6.1.2 向量的加法-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学向量的加法运算及几何意义，从物理共点力平衡情境引入，系统梳理三角形法则、平行四边形法则的适用条件与作图方法，扩展到多边形法则及运算律，结合向量模的不等关系，构建“情境-抽象-法则-应用”的学习支架，配套定义解析、例题示范及分层练习。 资料特色在于融合数学抽象与直观想象核心素养，通过物理情境培养用数学眼光观察现实世界的意识，借助几何图形图示（如正六边形向量求和）发展直观想象能力，几何证明实例（如证明平行四边形）提升用数学语言表达现实世界的能力。课中助力教师分层教学，课后分层作业与回顾表格帮助学生查漏补缺，强化知识体系。

6.1.2　向量的加法 学习任务 1．掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．(数学抽象) 2．理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围，并能应用向量加法的运算律进行相关运算．(直观想象) 物理中的共点力平衡，用两个力和拉的效果和用一个力F拉的效果是一样的． 　 问题：(1)F能不能称为和的合力呢？ (2)它们之间有什么关系？ 提示：(1)F能称为和的合力．(2)F＝． 知识点1　向量加法的三角形法则 已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝b，再作向量，则向量称为向量a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＝．上述求两个向量和的作图方法，称为向量求和的三角形法则． 规定：对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a． 知识点2　向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线的向量a，b，作＝b，则A，B，C三点不共线，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则对角线上的向量＝a＋b，如图，这种求两向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则． 知识点3　向量a，b的模与a＋b的模之间的不等关系 对任意向量a，b都有： ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|． 当a，b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|； 当a，b反向时，|a＋b|＝|a|－|b|或|b|－|a|． 知识点4　多个向量加法及其运算律 1．多个向量相加：为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和． (1)向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相连”． (2)当首尾依次相接的向量构成封闭的向量链时，各向量的和为0． 如图，在(n＋1)边形A0A1…An中，有＋＋＝0． 运用以上结论也可以判断一个图形是否为封闭图形． 2．向量加法的运算律 交换律 结合律 a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量相加就是两个向量的模相加． (　　) (2)两个向量相加，结果有可能是个数量． (　　) (3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加． (　　) [提示]　(1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合不共线的向量相加． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．＝(　　) A． C． D　[] 3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　) A． B． C． D．＝0 C　[因为≠，故C错误．] 4．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝7，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________． 15　1　[当a与b同向共线时，|a＋b|的值最大，此时|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋7＝15；当a与b反向共线时，|a＋b|的值最小，此时|a＋b|＝||a|－|b||＝|8－7|＝1．] 类型1　向量加法运算法则的应用 【例1】　(1)化简等于(　　) A． C． (2)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝(　　) A． B． C． D． (3)若正方形ABCD的边长为1，＝c．试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小． [思路导引]　利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图． (1)B　(2)C　[(1)由向量加法的三角形法则可得： ． 故选B． (2)以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则，由和的模相等，方向相同，得，即．] (3)[解]　根据平行四边形法则可知，a＋b＝． 延长AC，在AC的延长线上作，则a＋b＋c＝(如图所示)． 所以|a＋b＋c|＝＝2． 　应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单． [跟进训练] 1．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量： (1)＝________； (2)＝________； (3)＝________． (1)　(2)　(3)0　[(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形， ∴由向量加法的平行四边形法则，得． (2)由题图可知，， ∴． (3)因为，故＝0．] 类型2　向量加法运算律的应用 【例2】　【链接教材P145例2】 (1)下列等式不正确的是(　　) ①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＝0；③． A．②③ B．② C．① D．③ (2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简： ①； ②． [思路导引]　可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和． (1)B　[由向量的加法满足结合律知①正确；因为＝0，故②不正确；成立，故③正确．] (2)[解]　①＝＋． ②＝＋＝0＋0＝0． 【教材原题·P145例2】 例2　化简下列各式： (1)； (2)． [解]　(1)＝＋． (2)＋ ＝ ＝＋ ＝ ＝＝0． 　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的． 实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． [跟进训练] 2．化简下列各式： (1)； (2)＋＋． [解]　(1)＝0． (2)＋＋． 类型3　向量加法的应用 【例3】　试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AO＝OC，BO＝OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． [证明]　如图所示，由向量的加法法则知，＝＝． 又因为＝＝， 所以＝＝， 所以＝， 即AD与BC平行且相等． 故四边形ABCD是平行四边形． 　向量应用于几何问题的关键 向量是沟通“数”与“形”的桥梁．利用向量的加法可以证明线段的平行和相等，在解决问题中应抓住向量及其加法的几何意义求解．用向量证明几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题还原为几何问题． [跟进训练] 3．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，试求证四边形ABCD为矩形． [证明]　因为四边形ABCD中，＝， 所以AB∥DC，且||＝||， 所以四边形ABCD为平行四边形，如图， 所以＝＝＝， 因为||＝||， 所以||＝||，即平行四边形对角线相等，故四边形ABCD为矩形． 类型4　向量加法的多边形法则 【例4】　如图，正六边形ABCDEF中，＝(　　) A．0　　　　　　　　　　 B． C． D． [思路导引]　用向量加法的运算律，将变形为就可以利用向量加法的多边形法则求和向量． D　[因为多边形ABCDEF是正六边形，所以BA∥DE，BA＝DE，所以＝，所以＝＝＝．] 　用多边形法则计算向量加法的三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量． [跟进训练] 4．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)； (2)． [解]　(1)＝＝＝＝． (2)＝＝＝＝0． 1．(多选)下列结论中错误的是(　　) A．两个向量的和仍是一个向量 B．向量a与b的和是以a的始点为始点，以b的终点为终点的向量 C．a＋0＝a D．向量a与b都是单位向量，则|a＋b|＝2 BD　[两个向量的和运算结果仍是一个向量，所以A正确，不符合题意；只有当a，b首尾相连时才成立，故B错误，符合题意；任何向量与0相加都得其本身，故C正确，不符合题意；两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D错误，符合题意．] 2．(教材P145练习AT1(2)改编)化简的结果等于(　　) A． C． B　[＝＋0＝．] 3．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则||＝________． 　[在矩形ABCD中，＝，所以||＝＝＝．] 4．下列说法正确的是________．(填序号) ①若|a|＝3，|b|＝2，则|a＋b|≥1； ②若向量a，b共线，则|a＋b|＝|a|＋|b|； ③若|a＋b|＝|a|＋|b|，则向量a，b共线． ①③　[①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．利用向量的两种加法法则作图的方法是什么？ [提示]　 法则 作法 三角 形法 则 (1)用两个大写字母表示向量(其中后面向量的始点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)； (2)由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 平行 四边 形法 则 (1)把两个已知向量的始点平移到同一点； (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形； (3)对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和 2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？ [提示]　 法则 三角形法则 平行四边形法则 区别 (1)强调“首尾相连”； (2)适用于所有的非零向量求和． (1)强调“共起点”； (2)仅适用于不共线的两个向量求和． 联系 (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义；(2)当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 3．分别指出不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|左边取“＝”、右边取“＝”、左右两边同时取“＝”的条件． [提示]　当a，b共线，并且a，b方向相反或至少有一个为零向量时，不等式左边等号成立； 当a，b共线，并且a，b方向相同或者至少有一个为零向量时，不等式右边等号成立； 当a，b至少有一个为零向量时，不等式左右两边的等号同时成立． 课时分层作业(二十三)　向量的加法 一、选择题 1．(教材P145练习AT2改编)化简等于(　　) A． C．0 D． D　[＝＝．] 2．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＝(　　) A． C． B　[＝＝．] 3．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同 B．在△ABC中，必有＝0 C．若＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若a，b均为非零向量且方向相同，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等 BD　[A错误，若a＋b＝0时，方向是任意的；B正确；C错误，A，B，C三点共线时也满足；D正确．] 4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下面结论正确的是(　　) A．＝ B．＝0 C．≠0 D．≠0 D　[容易判断＝2≠0．故选D．] 5．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是(　　) A．＝＝ B．＝ C．＝ D．＝ BD　[选项A：因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＝，故选项A正确，不符合题意；选项B：因为＝与不是相等向量，故选项B错误，符合题意； 选项C：因为＝＝，所以＝，故选项C正确，不符合题意； 选项D：因为＝＝，故选项D错误，符合题意．] 二、填空题 6．有下列三个说法： ①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c； ②＝的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合； ③若a＋b＝0且b＝0，则a＝0． 其中正确的有________．(填序号) ①③　[①由题设，a＝－b＝c，即a＝c，正确； ②＝的等价条件是模相等且方向相同，与起止点的位置无关，错误； ③由题设，a＋b＝a＋0＝a＝0，正确．] 7．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________． 8km　北偏东45°　[如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8，∠BAC＝45°．] 8．当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角． |a|＝|b|　[当|a|＝|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a＋b平分此菱形的内角．] 三、解答题 9．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证：＝0． [证明]　连接EF(图略)，由题意知，＝＝＝． 由平面几何知识可知，＝＝． ∴＝()＋()＋() ＝()＋() ＝()＋0 ＝＝＝0， ∴＝0． 10．(多选)已知平行四边形ABCD，设＝a，且b是一非零向量，则下列结论正确的是(　　) A．a∥b B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b| AC　[∵在平行四边形ABCD中，＝0，＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴A、C正确，B、D错误．] 11．如图(1)已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔(杆)的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如图(2)所示，则||的最小值为(　　) A．40 B．20 C．20 D．80 A　[由题知，＝0，即＝，则＝， 则当风叶旋转到最低点时，||最小，且值为60－20＝40．故选A．] 12．在静水中划船的速度是20 m/min，水流速度是10 m/min，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________． 　[如图，设为水流的速度，为划船的速度，则＝，其中为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的合速度，在Rt△ABC中，||＝10，||＝20， ∴tan ∠ABC＝＝ ＝＝， ∴tan ∠ADC＝tan ∠ABC＝．] 13．是否存在a，b，使|a＋b|＝|a|＝|b|？请画出图形说明． [解]　存在，如图，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC． 由题意知OA＝OB＝OC＝AC，则∠AOC＝∠COB＝60°． 14．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c．则|a＋b＋c|＝________． 8　[a＋b＋c＝＝． 延长BC至E，使CE＝BC，连接DE， 由于＝＝，CE綉AD， 所以四边形ACED是平行四边形， 所以＝，所以＝＝， 所以|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $