6.1.3 向量的减法-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学向量的减法核心知识点，衔接向量加法运算，通过“问题导入—定义剖析—法则建构—性质应用”的学习支架，系统梳理差向量定义、三角形法则（共起点连终点指向被减向量）及相反向量性质，形成完整知识脉络。 资料突出直观想象与逻辑推理素养培养，结合图示解析三角形法则几何意义，通过相反向量性质推导提升数学抽象能力。例题与分层作业设计，课中助力教师分层教学，课后帮助学生通过基础题与综合题巩固知识，弥补薄弱环节。

6.1.3　向量的减法 学习任务 1．掌握向量减法的运算，并理解其几何意义．(直观想象) 2．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．(数学抽象) 3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(逻辑推理) 已知向量是向量与向量x的和，如图所示． 问题：(1)指出表示x的有向线段． (2)向量x的模与||，||有什么关系？ [提示]　(1)表示向量x． (2)||－||＜|x|． 知识点　向量的减法 1．向量的减法 (1)向量减法的定义 一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b． (2)向量减法的三角形法则 已知向量a，b，作＝a，＝b，则＝，向量就是向量a与b的差，并记作a－b，即＝a－b＝． (3)向量减法的两个重要结论 ①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量． ②一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”． 在用三角形法则作两个向量的差向量时，只要记住“共起点，连终点，指向被减”即可． 2．相反向量 (1)给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a．因此，的相反向量是－，而且－＝．因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝0． 相反向量必是共线向量． (2)相反向量的性质 ①a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ②－(－a)＝a； ③零向量的相反向量仍是0，即0＝－0． (3)向量减法的理解 向量的减法可以看成向量的加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b)，也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量． a－b＝－b＋a，(a－b)－c＝(a－c)－b＝a－(b＋c)． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)＝． (　　) (2)若－b与a同向，则a－b与a同向． (　　) (3)向量的减法不满足结合律． (　　) [提示]　(1)错误，＝． (2)正确，－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向． (3)错误，如(a－b)＋c＝a＋(c－b)． [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b　　　　　　　 B．b－a C．a＋b D．－a－b B　[＝＝＋(－)＝b－a．] 3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________． 0　2　[若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，a＝－b，又|a|＝1，∴|a－b|＝2|a|＝2．] 　　 类型1　向量减法及其几何意义 【例1】　(1)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则等于(　　) A． C． (2)如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c． (1)D　[如图所示，＝＝．故选D． ] (2)[解]　如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c． 　作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． [跟进训练] 1．(1)(多选)下列各式中能化简为的是(　　) A．()－ B．－() C．－()－() D．－ (2)化简：①＝________； ②＝________． (1)ABC　(2)①0　②　[(1)选项A中，()－＝＝＝；选项B中，－()＝－0＝；选项C中，－()－()＝－＝＝()＋＝．选项D不能化简为． (2)①＝＋()＝＝0； ②＝()－()＝．] 类型2　用已知向量表示未知向量 【例2】　【链接教材P147例1】 如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． [解]　(1)＝＝c－a． (2)＝＝d－a． (3)＝＝＝d－b． (4)＝＝b－a＋f－c． (5)＝＝＝f－d． 【教材原题·P147例1】 例1　已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，用a，b分别表示向量． [解]　如图6-1-19所示，由向量加法的平行四边形法则可知 ＝＝a＋b． 按照减法的定义可知 ＝＝a－b． 　1．利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 (1)一个关键 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)三点注意 ①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系． ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律． ③注意在封闭图形中利用多边形法则． 2．用已知向量表示其他向量的一般步骤 [跟进训练] 2．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________． a＋c－b　[因为＝a，＝b，＝c，所以＝＝c－b，又＝，所以＝＝a＋c－b．] 类型3　向量减法的三角不等式及其等号成立的条件 【例3】　【链接教材P148例2】 已知||＝6，||＝9，求||的取值范围． [解]　∵|||－|||≤||≤||＋||， 且||＝6，||＝9，∴3≤||≤15． 当与同向时，||＝3； 当与反向时，||＝15． ∴||的取值范围为[3，15]． [母题探究] 1．(变条件)将本例的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围． [解]　因为＝，||＝8，||＝5， |||－|||≤||≤||＋||， 所以3≤||≤13． 当与同向时，||＝3； 当与反向时，||＝13． 所以||的取值范围是[3，13]． 2．(变条件、变结论)将本例中条件“||＝9”改为“||＝9”，求||的取值范围． [解]　＝，||＝||， ∵|||－|||≤||≤||＋||， ∴3≤||≤15． ∴||的取值范围是[3，15]． 【教材原题·P148例2】 例2　已知|a|＝1，|b|＝2，求|a－b|的取值范围． [解]　当a与b不共线时，由向量减法的三角形法则可知，|a|，|b|，|a－b|正好是一个三角形的三条边，从而 ||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|， 因此1＜|a－b|＜3． 当a与b共线时，不难看出： 如果a与b方向相同，有 |a－b|＝||a|－|b||＝1； 如果a与b方向相反，有 |a－b|＝|a|＋|b|＝3． 综上有1≤|a－b|≤3． 　向量加法与减法的几何意义的联系 (1)如图所示，平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b． (2)类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|． [跟进训练] 3．已知菱形ABCD的边长为2，则向量的模为________，||的取值范围是________． 2　(0，4)　[因为＝＝，又||＝2， 所以||＝||＝2． 又因为＝，且在菱形ABCD中，||＝2， 所以|||－|||<||＝||<||＋||，即0<||<4．] 1．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则的相反向量是(　　) A．a－b　 　B．b－a　 　C．a＋b　 　D．－a－b A　[＝＝b－a，所以的相反向量为a－b．] 2．如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是(　　) A．＝ B．＝0 C．＝ D．＝ C　[A错，＝；B错，＝≠0；D错，＝＝．故选C．] 3．(教材P148练习AT1(2)改编)化简：()－()＝________． 0　[法一：()－() ＝ ＝ ＝()＋() ＝＝0． 法二：()－() ＝ ＝()＋() ＝＝0．] 4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________． 4　[由向量三角不等式得|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|＝2且|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4，所以|a＋b|＋|a－b|的最小值为4．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．向量减法运算的常用方法是什么？ [提示]　 2．求向量的和或差的常用变形有哪些？ [提示]　(1)运用－＝化减为加； (2)运用＝0或＝化繁为简； (3)运用＝将一个向量转化为共始点的两个向量的差．(辅助点法) 3．a，b的模与a－b的模有怎样的不等式关系？ [提示]　a，b的模与a－b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|． 课时分层作业(二十四)　向量的减法 一、选择题 1．(多选)在△ABC中，向量可表示为(　　) A．　　　　　　 B． C． D． BCD　[由向量的减法与加法可知B、C、D正确．] 2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　) A．＝0 B．＝ C．＝ D．＝0 C　[因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＝0，＝＝＝＝＝0，故只有C错误．] 3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外＝16，||＝||，则||＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 C　[以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，则＝＝．因为||＝||，所以||＝||．又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB．则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，所以||＝||＝2．] 4．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且，则化简的结果为(　　) A．0 B． C． D． A　[＝＋＝＝0．] 5．已知平面内M，N，P三点满足＝0，则下列说法正确的是(　　) A．M，N，P是一个三角形的三个顶点 B．M，N，P是一条直线上的三个点 C．M，N，P是平面内的任意三个点 D．以上都不对 C　[因为＝0，＝0对任意情况是恒成立的，所以M，N，P是平面内的任意三个点．故选C．] 二、填空题 6．的化简结果为________． 0　[原式＝－＝＝0．] 7．在边长为1的正方形ABCD中，＝________． 　[＝＝＝．] 8．已知＝a，＝b(a＞b)，的取值范围是[5，15]，则a＝________，b＝________． 10　5　[因为a－b＝＝a＋b，所以a－b≤≤a＋b， 因为的取值范围是[5，15]， 所以解得] 三、解答题 9．(源自湘教版教材)如图，已知点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，若＝c，求证：＝c－b－a． [证明]　因为四边形ABCD为平行四边形， 所以． 因为点O是平行四边形ABCD对角线的交点， 所以c－b＝ ＝， ， 所以c－b＝＋a， 因此＝c－b－a． 10．(多选)下列能化简为的是(　　) A． B．＋ C．＋ D． ABC　[对于A，，A正确； 对于B，＋＝＋，B正确； 对于C，＋＝＋＝0＋，C正确； 对于D，≠，D错误．] 11．八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．八卦模型图的平面图形记为图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则＝(　　) A． C． B　[由题意得，则．] 12．已知正方形ABCD的边长为1，则＝________． 2　[∵正方形ABCD的边长为1，∴＝＝2．] 13．如图，在正六边形ABCDEF中，与相等的向量有________．(填序号) ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． ①④　[∵四边形ACDF是平行四边形， ∴． ． ． ． ∵四边形ABDE是平行四边形，∴． 综上可知与相等的向量是①④．] 14．已知△OAB中，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积． [解]　由已知得＝为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则可知其为菱形，且＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则|OA|＝|OB|＝|BA|， ∴△OAB为正三角形， ∴|a＋b|＝＝2×， S△OAB＝． 15．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝c，判断△ABC的形状． [解]　由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0，所以a＋c＝－b． 如图，作▱APCD，则▱APCD为菱形．＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°． 同理∠APB＝∠BPC＝120°． 又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $