第19讲 导数的概念讲义（知识清单+6题型讲解练+强化训练）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版选择性必修第一册）

第19讲 导数的概念 知识清单 知识点01：平均变化率 1 知识点02：曲线上一点处的切线 2 知识点03：瞬时速度与瞬时加速度 2 知识点04：瞬时变化率——导数 2 知识点05：求函数在某点处的导数 3 知识点06：求曲线的切线方程 3 题型归纳 题型01 平均变化率 4 题型02 瞬时变化率 5 题型03 导数定义中极限的简单计算 6 题型04 求曲线切线的斜率、倾斜角 7 题型05 求在曲线上一点处的切线方程 8 题型06 已知切线（斜率）求参数 10 强化训练 11 知识点01：平均变化率 1.一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为. 2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. 温馨提示　(1)函数在区间[x1,x2]上有意义. (2)在式子中,x2-x1>0,而f(x2)-f(x1)的值可正、可负、可为0. (3)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (4)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 知识点02：曲线上一点处的切线 名称 割线 切线 斜率 设曲线C上一点P(x,f(x)),过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x+Δx,f(x+Δx)),则割线PQ的斜率为kPQ= 当点Q沿曲线C向点P运动,并无限逼近点P时,割线PQ逼近点P的切线l,从而割线的斜率逼近切线l的斜率,即当Δx无限趋近于0时,无限趋近于点P(x,f(x))处的切线的斜率 知识点03：瞬时速度与瞬时加速度 1.平均速度：在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度. 温馨提示　(1)平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度,它与一段位移或一段时间相对应. (2)平均速度是矢量,其方向与一段时间内发生的位移方向相同. 2.瞬时速度：一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率. 3.瞬时加速度：一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率. 温馨提示　瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率;瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率. 知识点04：瞬时变化率——导数 1.导数 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率),记作f'(x0).f'(x0)==A. 2.导数的几何意义 导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率. 温馨提示　函数y=f(x)在x0处的导数存在,也称作函数y=f(x)在x0处可导. 3.导函数的定义 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x). 温馨提示　(1)f'(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数,是函数. (2)f'(x0)是f(x)的导函数f'(x)在x=x0处的导函数值,是数值. 知识点05：求函数在某点处的导数 1. 导数定义的等价形式 　 y'=； y'=；y'=. 　注意自变量之差与函数值之差要相互对应. 2. 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；(2)求平均变化率： =；(3)取极限，得导数：f'(x0)= . 知识点06：求曲线的切线方程 曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程 (1)点P(x0， f(x0))为切点；(2)切线斜率k=f'(x0)；(3)切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 题型01：平均变化率 【例1-1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【例1-2】（多选）两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（    ） A．比节能效果好 B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小 C．两学校节能效果一样好 D．与自节能以来用电量总是一样大 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-2】（1）已知函数，分别计算在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快； （2）已知函数，求在区间上的平均变化率． 【变式1-3】已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ 题型02 瞬时变化率 【例2-1】瞬时速度与瞬时加速度 （1）一般地，当无限趋近于0时，运动物体位移的平均变化率 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的 . （2）一般地，当无限趋近于0时，运动物体速度的平均变化率 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的 . 【例2-2】（22-23高二上·江苏连云港·期末）函数在处的瞬时变化率是 ． 【变式2-1】一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（    ） A．4 B．12 C．15 D．21 【变式2-2】（多选）（24-25高二上·江苏连云港·期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 【变式2-3】（多选）（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（    ）    A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 题型03 导数定义中极限的简单计算 【例3-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【例3-2】（22-23高二上·江苏南京·期末）设在处可导，的值是（    ） A． B． C． D．不一定存在 【例3-3】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 【变式3-2】（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数在处可导，且，则等于（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-3】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）设函数在处可导，且，则 ． 题型04 求曲线切线的斜率、倾斜角 【例4-1】（22-23高二上·江苏南通·期末）函数（e是自然对数的底数）图象在点处的切线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·江苏·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】求下列曲线在给定点处切线的斜率. (1)，点； (2)，点. 题型05 求在曲线上一点处的切线方程 【例5-1】（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则求函数在点处的切线方程（    ） A． B． C． D． 【例5-3】（23-24高二上·江苏·课前预习）已知，求及曲线在处的切线方程. 【变式5-1】（22-23高二上·江苏·期末）曲线的一条切线的斜率为（为自然对数的底数），该切线的方程为 ． 【变式5-2】（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知函数. (1)求曲线在处切线方程； (2)若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程. 【变式5-3】（1）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程. （2）已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线方程. 题型06 已知切线（斜率）求参数 【例6-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）曲线上的点到直线的最短距离是 ． 【例6-3】（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线的一条切线的斜率是，则切点的坐标为 ． 【变式6-1】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（    ） A． B． C．0 D．1 【变式6-2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 【变式6-3】（22-23高三上·江苏淮安·期中）若曲线只有一条过坐标原点的切线，则= . 【变式6-4】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数的图象在点处的切线为． (1)求函数的解析式; (2)若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D．0 2．（23-24高二上·江苏·课前预习）若直线是曲线（）的一条切线，则实数b的值为（　 ） A．4 B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数为，且，则实数（    ） A．2 B．5 C． D． 4．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）设是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 7．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（    ） A．可以是正数也可以是负数，但不能为0 B．函数值的改变量为 C．函数在上的平均变化率为 D．函数在上的平均变化率 9．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 11．小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A． B． C．对于，存在，使得 D．整个过程小明行走的速度一直在加快 三、填空题 12．若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于 ． 13．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知，则 ． 14．已知，，则的值为 ． 15.过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则 . 16．（22-23高三上·江苏·期末）已知直线是曲线与的公切线，则 . 17．（22-23高二下·江苏扬州·开学考试）已知点P在曲线上，点Q在直线 (其中e为自然对数的底数)上，则PQ长度的最小值为 ． 18．（23-24高三上·江苏常州·开学考试）在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ． 19．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）曲线在，两点处的切线分别为，，且，则 ；若，交点的横坐标为，则 ． 四、解答题 20.用割线逼近切线的方法求函数在处的切线的斜率，并画出曲线在点处的切线． 21．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 22．（2023高二上·江苏·专题练习）巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，从处到处会感觉比较轻松，而从处到处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释. 23．（2023高二上·江苏·专题练习）路灯距地面，一个身高为的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开路灯. (1)求身影的长度y(单位：m)与人距C点的距离x(单位：m)之间的关系式； (2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率. 24.对于函数，若存在，求： (1)； (2)． 25．已知函数，且. (1)求a的值； (2)求与x轴平行的的图象的切线方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 导数的概念 知识清单 知识点01：平均变化率 1 知识点02：曲线上一点处的切线 2 知识点03：瞬时速度与瞬时加速度 2 知识点04：瞬时变化率——导数 2 知识点05：求函数在某点处的导数 3 知识点06：求曲线的切线方程 3 题型归纳 题型01 平均变化率 4 题型02 瞬时变化率 7 题型03 导数定义中极限的简单计算 9 题型04 求曲线切线的斜率、倾斜角 11 题型05 求在曲线上一点处的切线方程 14 题型06 已知切线（斜率）求参数 17 强化训练 20 知识点01：平均变化率 1.一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为. 2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. 温馨提示　(1)函数在区间[x1,x2]上有意义. (2)在式子中,x2-x1>0,而f(x2)-f(x1)的值可正、可负、可为0. (3)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (4)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 知识点02：曲线上一点处的切线 名称 割线 切线 斜率 设曲线C上一点P(x,f(x)),过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x+Δx,f(x+Δx)),则割线PQ的斜率为kPQ= 当点Q沿曲线C向点P运动,并无限逼近点P时,割线PQ逼近点P的切线l,从而割线的斜率逼近切线l的斜率,即当Δx无限趋近于0时,无限趋近于点P(x,f(x))处的切线的斜率 知识点03：瞬时速度与瞬时加速度 1.平均速度：在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度. 温馨提示　(1)平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度,它与一段位移或一段时间相对应. (2)平均速度是矢量,其方向与一段时间内发生的位移方向相同. 2.瞬时速度：一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率. 3.瞬时加速度：一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率. 温馨提示　瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率;瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率. 知识点04：瞬时变化率——导数 1.导数 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率),记作f'(x0).f'(x0)==A. 2.导数的几何意义 导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率. 温馨提示　函数y=f(x)在x0处的导数存在,也称作函数y=f(x)在x0处可导. 3.导函数的定义 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x). 温馨提示　(1)f'(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数,是函数. (2)f'(x0)是f(x)的导函数f'(x)在x=x0处的导函数值,是数值. 知识点05：求函数在某点处的导数 1. 导数定义的等价形式 　 y'=； y'=；y'=. 　注意自变量之差与函数值之差要相互对应. 2. 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；(2)求平均变化率： =；(3)取极限，得导数：f'(x0)= . 知识点06：求曲线的切线方程 曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程 (1)点P(x0， f(x0))为切点；(2)切线斜率k=f'(x0)；(3)切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 题型01：平均变化率 【例1-1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：函数在区间上的平均变化率为 ． 故选：B. 【例1-2】（多选）两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（    ） A．比节能效果好 B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小 C．两学校节能效果一样好 D．与自节能以来用电量总是一样大 【答案】AB 【详解】由图象可知，对任意的， 曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”， 所以比节能效果好，A正确，C错误； 由图象可知，， 则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小，B选项正确； 由于曲线和曲线不重合，D选项错误． 故选：AB 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数在上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】平均变化率为. 故选：C. 【变式1-2】（1）已知函数，分别计算在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快； （2）已知函数，求在区间上的平均变化率． 【详解】（1）自变量x从1变到2时，函数的平均变化率为 ， 自变量x从3变到5时，函数f（x）的平均变化率为 ， 因为，所以函数在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． （2）， 所以在区间上的平均变化率为． 【变式1-3】已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ 【详解】（1）∵ ∴， ∴，即. （2）函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为≈0.62(dm/L)， 函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为≈0.16(dm/L). 显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化得快，这说明气球刚开始膨胀得快，随着体积的增大，半径增加得越来越慢. 题型02 瞬时变化率 【例2-1】瞬时速度与瞬时加速度 （1）一般地，当无限趋近于0时，运动物体位移的平均变化率 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的 . （2）一般地，当无限趋近于0时，运动物体速度的平均变化率 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的 . 【答案】 瞬时速度 瞬时加速度 . 【例2-2】（22-23高二上·江苏连云港·期末）函数在处的瞬时变化率是 ． 【答案】6 【详解】解：函数在处的瞬时变化率为. 故答案为：6. 【变式2-1】一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（    ） A．4 B．12 C．15 D．21 【答案】B 【详解】由题意，该质点在时的瞬时速度为. 故选：B 【变式2-2】（多选）（24-25高二上·江苏连云港·期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，，当时，,所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确； 对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确； 对于C，，当时，，所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确； 对于D，令，解得，故D错误. 故选：ABC. 【变式2-3】（多选）（22-23高二下·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（    ）    A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 【答案】AC 【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确； 选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等， 说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误； 选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内， 血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确； 选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为 和，显然不相同，即选项D不正确． 故选：AC. 题型03 导数定义中极限的简单计算 【例3-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【答案】C 【详解】. 故选：C. 【例3-2】（22-23高二上·江苏南京·期末）设在处可导，的值是（    ） A． B． C． D．不一定存在 【答案】C 【详解】 ． 故选：C． 【例3-3】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设. 故选：B 【变式3-1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为函数在处可导，且， 所以. 故选：A 【变式3-2】（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数在处可导，且，则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由， 故选：B 【变式3-3】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）设函数在处可导，且，则 ． 【答案】或 【详解】因为函数在处可导， 所以. 故答案为：. 题型04 求曲线切线的斜率、倾斜角 【例4-1】（22-23高二上·江苏南通·期末）函数（e是自然对数的底数）图象在点处的切线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以. 所以在点处的切线的倾斜角是. 故选:C. 【例4-2】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 【变式4-1】（24-25高二上·江苏·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 又，所以， 故选：D. 【变式4-2】求下列曲线在给定点处切线的斜率. (1)，点； (2)，点. 【详解】（1）根据题意，，即该曲线在点处的斜率为3. （2）根据题意，，即该曲线在点处的斜率为2. 题型05 求在曲线上一点处的切线方程 【例5-1】（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故切点为， ，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：A 【例5-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则求函数在点处的切线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以， 因为的对称中心为， 所以，解得，所以， 所以，所以， 所以切线方程为，即. 故选：A. 【例5-3】（23-24高二上·江苏·课前预习）已知，求及曲线在处的切线方程. 【答案】1； 【详解】， 又，∴，即. 所以，故切线方程为. 【变式5-1】（22-23高二上·江苏·期末）曲线的一条切线的斜率为（为自然对数的底数），该切线的方程为 ． 【答案】 【详解】由题知，， 所以， 当时，，此时， 所以切点为， 所以切线方程为，即， 故答案为： 【变式5-2】（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知函数. (1)求曲线在处切线方程； (2)若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程. 【详解】（1），所以，所以，， 所以切线方程为：，整理得. （2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为， 则切线方程为：， 又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得， 所以切线方程为：，整理得. 【变式5-3】（1）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程. （2）已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线方程. 【详解】（1）由可得， 所以在点处的切线的斜率为， 切线方程为，即； （2）设切线的斜率为，直线与抛物线相切的切点坐标为，则直线方程为， 因为，所以， 又点在切线上， 所以， 解得或， 则或， 所以直线方程为或， 即或. 题型06 已知切线（斜率）求参数 【例6-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以， 所以． 故选：A. 【例6-2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）曲线上的点到直线的最短距离是 ． 【答案】 【详解】与平行的直线和相切，则斜率为， 因为，所以， 令，解方程得，代入直线方程得切点， 则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知， 故答案为：. 【例6-3】（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线的一条切线的斜率是，则切点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设切点坐标为， 根据导数的几何意义可知，，得， 所以切点坐标为. 故答案为： 【变式6-1】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】曲线，. 令，解得，则. 所以直线y＝x＋b与曲线相切于点， 所以点在直线y＝x＋b上，则，解得. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设切点坐标为， 易知，因此， 所以切线方程为，即， 可得，即，可得， 所以. 故选：D 【变式6-3】（22-23高三上·江苏淮安·期中）若曲线只有一条过坐标原点的切线，则= . 【答案】或 【详解】解：∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或, ∴或, 故答案为：或 【变式6-4】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数的图象在点处的切线为． (1)求函数的解析式; (2)若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 【详解】（1）函数， ， 在点处的切线为， 解得， 所以 （2）设，则由题可知，即， 所以P的横坐标为2． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【详解】在区间上的平均变化率为， 故选：A 2．（23-24高二上·江苏·课前预习）若直线是曲线（）的一条切线，则实数b的值为（　 ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵的导数，∴令，得，∴切点为． 代入直线，得，即 ． 故选：C 3．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数为，且，则实数（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】， ，解得. 故选：C. 4．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）设是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】, 故选：B 5．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 故选：B. 6．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【答案】C 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 7．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 二、多选题 8．设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（    ） A．可以是正数也可以是负数，但不能为0 B．函数值的改变量为 C．函数在上的平均变化率为 D．函数在上的平均变化率 【答案】ABD 【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数， 函数值的改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确； 故选：ABD 9．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设切点为，因为，所以，故切线方程为， 又因为切线过点，所以，整理得，解得或， 当时，切线方程为，即， 当，切线方程为，即. 故选：BC. 10．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设切点为，由题意， 所以，整理得，此方程有两个不等的实根， 所以，或． 故选：AD． 11．小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A． B． C．对于，存在，使得 D．整个过程小明行走的速度一直在加快 【答案】ABC 【详解】由题意可知：，，， 由图象可知且，因此， 而，所以， 因此，此时，所以A选项正确； 由， 可得， 故成立，选项B正确； 选项C，设,,分别作出直线； ,, 瞬时速度的几何意义就是时刻曲线的切线的斜率； 由图象可知，存在，曲线在点处的切线斜率与相等， 即存在，使得， 故C选项正确； 选项D，t时刻的瞬时速度为，判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率， 由图象可知，当时，切线方程的斜率最大，故而在此时，平均速度最快，因此，选项D不正确； 故选：ABC 三、填空题 12．若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于 ． 【答案】2 【详解】由题意得， 所以，或（舍去）． 故答案为：2 13．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 14．已知，，则的值为 ． 【答案】1 【详解】 ∵， ∴． 故答案为：1. 15.过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则 . 【答案】 【详解】由题意得， 过点作曲线的切线，设切点坐标为， 则，即， 由于，故， 因为过点作曲线的切线有且只有两条， 所以有两个解，且，即或， 所以，， 所以. 故答案为： 16．（22-23高三上·江苏·期末）已知直线是曲线与的公切线，则 . 【答案】 【详解】设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即 同理，设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即， 所以，解得， 所以，，. 故答案为：. 17．（22-23高二下·江苏扬州·开学考试）已知点P在曲线上，点Q在直线 (其中e为自然对数的底数)上，则PQ长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点Q为切点时，，两点间的距离最小， 设切点， ，所以， ，，， 点，直线的方程为，即 ， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为. 故答案为：. 18．（23-24高三上·江苏常州·开学考试）在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设点的坐标为， 显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为， 因此切线方程为， 设曲线的切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 设的切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 由题意可知：，于是有： ，得，或， 当时，则有， 当时，则有， 由可解，. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义求出公切线的方程. 19．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）曲线在，两点处的切线分别为，，且，则 ；若，交点的横坐标为，则 ． 【答案】 【详解】由， 不妨设，切线，的斜率分别为，， 当时，则有，，此时， 显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，，此时， 显然，因此不成立，不符合题意； 当时，则有，，此时， 由可得， 此时切线，的切线方程分别为：，， 两个方程联立，得， 因此， 故答案为：； 四、解答题 20.用割线逼近切线的方法求函数在处的切线的斜率，并画出曲线在点处的切线． 【详解】在区间上割线的斜率为＝ 当趋近于时，函数在区间上割线的斜率趋近于， 所以函数在处的切线斜率． 曲线在点处的切线为直线l，如图． 21．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 【详解】（1） ； （2）； （3）； （4）由（2）知， 则，. 22．（2023高二上·江苏·专题练习）巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，从处到处会感觉比较轻松，而从处到处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释. 【详解】 山路从A处到B处高度的平均变化率为， 山路从C处到D处高度的平均变化率为， 由知，山路从C处到D处比从A处到B处陡峭. 故从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力. 23．（2023高二上·江苏·专题练习）路灯距地面，一个身高为的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开路灯. (1)求身影的长度y(单位：m)与人距C点的距离x(单位：m)之间的关系式； (2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率. 【详解】（1）如题图，设人从C点运动到B点位移为x m，AB为身影长度，为y m， 由于，则，即，所以. （2）设人离开C点的时间为t s，而，而，所以. 在内自变量的增量为， 函数值的增量为， 所以. 即人离开C点10 s内身影长度的平均变化率为 m/s. 24.对于函数，若存在，求： (1)； (2)． 【详解】（1）时， （2） 又 25．已知函数，且. (1)求a的值； (2)求与x轴平行的的图象的切线方程. 【详解】（1）解：因为，则， 又，所以，解得； （2）解：由（1）得，则， 设与x轴平行的的图象的切线的切点为， 则，解得，所以， 所以与x轴平行的的图象的切线方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $