1.4 利用空间向量求角求距离 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第一章 空间向量与立体几何 （四）利用空间向量求角 知识点1：用向量方法求角 图示 向量证明方法 异面直线所成的角 （，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点） 直线和平面的夹角 （其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为） 二面角 （平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为） 例1.（多选）在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 【答案】ABD 【详解】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确．故选：ABD 例2.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E是棱的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为底面，且底面为矩形， 所以两两互相垂直,以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为． （2）由（1）得．设平面的法向量为，则即令，则，所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则即 令，则，所以平面的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则，所以平面和平面的夹角的余弦值为． 例3.在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）若F为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量为，则由， 得令，得，即， 所以，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为． （2）由（1）得．设，则，，解得，所以点，显然，是平面的一个法向量，设是平面的法向量因为， 所以令，则，所以， 所以，设平面与平面的夹角为， 则，即平面与平面的夹角的余弦值为． （五）利用空间向量求距离 知识点2：用向量方法求距离 图示 向量证明方法 点到平面的距离 （为平面的法向量） 与平面平行的直线到平面的距离 （是平面的公共法向量） 两平行平面间的距离 （是平面，的一个公共法向量） 例4.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点M在线段上，平面，． （1）求证：M为的中点； （2）求点C到平面的距离d． 【答案】（1）证明详见解析；（2）2. 【解析】（1）证明：如图， 设，∵四边形为正方形，∴O为的中点． 连接．∵平面平面， 平面平面，∴， ∴，即M为的中点． （2）取的中点G，∵，∴， ∵平面平面，且平面平面， ∴平面，连接，则，由G是的中点，O是的中点，可得，则． 以G为坐标原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 由，得，则． 设平面的法向量为， 则由得取，得． 又，则点C到平面的距离． 例5.如图，在四棱锥中，平面.直线与底面所成的角为.底面为梯形，且，，. （2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；. 【解析】解：（1）证明：平面 平面 又∵平面，直线与底面所成的角为 ∴，∴ 在中，过作的垂线，则在中 在中， .平面平面.平面 所以平面平面（2）平面且 以为原点，为轴建立空间直角坐标系. 如图所示，则，，， ，，..由（1）知平面的法向量可取设，又，.令平面的法向量为 得取，得.由 得，从而.∵，∴ 此时=1∴线段上存在点，当时二面角的余弦值为. 例6.如图，在正方体中，分别是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论． 【答案】（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析【解析】以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 设正方体棱长为则，，，，，，，（1）设异面直线与所成角为 ，，即异面直线与所成角的余弦值为：（2）假设在棱上存在点，，使得平面 则，， 设平面的法向量，令，则， ，解得： 棱上存在点，满足，使得平面 1.如图,在五棱锥中,PA⊥平面ABCDE,,∠DEA= ∠EAB=∠ABC=90°. （1）求二面角的大小; （2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值. 2.如图所示，平行六面体中，平面，，，分别为，的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）建立空间坐标系，利用向量证明得出平面； （2）利用向量证明，，得出平面；（3）根据点到平面的距离公式计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：平面，，平面，四边形是平行四边形，，，，以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，，，1，，，0，，，1，，，，，，，，，，，，， 又平面，平面，平面．（2）证明：，0，，，0，，，0，，，0，，，0，，，， ，，又，平面，平面平面． （3）解：由（2）可知是平面的一个法向量，又， ，到平面的距离． 3.如图,直三棱柱中,AC=BC=1,AA1=3,∠ACB=90°,D为CC1上的点,二面角的余弦值为. （1）求证:CD=2; （2）求点A到平面的距离. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 选修 第一章空间向量与立体几何 (四)利用空间向量求角 ?知识梳理 知识点1：用向量方法求角 图示 向量证明方法 A c0s0= AC.BD 异面直线所成 |AC|·BD 的角 (A,C是直线a上不同的两点，B,D是直线b上 B a 不同的两点) sine=cos a·u 直线和平面的 a.u 夹角 (其中直线l的方向向量为a,平面的法向量为u 直线与平面所成的角为0，a与u的角为p) os中ba片 二面角 (平面与B的法向量分别为，和h,平面a 与B的夹角为0) 考点突破 例1.（多选题）在空间直角坐标系Oz中，A(1,0,0),B(2,1,-2),C(1,2,3),则() A.AB·BC=-10 B.4C=13 C.异面直线0B与AC所成角的余弦值为 13 第1页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ D.点O到直线BC的距离是V366 9 例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD=L,PA=AB=√2， E是棱PB的中点. (I)求异面直线EC与PD所成角的余弦值； (2)求平面BEC与平面ECD夹角的余弦值. E B 第2页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 例3.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB/IDC,AD=DC=AP=2, AB=1,点E为棱PC的中点. (1)求直线EB与平面PBD所成角的正弦值； (2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC,求平面FAB与平面PAB夹角的余弦值. E 0 第3页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (五)利用空间向量求距离 ?知识梳理 知识点2：用向量方法求距离 图示 向量证明方法 点到平面的距离 d=4A1= PAon (n为平面元的法向量) PA-m 与平面平行的直线到平面的距离 4-1441- (n是平面π的公共法向量) 第4页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A d=A41= PA-n 两平行平面间的距离 (n是平面a,B的一个公共法向量) 考点突破 例4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB 第5页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 上，PD//平面MAC,PA=PD=V6,AB=4. M A B C (1)求证：M为PB的中点： (2)求点C到平面BDP的距离d. 第6页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 例5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD.直线PA与底面ABCD所成的角为45°.底面 ABCD为梯形，且AB11CD,∠ADC=90°，PD=AB=】CD=2 E (2)线段PC上是否存在一点E,使得二面角P-BD-E的余弦值为5？如果存在，求出 的值， 、3 C 如果不存在，请说明理由. E 第7页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 例6.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分别是AB,CC,AD的中点. (1)求异面直线BE与BG所成角的余弦值； (2)棱CD上是否存在点T,使得AT//平面BEF？请证明你的结论. D DI- G 第8页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 课后巩固 1.如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE,PA=AB=AE=2BC=2DE=2,∠DEA= ∠EAB=∠ABC-90° (1)求二面角P-DE-A的大小， (2)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值， B 第9页共12页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 2.如图所示，平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AA'⊥平面ABCD,AB⊥AC,M,N分别为CB, CC'的中点，AB=AC=AA'=1 (1)求证：MN∥平面ACD'; D (2)求证：CD⊥平面ACD': B (3)求直线BC到平面ACD'的距离 D B 第10页共12页