2.2.1 不等式及其性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件围绕“不等式及其性质”展开，通过限速、限高、限宽等现实情境标志导入，引导学生抽象不等关系，构建从概念到作差比较法、性质推论再到证明应用的学习支架，脉络连贯。 其亮点在于融入数学抽象与逻辑推理素养，如作差法“作差-变形-定号-结论”步骤清晰，分析法、反证法例题典型，分层作业适配不同水平。学生能提升运算与推理能力，教师可依托系统结构高效开展教学。

第二章 等式与不等式 2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 学习任务 1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等式的概念．(数学抽象) 2．理解实数比较大小的基本事实，初步学会用作差法比较两个实数的大小．(逻辑推理、数学运算) 3．认识并证明不等式的性质及推论，能利用不等式的性质证明简单的不等式．(数学抽象、逻辑推理) 2.2.1　不等式及其性质 如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志： 必备知识·情境导学探新知 2.2.1　不等式及其性质 其含义分别为 ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h． ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t． ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m． ④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m． ⑤时间范围：t∈[7.5，10]． 问题　你能用含不等号的数学式子表示上述关系吗？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 知识点1　不等关系与不等式 1．不等式的定义 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些______的式子，称为不等式． 不等号 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 2．比较两个实数(代数式)的大小 作差法的理论依据： a－b＜0⇔______； a－b＝0⇔______； a－b＞0⇔______． a<b a＝b a>b 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 3．比较两个实数大小的方法 方法 依据 结论 画数轴比较法 实数与数轴上的点一一对应；如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x) 数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大 作差比较法 如果a－b>0，那么______； 如果a－b<0，那么a<b； 如果a－b＝0，那么______ 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系 a>b a＝b 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 提醒　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 知识点2　不等式的性质与推论 项目 别名 内容 注意 性质1 可加性 a>b⇔a＋c__b＋c 可逆 性质2 可乘性 ⇒ac__bc c的符号 性质3 ⇒ac__bc 性质4 传递性 a>b，b>c⇒______ 同向 性质5 对称性 a>b⇔______ 可逆 >  >  <  a>c b<a 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 项目 别名 内容 注意 推论1 移项法则 a＋b>c⇔a__c－b 可逆 推论2 同向可加性 ⇒a＋c__b＋d 同向 推论3 同向同正可乘性 ⇒ac__bd 同向同正 推论4 可乘方性 a>b>0⇒an__bn(n∈N，n>1) 同正 推论5 可开方性 a>b>0⇒ 同正 >  >  >  >  >  课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 提醒　(1)推论2可以推广为更一般的结论：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 思考　如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ [提示]　(1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c． (2)如果两个不等式都带有等号，那么有：若a≥b且b≥c，则a≥c．其中a＝c时，必有a＝b且b＝c． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 知识点3　证明问题的常用方法 方法 定义 综合法 从________出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法 分析法 从要证明的____出发，________使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 反证法 首先假设结论的____成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法 已知条件 结论 逐步寻求 否定 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 提醒　反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实等矛盾． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d． (　　) (2)若a＞b，则＜． (　　) (3)若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞． (　　) (4)已知a＞b，e＞f，c＞0，则f－ac＜e－bc． (　　) (5)综合法是从结论向已知的逆推证法． (　　) × √ √ √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 (6)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求使结论成立的充分条件的过程． (　　) (7)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a≤b”． (　　) (8)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾． (　　) √ √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 2．(1)已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，则t和s的大小关系是(　　) A．t＞s　　　B．t≥s　　　C．t＜s　　　D．t≤s (2)设a，b＞0，P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是(　　) A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q (1)D　(2)C　[(1)∵s－t＝a＋b2＋4－(a＋4b)＝b2－4b＋4＝(b－2)2≥0，∴t≤s． (2)P2＝()2＝a＋b＋2，Q2＝()2＝a＋b．∵a，b＞0，∴P2＞Q2．∴P＞Q．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 3．用不等号“<”或“>”填空： (1)如果a>b，c>0，则d＋ac________d＋bc； (2)如果a>b，c<0，则c(d－a)________c(d－b)； (3)如果a>b，d>e，c<0，则d－ac________e－bc． > > > 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 (1)>　(2)>　(3)>　[(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，所以d＋ac>d＋bc． (2)因为a>b，所以－a<－b，所以d－a<d－b， 因为c<0，所以c(d－a)>c(d－b)． (3)因为a>b，c<0，所以ac<bc，所以－ac>－bc， 因为d>e，所以d－ac>e－bc．] 类型1　作差法比较两数(式)的大小 【例1】　【链接教材P63例1】 (1)设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比较x与y的大小． (2)已知x>1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 关键能力·合作探究释疑难 2.2.1　不等式及其性质 [解]　(1)x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4)＝(m－n)m3－n3(m－n)＝(m－n)(m3－n3)＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)，∵m≠n，∴(m－n)2>0． 又∵m2＋mn＋n2＝∴＋mn＋n2)>0．∴x－y>0，∴x>y． (2)x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2＋x＋1－2x) ＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)． ∵x>1，∴x－1>0． 又＋>0， ∴(x－1)>0． ∴x3－1>2x2－2x． 【教材原题·P63例1】 例1　比较x2－x和x－2的大小． [解]　因为(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 又因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1>0，从而 (x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 发现规律　作差比较法的步骤及作差变形的方法 (1)作差法比较大小的步骤：作差→____→____→结论． (2)变形的方法：①________；②____；③通分；④平方差、立方差(和)公式；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论． 变形 定号 因式分解 配方 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 [跟进训练] 1．若x∈R，则与的大小关系为_______________． 　[∵＝＝≤0，∴．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 类型2　不等式性质的应用 【例2】　给出下列命题： ①若ab>0，a>b，则<； ②若a>|b|，则a2>b2； ③若a>b，c>d，则a－c>b－d； ④对于正数a，b，m，若a<b，则<． 其中真命题的序号是________． ①②④ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 ①②④　[对于①，若ab>0，则>0， 又a>b，所以>，所以<，所以①正确； 对于②，若a>|b|≥0，则a2>b2，所以②正确； 对于③，若a>b，c>d，则－c<－d， 所以－d>－c，所以a－d>b－c， 所以a－c>b－d不成立，③错误； 对于④，对于正数a，b，m， 若a<b，则<成立， 即a(b＋m)<b(a＋m)，所以am<bm， 所以a<b，④正确． 综上，正确的命题序号是①②④．] 反思领悟　利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 [跟进训练] 2．已知a，b，c，d∈R，则下列命题必成立的是(　　) A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则c－a<c＋b C．若a>b，c<d，则> D．若a2>b2，则－a<－b √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 B　[选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立；选项D，如a＝－1，b＝0时不成立，故选B．] 类型3　不等式的证明 【例3】　用分析法证明>． [证明]　要证>， 只需证()2>()2， 只需证2a＋13＋2> 2a＋13＋2，只需证a2＋13a＋42>a2＋13a＋40， 只需证42>40，因为42>40显然成立， 所以>成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 [母题探究] (变条件)若将本例改为“用反证法证明>”，应如何证明？ [证明]　假设， 则()2≤()2， 即2a＋13＋2≤2a＋13＋2， 即42≤40，这与42>40矛盾，所以假设不成立． 所以>． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 反思领悟　1．分析综合法的解题思路 根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证． 2．反证法证明问题的3个步骤 (1)假设结论的否定成立． (2)推理得到矛盾． (3)得出假设不成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 [跟进训练] 3．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．(请用分析法和综合法两种方法证明) [证明]　(法一：综合法)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)． 因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0， 从而(3a2－2b2)(a－b)≥0， 所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 (法二：分析法)要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2， 只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0， 只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0， 因为a≥b>0， 所以a－b≥0，3a2－2b2>2a2－2b2≥0， 所以(3a2－2b2)(a－b)≥0成立， 所以原不等式得证． 1．设M＝(a＋1)(a－3)，N＝2a(a－2)，则(　　) A．M＞N　　　　 B．M≥N C．M＜N D．M≤N 学习效果·课堂评估夯基础 √ C　[N－M＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，即M＜N，故选C．] 2.2.1　不等式及其性质 2．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是(　　) A．自然数a，b，c中至少有两个偶数 B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．自然数a，b，c都是奇数 D．自然数a，b，c都是偶数 √ B　[反证法证明命题时，反设是设结论的反面成立，即否定结论，故B正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 3．(多选)(教材P67练习BT2改编)下列命题中，不正确的是(　　) A．若a＜b＜0，则＞ B．若ac＞bc，则a＞b C．若＜，则a＜b D．若a>b，c>d，则ac>bd √ ABD　[由不等式的性质可知选项ABD不正确．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 4．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1 C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1 √ A　[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1． 所以－2＜α－β＜2，但α＜β． 故知－2＜α－β＜0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．作差比较法的四个步骤是什么？ [提示]　(1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方、有理化等方法进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 2．利用不等式的性质判断命题真假有哪两种方法？ [提示]　(1)直接法：对于真命题，要利用不等式的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：对于假命题常采用特殊值法举反例． 3．证明不等式的常用方法有哪些？ [提示]　证明不等式常用的方法有：作差(商)比较法、综合法、分析法、反证法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．(多选)若a>b，则下列各式不正确的是(　　) A．a－2>b－2　　 B．2－a>2－b C．－2a>－2b D．a2>b2 课时分层作业(十三)　不等式及其性质 √ √ 43 BCD　[因为a>b，所以a－2>b－2，故选项A正确；2－a<2－b，故选项B错误；－2a<－2b，故选项C错误；a2，b2无法比较大小，故选项D错误．故选BCD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　) A．p≤q B．p≥q C．p<q D．p>q D　[因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0， 所以p>q．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 45 3．设x<a<0，则下列不等式成立的是(　　) A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[因为x<a<0，所以x2>a2． 因为x2－ax＝x(x－a)>0，所以x2>ax． 又ax－a2＝a(x－a)>0，所以ax>a2． 所以x2>ax>a2． 故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 46 √ 4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是(　　) A．a－b＞0 B．a－c＞0 C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 47 C　[由a＞b＞c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a＞0，c＜0． 要证＜a，只要证(－a－c)2－ac＜3a2，即证a2－ac＋a2－c2＞0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)＞0，即证a(a－c)－b(a－c)＞0， 也就是证(a－c)(a－b)＞0． 故求证＜a索的因应是(a－c)(a－b)＞0．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 √ 5．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下： a∧b＝a∨b＝ 若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　) A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 49 C　[事实上本题的“∧”和“∨”运算就是取最小值和最大值运算，而ab≥4，则a，b中至少有一个大于或等于2，否则ab＜4，∴a∨b≥2；同理，c＋d≤4，则c，d中至少有一个小于或等于2，∴c∧d≤2． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 二、填空题 6．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤． ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°． 其正确顺序为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ③①② 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 51 ③①②　[用反证法证明命题的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，从而得到正确的命题．故填③①②．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 7．若a，b同时满足下列两个条件： ①a＋b>ab；②>． 请写出一组a，b的值：_________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 a＝－1，b＝2(答案不唯一)　[容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0．当a<0，b>0时，需使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；当a>0，b<0时，需使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1．综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案．] a＝－1，b＝2(答案不唯一) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 53 8．若x>1，－1<y<0，则x，y，－y，－xy由小到大的顺序是________________(用“<”连接)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 y<－y<－xy<x　[因为x>1，－1<y<0， 所以0<－y<x，因为－y－(－xy)＝y(x－1)<0， 所以－y<－xy，因为x－(－xy)＝x(1＋y)>0， 所以－xy<x， 所以y<－y<－xy<x．] y<－y<－xy<x 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 54 三、解答题 9．(源自苏教版教材)求解不等式90－t≥80，并用不等式的性质说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　不等式90－t≥80两边同乘以3，得270－10t≥240．(不等式性质2)两边同加上－270，得－10t≥240－270．(不等式性质1) 即－10t≥－30． 两边同乘以－，得t≤3．(不等式性质3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 55 √ 10．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以2a>2c，即a>c．因此b<d．因为a＋c<b，c>0，所以a<b，综上可得：c<a<b<d．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 56 √ 11．(多选)设a，b为正实数，下列命题中正确的为(　　) A．若a2－b2＝1，则a－b<1 B．若＝1，则a－b<1 C．若||＝1，则|a－b|<1 D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 57 AD　[对于A，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0．若a－b≥1，则≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立． 对于B，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1． 对于C，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1． 对于D，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 ∴a≠b，不妨设a>b>0． ∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0， ∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2． 即a3－b3>(a－b)3>0， ∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0， ∴0<a－b<1，即|a－b|<1．因此D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则4a－2b的取值范围为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [－2，10]　[(法一)设u＝a＋b，v＝a－b得a＝，b＝， ∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v． ∵1≤u≤4，－1≤v≤2， ∴－3≤3v≤6． 则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10． [－2，10] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 60 (法二)令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)， ∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b． ∴∴ 又 ∴－2≤4a－2b≤10．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 13．某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件： (1)高一学生人数多于高二学生人数； (2)高二学生人数多于高三学生人数； (3)高三学生人数的3倍多于高一、高二学生人数之和． 若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 18　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 62 18　[设高二学生人数为x，高三学生人数为y(x，y∈N*)， 则∴3y>7＋x>7＋y，即3y>7＋y，∴2y>7， 即y>．∵y∈N*，∴y≥4，结合①可知，5≤x≤6，(x，y)共有3种取法，分别为(5，4)，(6，4)，(6，5)，逐一代入②验证，可得只有(6，5)满足题意，∴x＝6，y＝5，该志愿者服务队总人数为7＋6＋5＝18．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 14．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 64 [解]　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元． 当n取不同的正整数值时，比较y1与y2的大小． 由题意，y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx． 因为y1－y2＝x＋nx－nx＝x－nx＝x， 当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2． 即当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 15．若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|． (1)求证：b＋c＞0． (2)求证：＜． (3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.1　不等式及其性质 66 [解]　(1)证明：因为|b|>|c|，且b＞0，c＜0， 所以b＞－c， 所以b＋c＞0． (2)证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0． 又因为a＞b＞0，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a－c＞b－d＞0，所以(a－c)2＞(b－d)2＞0． 所以0＜＜．① 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 因为a＞b，d＞c， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a＋d＞b＋c． 所以a＋d＞b＋c＞0．② 所以由两边都是正数的同向不等式的相乘性可将不等式①②相乘得＜． (3)能．因为a＋d＞b＋c＞0，0＜＜， 所以＜＜，或＜＜． (只要写出其中一个即可) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 $