6.1.5 向量的线性运算（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品教学课件 6.1.5 向量的线性运算 第六章 平面向量初步 高一必修第二册（2019人教B版） ①学习目标 ②新知导入 ③新知探索 ④教材例题 ⑤课堂练习 ⑥课堂总结 ⑦作业布置 1.理解向量线性运算的定义及运算法则.（重点） 2.能利用向量的线性运算解决简单问题.（难点） 学习目标 新知导入 情景一：向量的加法运算、数乘向量运算,它们的结果都是向量,这就是说,这两者可以进行混合运算.例如,对于任意向量 ,式子是有意义的. 一般地,一个含有向量加法、数乘向量运算的式子,总是规定要先算数乘向量, 再算向量加法.因此,可以简写成.另外,不难. 新知探索 知识点一：向量的加法与数乘向量的混合运算 一般地,对于实数与,以及向量,有： 新知探索 知识点一：向量的加法与数乘向量的混合运算 这可以通过对以及的符号进行讨论得到.例如,当都是正数时, 不难看出和的方向都与的方向相同,而且模都等于 ,所以此时. 如图所示,下面我们来考虑与之间的关系. 在图中,.注意到 ,所以,因此,且,从而有 ,即 新知探索 知识点一：向量的加法与数乘向量的混合运算 一般地,对于任意实数,以及向量与,有： 数乘向量的运算律：设λ，μ为实数，则 ①(λ＋μ)a＝λa＋μa； ②λ(μa)＝(λμ)a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 新知探索 知识点一：向量的加法与数乘向量的混合运算 不难看出,向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算.向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算. 新知探索 知识点二：向量的线性运算 向量的线性运算,总规定要先计算数乘向量,再按从左往右的顺序进行计算,若有括号,要先算括号内各项.因此,可以简单地. 另外,由于向量的加法满足交换律与结合律,减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量,因此 新知探索 知识点二：向量的线性运算 事实上,当一个向量的线性运算中含有括号时,我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号,例如 向量的线性运算： 向量的加法、减法和数乘向量以及它们的混合运算，通常叫作向量的线性运算. 新知探索 知识点二：向量的线性运算 向量共线： 一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线. 向量线性运算的方法： 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看做是向量的系数. 新知探索 知识点二：向量的线性运算 用已知向量表示未知向量的技巧： ①由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算. ②当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解. 教材例题 【典例1】化简:. 【解析】原式 教材例题 【典例2】化简下列各式: (1) ；(2); (3); (4). 【解析】(1)原式. (2)原式. (3)原式 . (4)原式 教材例题 【证明】由已知得 【典例3】如图所示,已知,,求证:. 教材例题 【典例4】已知为线段的中点,且为任意一点,求证: 【证明】由为线段的中点可知, 因此 从而有,即 教材例题 【典例5】已知,求证:为线段的中点. 【证明】由可知 ,因此 从而有,即为线段的中点. 教材例题 【典例6】已知是三个不同的点,, .求证:三点共线. 【解析】因为， 所以,因此三点共线. 课堂练习 【训练1】(多选)下列向量中a，b共线的有(　　) A.a＝2e，b＝－2e； B.a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2 C.a＝4e1－eq \f(2,5)e2，b＝e1－eq \f(1,10)e2 D.a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 【解析】A中，b＝－a，B中，b＝－2a，C中，a＝4b，故共线.故选ABC. 课堂练习 【训练2】若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)b))＋(2b－a)＝________. 【解析】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)b))＋(2b－a)＝eq \f(1,3)a－b－3a－2b＋2b－a＝－eq \f(11,3)a－b ＝－eq \f(11,3)(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋eq \f(44,3)j－5i－4j＝－16i＋eq \f(32,3)j. 课堂练习 【训练3】化简下列各式： (1)2(