2.4-2.5圆的方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第二章 直线和圆的方程 （二）圆的方程 知识点1：圆的定义及方程 （1）圆的定义：平面内到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 确定圆的要素是 和 。 （2）圆的标准方程：①圆心为，半径为的圆的标准方程是_____________________. ②圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程是_____________________. · 圆心的三个重要几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在每一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. （3）圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 知识点2：点和圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M到圆上点的最大距离为_________, 点M到圆上点的最小距离为_________ 知识点3：直线和圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 图形 交点个数 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d____r d____r d____r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式△ △____0 △____0 △____0 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法 知识点4：圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 公切线条数 (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 考点一 求圆的方程 例1.（1）求以，，为顶点的三角形的外接圆的标准方程． （2）已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程． 变式1-1.求满足下列条件的各圆的标准方程: (1)圆心在原点,半径长为3; (2)圆心为点,半径长是 (3)圆心为点,且经过点 变式1-2.以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8 变式1-3.已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线． （1）求直线的方程； （2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，求圆的一般方程． 考点二 切线问题 例2.（1）求圆的切线方程，使得它经过点 （2）圆的切线在轴上截距相等，求切线方程 变式2-1.已知圆的方程为，求： （1）斜率为且与圆相切的直线方程； （2）过定点且与圆相切的直线方程. 变式2-2.已知直线被圆截得的弦长为． （1）求的值； （2）求过点（3，5）与圆相切的直线的方程． 考点三 弦长问题 例3-1.直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程． 变式3-1.求经过点P（6，―4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为的直线的方程． 例3-2.已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)求公共弦所在的直线方程； (2)求公共弦的长度． 变式3-2.已知圆：，圆：，求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长． 考点四 与圆有关的最值问题的解法 例4.已知点在圆上. （1）求的取值范围； （2）求的最大值和最小值. 变式4.已知圆： （1）求过点且与圆相切的直线方程. （2）若为圆上的任意一点，求的取值范围. 考点五 轨迹问题 例5.已知圆的方程为．是圆上一动点，，若点为的中点，求动点的轨迹方程． 变式5.已知Rt△ABC的斜边为AB,且A（-1,0），B（3,0）， 求：（1）直角顶点C的轨迹方程 （2）直角边BC的中点M的轨迹方程 1.由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 2.知点在圆：上，则的最小值是____________． 3.已知圆C经过点A（2，0）、，且圆心C在直线y=x上． （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l截圆所得弦长为，求直线l的方程． 4.已知圆C：x2+y2﹣4x＝0. （1）直线l的方程为，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的值； （2）从圆C外一点P（4，4）引圆C的切线，求此切线方程． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第二章 直线和圆的方程 （二）圆的方程 知识点1：圆的定义及方程 （1）圆的定义：平面内到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 确定圆的要素是 和 。 （2）圆的标准方程：①圆心为，半径为的圆的标准方程是_____________________. ②圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程是_____________________. · 圆心的三个重要几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在每一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. （3）圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 知识点2：点和圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M到圆上点的最大距离为_________, 点M到圆上点的最小距离为_________ 知识点3：直线和圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 图形 交点个数 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d____r d____r d____r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式△ △____0 △____0 △____0 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法 知识点4：圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 公切线条数 (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 考点一 求圆的方程 例1.（1）求以，，为顶点的三角形的外接圆的标准方程． 【答案】【解析】设所求圆的圆心为，标准方程为，则有，解得，所以的外接圆的标准方程为． （2）已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程． 【答案】x2＋y2－2x＋2y－23＝0.【解析】设△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A、B、C三点在圆上， 解得. ∴△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0. 变式1-1.求满足下列条件的各圆的标准方程: (1)圆心在原点,半径长为3; (2)圆心为点,半径长是 (3)圆心为点,且经过点 答案： （1）；（2）；（3）. 【详解】(1)设圆的标准方程为，因为圆心在原点，即，又由半径长为，即，所以圆的标准方程为.(2)设圆的标准方程为，以为圆心为点,即，半径长是，即，所以圆的标准方程为.(3)设圆的标准方程为，因为圆心为点,即，又由圆经过点，则所以圆的标准方程为. 变式1-2.以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　B　) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8 变式1-3.已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线． （1）求直线的方程； （2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，求圆的一般方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）设直线的方程为．∵直线的斜率为，所以直线的斜率．则直线的方程为．（2）设圆的一般方程为．由于是直角三角形，所以圆的圆心是线段的中点，半径为；由，得，；故，解得，，．则圆的一般方程为：． 考点二 切线问题 例2.（1）求圆的切线方程，使得它经过点 （2）圆的切线在轴上截距相等，求切线方程 【答案】（1）；（2）或或. 【解析】（1）因为点满足圆的方程，所以在圆上，则直线的斜率，根据圆的切线的性质可得所求直线的斜率， 所以经过M的直线方程为，整理可得：； （2）由题意可得，当截距全为0时，即直线过原点，可设直线方程为， 则圆心到直线的距离，即，解得：， 此时直线方程为，当截距相等且不为0时，可设直线方程为， 则圆心到直线的距离，即，解得：或，此时切线方程为或，综上可得切线方程为：或或. 变式2-1.已知圆的方程为，求： （1）斜率为且与圆相切的直线方程； （2）过定点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）或；（2）或 【解析】（l）设切线方程为：则圆心到该直线的距离：，解得：或所求切线方程为：或 （2）当切线的斜率存在时，设切线方程为：，即 则圆心到该直线的距离：，解得：切线方程为：，即：当切线的斜率不存在时，直线也是圆的切线综上所述：所求切线方程为或 变式2-2.已知直线被圆截得的弦长为． （1）求的值； （2）求过点（3，5）与圆相切的直线的方程． 【答案】（1）a =1；（2） 或. 【解析】（1）依题意可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，由勾股定理可知，代入化简得， 解得或，又，所以； （2）由（1）知圆，又在圆外，①当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离可解得，切线方程为，②当过斜率不存在，易知直线与圆相切，综合①②可知切线方程为或. 考点三 弦长问题 例3-1.直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程． 【答案】x―2y+5=0或2x―y―5=0 【解析】法一：根据题意知直线的斜率存在，设直线的方程为y―5=k（x―5）圆心（0，0）到直线的距离，在由弦长的一半、半径和距离构成的直角三角形中， ，解得或k=2故直线的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0． 法二：根据题意知直线的斜率存在，设直线的方程为y―5=k（x―5）与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）,联立方程，消去y，得（k2+1）x2+10k（1―k）x+25k（k―2）=0， ∴Δ=[10k（1―k）]2―4（k2+1）·25k（k―2）＞0，解得k＞0．又，．由斜率公式，得y1―y2=k（x1―x2），∴ ．两边平方，整理得2k2―5k+2=0，解得或k=2，符合题意．故直线的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0． 【总结升华】 设直线的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为（x―x0）2+（y―y0）2=r2，求弦长的方法有以下两种： （1）几何法：由圆的性质知，过圆心O作的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2=r2―d2．则弦长|AB|=2|BC|，即． （2）代数法：解方程组， 消元后可得关于x1+x2，x1·x2或y1+y2，y1·y2的关系式，则 变式3-1.求经过点P（6，―4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为的直线的方程． 【答案】x+y―2=0或7x+17y+26=0 【解析】如图所示，，，作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，．设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y+4=k（x―6），即kx―y―6k―4=0．又圆到直线的距离为，∴，即17k2+24k+7=0，∴k1=―1，．∴所求直线方程为x+y―2=0或7x+17y+26=0． 例3-2.已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)求公共弦所在的直线方程； (2)求公共弦的长度． 变式3-2.已知圆：，圆：，求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长． 【答案】公共弦所在直线方程为3x―4y+6=0，弦长为 【解析】两圆的方程作差得6x―8y+12=0，即3x―4y+6=0，∵圆：，故其圆心为（―1，3），r=3圆到弦所在直线的距离为 弦长的一半是故弦长为综上，公共弦所在直线方程为3x―4y+6=0，弦长为． 考点四 与圆有关的最值问题的解法 例4.已知点在圆上. （1）求的取值范围； （2）求的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为. 【解析】（1）由得，则圆心为，半径为； 而表示圆上的点与定点连线的斜率， 由图像可得，当过点的直线与圆相切于点时，斜率最大，无最小值；设切线的方程为：，即，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，因此的取值范围是； （2）设，因为点在圆上，所以直线与圆有交点，因此只需圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得，因此的最大值为，最小值为. 变式4.已知圆： （1）求过点且与圆相切的直线方程. （2）若为圆上的任意一点，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【解析】（1）圆：的圆心为，半径，当经过点的直线l与x轴垂直时，方程为x=2，恰好到圆心C到直线的距离等于半径，此时直线l与圆相切，符合题意；当经过点的直线l与x轴不垂直时, 设直线l为, 即，由圆C到直线的距离d=r，得，解得， 此时直线的方程为，化简得，综上圆的切线方程为或， （2）可以看作圆上动点与定点距离的平方， 设圆心与点的距离为，则，所以圆上动点与定点距离的最大值为，最小值为，故的最大值为，最小值为， 即的取值范围. 考点五 轨迹问题 例5.已知圆的方程为．是圆上一动点，，若点为的中点，求动点的轨迹方程． 变式5.已知Rt△ABC的斜边为AB,且A（-1,0），B（3,0），求：（1）直角顶点C的轨迹方程 （2）直角边BC的中点M的轨迹方程 1.由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　C　) A．1 B．2 C. D．3 2.知点在圆：上，则的最小值是____________． 【详解】表示圆上的点和点连线的斜率，设直线，即，如图，当直线与圆相切时，此时直线的斜率最小， ，解得：故答案为： 3.已知圆C经过点A（2，0）、，且圆心C在直线y=x上． （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l截圆所得弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1）x2+y2=4；（2）x=1或 【解析】（1）AB的中点坐标，AB的斜率为．可得AB垂直平分线为，与x―y=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4； （2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过，∴直线l的方程为，即，则圆心（0，0）到直线的距离，又圆的半径r=2，截得的弦长为，则有，解得：，则直线l的方程为．当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或． 4.已知圆C：x2+y2﹣4x＝0. （1）直线l的方程为，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的值； （2）从圆C外一点P（4，4）引圆C的切线，求此切线方程． 答案： (1)；(2)x＝4或3x﹣4y+4＝0. 【详解】（1）化圆C：x2+y2﹣4x＝0为：（x﹣2）2+y2＝4，知圆心（2，0）为半径为2， 故圆心到直线的距离，∴； （2）当斜率不存在时，过P（4，4）的直线是x＝4，显然是圆的切线； 当斜率存在时，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣4）．由，解得． 此时切线方程为3x﹣4y+4＝0.综上所述：切线方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $