n．故D错误．] 3．4(a－b)－3(a＋b)－b＝(　　) A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b D　[4(a－b)－3(a＋b)－b ＝4a－4b－3a－3b－b ＝a－8b．] 4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，且3＝＋2，则(　　) A．＝2 B．＝　 C．＝2 D．＝ C　[3＝＋2， 则有＝2， 可得＝2．故选C．] 5．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．B，C，D B．A，B，C C．A，B，D D．A，C，D C　[＝a＋2b，＝＝2a＋4b＝2，又与有公共点B，∴A，B，D三点共线．其余选项可逐一排除．] 二、填空题 6．(教材P154练习AT1(2)改编)化简：2(a－3b)＋3(2b－a)＝________． －a　[2(a－3b)＋3(2b－a)＝2a－6b＋6b－3a＝－a．] 7．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________． －4　[∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反， ∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4． (∵方向相反，∴λ＜0⇒k＜0)] 8．已知O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝________． (或)　[设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝＝＝．] 三、解答题 9．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，＝a，＝b． (1)用a，b分别表示向量； (2)求证：B，E，F三点共线． [解]　(1)因为＝)＝(a＋b)， 所以＝＝(a＋b)， 因为＝＝b， 所以＝＝－a＋b． (2)证明：由(1)知＝－a＋b，＝＝＝＝－a＋b＝， 所以＝，所以与共线． 又有公共点B，所以B，E，F三点共线． 10．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＝0，则(　　) A．＝2　　　　　　 B．＝ C．＝3 D．2＝ B　[因为D为BC的中点，所以＝2，所以2＋2＝0， 所以＝－，所以＝．] 11．(多选)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．＝－a－b B．＝a＋b C．＝－a＋b D．＝a ABC　[如图，在△ABC中，＝＝－＝－b－a，故A正确；＝＝a＋b，故B正确； ＝＝－b－a，＝＝b＋×(－b－a)＝－a＋b，故C正确； ＝＝－a，故D不正确．] 12．已知点O是△ABC内部一点，并且满足＋2＝0，△AOB的面积为S1，△AOC的面积为S2，则＝________． 　[因为＋2＝0，所以＝－2＝2，所以＝)， 取AC的中点D，则＝) ．所以＝，即O为中线BD的中点，如图所示， 则S2＝2S△AOD，又S△AOD＝S△AOB＝S1． 所以＝．] 13．在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________． 　[取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD． ∵＝＝＝)＝＝， ∴λ＝，μ＝．] 14．如图，以向量＝a，＝b为边作▱OADB，＝＝，用a，b表示． [解]　因为＝＝a－b，＝＝a－b，所以＝＝a＋b， 又因为＝a＋b， ＝＝ ＝＝(a＋b)＝a＋b， 所以＝＝a＋b－a－b＝a－b， 即有＝a＋b，＝a＋b， ＝a－b． 15．(多选)已知点P为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．向量与可能平行 B．点P在线段EF的延长线上 C．点P在线段EF上 D．PE∶PF＝2∶1 CD　[点P为△ABC所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的中点， 则＝2＝2，而＋2＋3＝0，即()＋2()＝0，于是得2＋4＝0，即＝2，所以点P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1，因为点P在△ABC的中位线EF上，所以直线EF∥AB，即点P，A，C不共线，则向量与不可能平行，A不正确，B不正确，C正确，D正确．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $